10.3复数的三角形式及其运算 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

10.3复数的三角形式及其运算 一、选择题 1．复数sin 4＋icos 4的辐角主值为(　　) A．4 B．－4 C．2π－4 D．－4 2．复数2÷的三角形式是(　　) A．2 B． C． D． 3．9(cos 3π＋isin 3π)÷[3(cos 2π＋isin 2π)]＝(　　) A．3 B．－3 C．i D．－i 4．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　) A．1＋i　 B．1－i　 C．－i　 D．＋i 5．复数z＝(cos 40°＋isin 40°)6的结果是(　　) A．i B．i C．－i D．－i 二、填空题 6．已知z＝cos ＋isin ，则arg z2＝________． 7．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角主值是________． 8．设z＝1－2i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________． 三、解答题 9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式． 10．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是(　　) A．±i B．－±i C．±i D．±i 11．复数都可以表示为z＝|z|(cos θ＋isin θ)(0≤θ<2π)，其中|z|为复数z的模，θ称为复数z的辐角．已知复数z满足＝1＋i，则z的辐角为(　　) A． C． 12．设2 020＝f (x)＋ig(x)，其中f (x)，g(x)均为实系数多项式，则f (x)的系数之和是(　　) A．－ B．1 C．－ 13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为________． 14．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2． 15．已知复数z＝i，ω＝i，复数，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q．求证：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)． 1．D　[＋isin ．] 2．C　 ＝ ＝＋isin 0－] ＝＋isin －]． 故选C．] 3．B　[9(cos 3π＋isin 3π)÷[3(cos 2π＋isin 2π)] ＝3[cos (3π－2π)＋isin (3π－2π)] ＝3(cos π＋isin π)＝－3．故选B．] 4．D　[由复数z的模为2，辐角为， 可得z＝2i． 所以＋i． 故选D．] 5．D　[z＝(cos 40°＋isin 40°)6＝cos 240°＋isin 240°＝－i．故选D．] 6．π　[因为arg z＝，所以arg z2＝2arg z＝2×．] 7．　[由题知，z1＝2， z2＝2， 所以的辐角主值为．] 8．－　[所得向量对应的复数为(1－2i)×[cos (－30°)＋isin(－30°)]＝(1－2i)i， 故虚部为－．] 9．解：因为z1＝2， 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以． 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝i． 10．D　[＋isin ， ∴－i的立方根为cos ＋isin (其中，k＝0，1，2)．当k＝0时，得cos ＋isin ＝i． 当k＝1时，得cos ＋isin i． 当k＝2时，得cos ＋isin i． 故选D．] 11．C　[由＝1＋i，得z＝＝－1－i，故z＝－1－i＝， 所以z的辐角为．故选C．] 12．C　[因为＝f (x)＋ig(x)，取x＝1， 所以＝f (1)＋ig(1)， 所以cos ＋isin ＝f (1)＋ig(1)＝－i． 则f (1)＝－，故选C．] 13．2　[由z2＋2z＋4＝0， 得z＝±2i)＝－1±i． 因为arg z∈，所以z＝－1－i应舍去， 所以z＝－1＋i＝2．] 14．解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝＝， 所以|z1－z2|＝＝，又arg z2＝， 所以z2＝i， z1＝z2＝(1＋i)z2＝＋i． 15．证明：z＝i＝cos＋isin ， ω＝i＝cos ＋isin ， ∴zω＝cos＋isin ＝cos ＋isin ， ∴＝cos ＋isin ． 又z2ω3＝＝cos ＋isin ， 因此OP，OQ的夹角为＝． ∴OP⊥OQ，又|OP|＝||＝1，|OQ|＝|z2w3|＝1， ∴|OP|＝|OQ|， ∴△OPQ为等腰直角三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$