第09讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（十大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第09讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 一、二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 二、超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 三、正态分布 1.正态分布的概念 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 重难点01两点分布 【解题必备】 两步法判断一个分布是否为两点分布：（1）看取值:随机变量只取两个值和；（2）验概率:检验是否成立； 如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布. 例1．已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 例2．若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 练习1．在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . 练习2．若X服从分布，且，则（    ） A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 【跟踪练习】 练习3．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 练习4．若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 重难点02n次独立重复试验 【解题必备】 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 例3．袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 例4．重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为，则 ． 练习1．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以获胜的概率是 ． 练习2．某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 【跟踪练习】 练习3．甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（    ） A． B． C． D． 练习4．甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为 重难点03二项分布 【解题必备】 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 3. 若服从二项分布，则 例5．新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（   ） A． B．4 C． D．2 例6．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据. 时间t/min ［0,12） ［12,24） ［24,36） ［36,48） ［48,60） ［60,72］ 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 练习1．（多选）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 练习2．小明上学途中共有n个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为， 记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为， 则n= ， E()= . 【跟踪练习】 练习3．甲、乙两个小朋友做游戏，游戏规则：用0，1两个数字从左往右排成一个五位数（允许第一位为0，数字可重复使用），若五位数中的1的个数比0的个数多，则甲胜，反之，乙胜，胜方得2分，另一方得分，重复100次这样的游戏，甲得分的均值为 . 练习4．2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望. 重难点04超几何分布 【解题必备】 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 例7．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 例8．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 练习1．设袋子中有个同样大小的球，其中有个红球，个白球，今从中任取个球，令“任取的个球中红球的个数”，则（    ） A． B． C． D． 练习2．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 【跟踪练习】 练习3．某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 练习4．袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 重难点05二项分布与超几何分布的综合应用 例9．下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 例10．从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 练习1．某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响. (1)分别求小张，小王答对题目数的分布列； (2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围. 练习2．统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.同学们在学完高中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决： (1)从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是男生的概率，结合计算结果分析三种抽样； (2)一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和数学期望.结合计算结果分析两种摸球方式的特点. 【跟踪练习】 练习3．一个袋子中装有大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中随机地摸出个球作为样本，用表示样本中黄球的个数. (1)若采取不放回摸球，当，，，时，求的分布列； (2)若采取有放回摸球，当，，，时，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例，求误差不超过的概率(用分数表示). 练习4．在这7个自然数中. (1)每次取一个数，取后放回，共取3次，设为取到奇数的次数，求的数学期望； (2)任取3个不同的数，设为其中奇数的个数，求的概率分布. 重难点06二项分布的最大概率问题 【解题必备】 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 例11．某人射击一发子弹，命中目标的概率为，现在他射击发子弹，则击中目标的子弹数最可能是（    ） A．14 B．15 C．16 D．15或16 例12．2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； (3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 练习1．（多选）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（    ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D．当时，n为偶数时，随着的增大而增大 练习2．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【跟踪练习】 练习3．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 练习4．随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 重难点07正态密度函数与正态曲线的性质 【解题必备】 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求 例13．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 例14．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 练习1．某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 练习2．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习3．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为 C．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 D．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大 练习4．某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 重难点08正态分布概率的计算及对称性 【解题必备】 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 例15．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（   ） 附：若，则，，． A．8186 B．8400 C．9974 D．9987 例16．若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 练习1．若随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【跟踪练习】 练习3．随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习4．已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题： 甲：；乙：； 丙：；丁： 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 重难点09正态分布的实际应用 【解题必备】 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 例17．（多选）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（    ） A． B． C． D．， 例18．为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 练习1．（多选）化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 练习2．为检验某公司销售一种新产品的能力，对该公司100天的销售情况做了调查，统计数据如下表所示： 销售数量/件 48 49 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 经计算，这100天的销售数量的平均数，标准差，用频率估计概率． （1）表格中字母的值是 ； （2）为评判该公司的销售水平，从上述100天中随机抽取1天，记当天的销售数量为，并根据以下规则评判．评判规则：若同时满足下列三个不等式，则销售水平为优秀；若仅满足其中两个，则销售水平为良好；若仅满足其中一个，则销售水平为合格；若全部不满足，则销售水平为不合格．三个不等式分别为①，②，③．则该公司的销售水平为 ． 【跟踪练习】 练习3．（多选）若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 练习4．新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 重难点10标准正态分布的应用 【解题必备】 若数据服从正态分布，则有 例19．（多选）已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（    ） A． B． C．在上是减函数 D． 例20．《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 练习1．某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 练习2．随机变量，，若，那么实数的值为 . 【跟踪练习】 练习3．某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率; (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 练习4．某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第09讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 一、二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 二、超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 三、正态分布 1.正态分布的概念 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 重难点01两点分布 【解题必备】 两步法判断一个分布是否为两点分布：（1）看取值:随机变量只取两个值和；（2）验概率:检验是否成立； 如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布. 例1．已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 例2．若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意，可知服从两点分布， 又，则， 所以，. 故选：D. 练习1．在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . 【答案】20 【详解】因为，所以. 故答案为：20. 练习2．若X服从分布，且，则（    ） A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 【答案】C 【详解】因为X服从分布，所以，因为， 所以，，故． 故选：C 【跟踪练习】 练习3．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可知，，所以， ，， 故选：AB 练习4．若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得服从两点分布，故， 故. 故答案为： 重难点02n次独立重复试验 【解题必备】 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 例3．袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，所以， 故选：B. 例4．重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为，则 ． 【答案】250 【详解】依题意，每次出现1点的概率为， 则抛掷5次恰好出现3次1点的概率为， 所以. 故答案为：250 练习1．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以获胜的概率是 ． 【答案】 【详解】甲以获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜， 甲以获胜的概率是． 故答案为：. 练习2．某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 【答案】 【详解】解：进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为： . 故答案为： 【跟踪练习】 练习3．甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况， 所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是 故选：B. 练习4．甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为 【答案】 【详解】由题意知，若比赛只有3局，3局都是乙胜的概率为， 若比赛有4局，前3局乙胜2局，第4局乙胜的概率， 所以乙战胜甲的概率为． 故答案为：. 重难点03二项分布 【解题必备】 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 3. 若服从二项分布，则 例5．新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【详解】解：每名教师抽到问题的概率为， 由题意可知，， 故选：D． 例6．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据. 时间t/min ［0,12） ［12,24） ［24,36） ［36,48） ［48,60） ［60,72］ 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）由表格数据可知，学生每日使用手机的时间小于共有人，故所求概率. （2）设中位数为，由表格数据知，使用手机的时间小于的频率为， 使用手机的时间小于的频率为，故， 所以，解得， 即估计该校所有学生每日使用手机的时间的中位数为. （3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为， 则， 所以，， ，， 所以X的分布列为 0 1 2 3 所以. 练习1．（多选）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 练习2．小明上学途中共有n个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为， 记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为， 则n= ， E()= . 【答案】 【详解】由题设，遇到次红灯的概率为，又， 所以，则，显然且， 当时，；当时，；当时，； 所以. 又，由二项分布期望的求法可得. 故答案为：，. 【跟踪练习】 练习3．甲、乙两个小朋友做游戏，游戏规则：用0，1两个数字从左往右排成一个五位数（允许第一位为0，数字可重复使用），若五位数中的1的个数比0的个数多，则甲胜，反之，乙胜，胜方得2分，另一方得分，重复100次这样的游戏，甲得分的均值为 . 【答案】50 【详解】方法一:根据题意，每个数位是“0”或“1”的机会均等， 且事件“五位数中1的个数比0的个数多”与事件“五位数中0的个数比1的个数多”包含的样本点个数相同， 因此甲胜的概率为，重复100次这样的游戏，则甲获胜的次数服从二项分布， 则甲获胜的次数的均值为，因此甲得分的均值为. 故答案为：50. 方法二: 记“一次游戏中，甲获胜”为事件，因为每个数位是“0”或“1”的概率均为， 所以， 故一次游戏中甲得分的均值为， 重复100次这样的游戏，甲得分的均值为. 故答案为：50. 练习4．2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【详解】（1）设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则， 设“学生的肥胖”为事件B，则， 由全概率公式可得， 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为. （2）由题意可知：，且的可能取值为0，1，2，3，则有： ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 的期望. 重难点04超几何分布 【解题必备】 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 例7．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：. 例8．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.4 (2) 【详解】（1）在3小时内完成各科作业的人数为40， 所以在3小时内完成各科作业的概率为； （2）完成各科作业的总时长在2.5小时内共有7人， 其中完成各科作业的总时长在2小时内有3人， 若从这7人中随机取3人， 则X的可能取值为0，1，2，3， 则， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 练习1．设袋子中有个同样大小的球，其中有个红球，个白球，今从中任取个球，令“任取的个球中红球的个数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 练习2．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 【答案】 3 /0.36 【详解】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布， 由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1，2，3， 由超几何分布事件分别计算对应概率， ， ， 可得分布列如下： 1 2 3 则， . 故答案为：; 【跟踪练习】 练习3．某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设事件为“从这18名队员中随机选出两人，这两人来自同一个班级” 则 . （2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,依题意，, 故 ,, . 所以的分布列为: X 0 1 2 P 练习4．袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”； 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以，， 所以. 重难点05二项分布与超几何分布的综合应用 例9．下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【答案】(1)二项分布 (2)二项分布 (3)超几何分布 (4)超几何分布 (5)答案见解析 【详解】（1）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题. （2）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题. （3）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （4）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （5）样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题，也不是二项分布问题． 例10．从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1)分布列见解析，期望为1.2 (2)分布列见解析，1.2 【详解】（1）由题意知，的值为 ， ， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，且. . 的分布列为： 0 1 2 3 . 练习1．某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响. (1)分别求小张，小王答对题目数的分布列； (2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）设小张答对的题目数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为1，2，3，4. 有，， ，， 故小张答对的题目数的分布列为 X 1 2 3 4 P 设小王答对的题目数为，可知随机变量服从二项分布，的取值分别为0，1，2，3，4， 有， ， ， ， . 故小王答对的题目数的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P （2）由（1）可知， 而，所以， 若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数， 则，即，可得. 练习2．统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.同学们在学完高中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决： (1)从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是男生的概率，结合计算结果分析三种抽样； (2)一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和数学期望.结合计算结果分析两种摸球方式的特点. 【答案】(1)答案见解析； (2)分布列见解析，数学期望为8；特点见解析. 【详解】（1）设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点，设事件“抽到两名男生”， 有放回简单随机抽样的样本空间 ， 事件，则； 不放回简单随机抽样的样本空间 ，事件，则； 按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间， 由于按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，则，因此， 计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下， 用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25； 用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167， 用有放回简单随机抽样进行抽样，可以有效地降低出现“极端”样本的概率， 特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0， 真正避免了这类极端样本的出现.所以改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要. （2）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验是独立的，因此， 的分布列为，， 的数学期望为； 对于不放回摸球，各次试验不独立，服从超几何分布， 的分布列为，， 的数学期望为， 说明：二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律， 并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当远小于时，每抽取一次后，对的影响小， 此时，超几何分布可以用二项分布近似. 【跟踪练习】 练习3．一个袋子中装有大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中随机地摸出个球作为样本，用表示样本中黄球的个数. (1)若采取不放回摸球，当，，，时，求的分布列； (2)若采取有放回摸球，当，，，时，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例，求误差不超过的概率(用分数表示). 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布， 且，， 则，，， 则分布列为 0 1 2 （2）对于有放回摸球，各次试验结果相互独立，且每次摸到黄球的概率为，服从二项分布，即，且，， 样本中黄球的比例为一个随机变量，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例误差不超过的概率 . 练习4．在这7个自然数中. (1)每次取一个数，取后放回，共取3次，设为取到奇数的次数，求的数学期望； (2)任取3个不同的数，设为其中奇数的个数，求的概率分布. 【答案】(1)数学期望为 (2)概率分布见解析 【详解】（1）（解法一）因为每次取到的数是奇数的概率为，取到的数不是奇数的概率为， 所以随机变量可能的取值为，且，所以. （解法二）因为随机变量可能的取值为， 所以， . 所以. （2）奇数为：，共4个；偶数为，共3个.随机变量可能的取值为. 则. 可得随机变量的概率分布为： 0 1 2 3 重难点06二项分布的最大概率问题 【解题必备】 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 例11．某人射击一发子弹，命中目标的概率为，现在他射击发子弹，则击中目标的子弹数最可能是（    ） A．14 B．15 C．16 D．15或16 【答案】D 【详解】设命中目标的子弹数为X，则，有， 依题意，设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 故选：D 例12．2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； (3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 【答案】(1)2 (2) (3)或 【详解】（1）由直方图，占6人，占3人， 则成绩优秀的学生人数可取，，，， 所以，， ，， 所以分布列为 0 1 2 3 则期望. （2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生， 由已知条件可知，，， 所以. （3）解法一： 解法二：记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，由题意可知，， 所以，令，则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 练习1．（多选）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（    ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D．当时，n为偶数时，随着的增大而增大 【答案】AC 【详解】对于A，在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A正确， 对于B，， 当时，取得最大值，故B错误； 对于C、D，， ， ， ， 当，n为奇数时，为正项且单调递增的数列， 则随着的增大而增大，故C正确， 当，n为偶数时，，随着的增大而增大， 则随着的增大而减小，故D错误. 故选：AC 练习2．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【答案】 或 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 【点睛】思路点睛：得分由扔骰子过程中出现1分的次数和出现3分的次数决定，所以求得分的概率先设出现1分的次数，再计算的概率，列不等式组求出概率最大的的值，再计算. 【跟踪练习】 练习3．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 【答案】(1)0.5 (2)分布列见解析， (3)或 【详解】（1）由频率分布直方图得，解得． 所以区间对应的频率为， 所以所求概率为． （2）由题可知，该地区高一学生中日平均阅读时长在三组内的学生人数比为， 则需从日平均阅读时长在内的学生中分别抽取人，人，人． 现从这6人中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． （3）由（1）可知从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率为， 则， 由组合数的性质可得，当时，递增，且， 故当或时，最大． 练习4．随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． （2）由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 重难点07正态密度函数与正态曲线的性质 【解题必备】 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求 例13．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误; 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确. 故选：A. 例14．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 练习1．某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】D 【详解】越小，正态曲线越瘦高，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选;D. 练习2．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 【跟踪练习】 练习3．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为 C．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 D．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大 【答案】D 【详解】对AB，由正态分布密度曲线函数，得， 该地水稻的平均株高为，所以A错误；该地水稻株高的方差为，所以B错误； 对C，根据正态分布的对称性可知：, 所以株高在和在（单位：）的概率不一样大，所以C错误； 对D，，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以D正确； 故选：D. 练习4．某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察曲线知，. 故选：D 重难点08正态分布概率的计算及对称性 【解题必备】 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 例15．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（   ） 附：若，则，，． A．8186 B．8400 C．9974 D．9987 【答案】A 【详解】由题得，则，， 则 ， 因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（个）． 故选：A. 例16．若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 【答案】C 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 练习1．若随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为，所以，，所以A，D错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确． 故选：C． 练习2．已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】B 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 【跟踪练习】 练习3．随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由函数没有零点，得， 函数没有零点的概率是，即, 结合，可知， 故选：D 练习4．已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题： 甲：；乙：； 丙：；丁： 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】因为、均等价于， 由题意可得：乙、丙均为真命题，且， 对于甲：因为，故甲为真命题； 对于丁：因为，故丁为假命题； 故选：D. 重难点09正态分布的实际应用 【解题必备】 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 例17．（多选）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（    ） A． B． C． D．， 【答案】AC 【详解】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误； 由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确； 如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误， 故选：AC 例18．为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【答案】(1)个学生； (2)分布列见解析，均值为. 【详解】（1）由题设，且， 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布， 由， 所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上； （2）由（1）知， 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布， 所以，， ，， 所以分布列如下， 0 1 2 3 . 练习1．（多选）化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 【答案】AC 【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大， 反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小. 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差， 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误； ，， ，故C正确； ， ， 而对于任何正态分布都有， 故，故D错误. 故选：AC. 练习2．为检验某公司销售一种新产品的能力，对该公司100天的销售情况做了调查，统计数据如下表所示： 销售数量/件 48 49 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 经计算，这100天的销售数量的平均数，标准差，用频率估计概率． （1）表格中字母的值是 ； （2）为评判该公司的销售水平，从上述100天中随机抽取1天，记当天的销售数量为，并根据以下规则评判．评判规则：若同时满足下列三个不等式，则销售水平为优秀；若仅满足其中两个，则销售水平为良好；若仅满足其中一个，则销售水平为合格；若全部不满足，则销售水平为不合格．三个不等式分别为①，②，③．则该公司的销售水平为 ． 【答案】 51 合格 【详解】（1）依题意，得 ， 解得． （2）由题意得，，， ，，． 于是由表格得， ， ． 故该公司的销售水平为合格． 故答案为：51，合格 【跟踪练习】 练习3．（多选）若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 【答案】BD 【详解】 由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大， 即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高， 则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线， 易知，故A错误； 由原则可知，故B正确； 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：， ，建立方程， 整理可得， 则，故C错误； 易知，故D正确. 故选：BD 练习4．新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克. (1)求的值； (2)求； (3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)100 (2)0.2 (3)分布列见解析，1.6 【详解】（1）. （2）因为，所以， 所以. （3）设1人获赠库车小白杏的个数为，则，，. 依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.34 0.12 0.09 所以. 重难点10标准正态分布的应用 【解题必备】 若数据服从正态分布，则有 例19．（多选）已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（    ） A． B． C．在上是减函数 D． 【答案】AD 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以，A正确； ，因为，所以， 所以不可能，B不正确； 因为，所以当增大时，也增大，C不正确； ，D正确. 故选：AD. 例20．《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）解：由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为， 由且，可得， 由，可得， 估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分. （2）解：若，则，， 由题意可知， ，. 练习1．某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 【答案】185.5 【详解】由题意知，则， 因为，所以，所以， 所以该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于185.5. 故答案为：185.5 练习2．随机变量，，若，那么实数的值为 . 【答案】 【详解】，，，， ，，解得：. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习3．某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率; (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 【答案】(1)0.4207 (2)0.9544. 【详解】（1）. 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207. （2） . 故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 练习4．某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【答案】(1) (2)68 【详解】（1）该同学投篮了四次，设分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”. 则有. （2）随机变量代表次投篮后命中的次数，则服从二项分布， 然后令随机变量，并近似视为其服从正态分布. 题目条件即为，即的概率至少为. 由于我们有， 故命题等价于，解得. 综上，该同学至少要投次. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$