精品解析： 北京市三帆中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京市西城区三帆中学九年级（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 2024年巴黎奥运会的体育图标是用对称版式加上几何图形来展示各种运动项目的．下列各图案中，不是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对四个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：选项B、C、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：A． 2. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减、上加下减直接求解即可得到答案，熟记函数平移规律左加右减，上加下减是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的解析式是，则， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，如果的半径为3，那么点在（ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．求得线段的长即可确定正确的选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径为3，， ∴点A在圆内， 故选A． 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A. 1 B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，，即可求出a的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 正方形的半径等于正方形的边长 C. 直径是圆中最长的弦 D. 两条弦所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论、正多边形和圆、弦的定义、圆心角、弧、弦的关系定理，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故本选项命题错误，不符合题意； B、正方形的半径等于正方形的边长的倍，故本选项命题错误，不符合题意； C、直径是圆中最长的弦，命题正确，符合题意； D、两条弦所对的弧不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：C． 6. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 此函数图象与直线有两个公共点 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．，故，即可判断A；抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可判断B；抛物线和x轴有两个交点，即可判断C；从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，即可判断D． 【详解】解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知抛物线与直线的交点横坐标分别是和1，抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题抛物线与轴的交点和抛物线上点的坐标特征，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．求出抛物线的表达式，可得，再根据求解． 【详解】解：当时，，当时，， 即抛物线过点、， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，得， 解得：， 抛物线与轴的其中一个交点的横坐标为，另外一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足， ， 即， 解得：， 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质；根据开口向上和过点，可知二次项系数大于0，与轴交于，即可写出解析式； 【详解】根据函数开口向上和过点可得：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 10. 若一个扇形的半径是9cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于 _____． 【答案】120°##120度 【解析】 【分析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，计算即可． 【详解】解：根据弧长公式l＝＝＝6π， 解得：n＝120， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均变为原来的相反数，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：点的坐标为； 故答案为：． 12. 已知某个二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 若点，在此图象上，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，根据点A、B横坐标判断即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， 抛物线的对称轴为直线， ∵点，在此图象上， ∴点到直线的距离比点到直线的距离要大， ∵抛物线的开口向上， ∴． 故答案为：． 13. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 14. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．由题意知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方，进而可得二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，再结合图象可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方， ∴当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的下方， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， ∴的解集是． 故答案为：． 15. 如图，点在上，点在内，其中，则_______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，垂径定理和勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂径定理与勾股定理的综合求线段长是关键． 延长交于，过作于，于，由垂径定理得到，判定是等边三角形，得到，求出，由含度角的直角三角形的性质求出，，，求出，由勾股定理得到，，因此，由此即可求解． 【详解】解：延长交于，过作于，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，的半径为2，四边形内接于，圆心到的距离等于． 下列说法中： ①的长为2； ②； ③若劣弧被点分为的两部分，则； ④若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是； 所有正确结论的序号是_____． 【答案】① 【解析】 【分析】①过点作于点，连接，，则，再由勾股定理求出，进而得，由此可对①进行判断； ②根据是等边三角形得，则，再根据圆内接四边形的性质得，由此可对②进行判断； ③当劣弧被点分为的两部分，连接，有以下两种情况：①时，则；②当时，则由此可对③进行判断； ④连接，，设的中点为，以点为圆心，以为半径作，连接，，根据得当点在上运动时，点在上运动，再根据点与圆的位置关系得当，，在同一条直线上时，为最小，最小值为，然后分别求出，，则可得的最小值是，由此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点作于点，连接，，如图1所示： 则， 的半径为2， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 故①正确； ②， 是等边三角形， ， ， 四边形内接于， ， ， 故②不正确； ③劣弧被点分为的两部分， 有以下两种情况： 连接，如图2所示： 时， ， ， ， ， ， ； ②当时， 则， ， ， ， 综上所述：当劣弧被点分为的两部分，则或， 故③不正确； ④连接，，设的中点为，以点为圆心，以为半径作，连接，，如图3所示： ， ， 当点在上运动时，点在上运动， 根据点与圆的位置关系得：当，，在同一条直线上时，为最小，最小值为， 是等边三角形且边长为2，点是的中点， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 的最小值是． 故④不正确． 综上所述：正确结论的序号是①． 故答案为：①． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、21、22、23题每题5分，第20、24、25、26题每题6分，第27、28题每题7分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 19. 在中，，．将绕点逆时针旋转得到，直线交于点． （1）依题意补全图形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）补图见解答 （2） 【解析】 【分析】（）根据题意补全图形即可； （）设直线交于点，连接，过点作于点，由旋转得，，，，可得为等边三角形，即可得，，．结合等腰直角三角形的性质可得，进而可得，从而可得．在中，可得，在中，可得，则，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意画图如下： 【小问2详解】 解：设直线交于点，连接，过点作于点， 由旋转得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转图形的作法及性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意正确画出图形是解题的关键． 20. 已知二次函数的图象过点，，． （1）求该抛物线的表达式； （2）补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … （3）关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】（1） （2）见解答 （3）①④ 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， 【小问3详解】 解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 21. 2024年9月28日北师大二附中举行“校友秩年返校活动”，二附中校友发展基金会为校友们准备了印有“三色帆”的礼物．已知没有校标的礼物价格是150元，印制后每份礼物的价格是x元．经核算发现，礼物的份数y与x之间有如下关系：．设在这次活动中印制花费w元． （1）求w与x之间的函数表达式． （2）请你帮助基金会算一下给礼物印制最多需要花费多少钱？ 【答案】（1） （2）给礼物印制最多需要花费6250元钱 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出函数关系式，以及应用二次函数的性质解答问题． （1）根据，把代入求出结果即可； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵礼物的份数y与x之间有如下关系：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为6250元， 答：给礼物印制最多需要花费6250元钱． 22. 等分圆周，是一种分割圆形的方法，包含尺规作图法、单规作图法等．马斯凯罗尼圆规问题是一个著名的问题，即能否仅用圆规完成欧几里得几何作图．很早人们就注意了这类作图问题．例如，法国军事家拿破仑就曾向法国数学家们提出了这样一个问题：只用圆规将一个圆周4等分．智慧的小亦同学就解决了此问题，小亦的做法如下： 第一步：首先利用圆规如图所示，把六等分； 第二步：分别以A、D为圆心，为半径画弧，两弧交于点G； 第三步：以A为圆心，为半径画弧，交于M、N．则A、M、D、N是的四等分点． （1）请你按照小亦的做法补全图1； （2）根据图2完成以下证明过程： 已知：，，． 求证：． 证明：∵， ∴（推理依据①_____） ∴②_________，，． ∴是的直径．（推理依据③_______） 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 在中，，， ∴④______． ∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 【答案】（1）见解答 （2）见解答 【解析】 【分析】（1）按要求画图即可； （2）①这是根据弦相等，则弧相等，注意在同圆或等圆中这一条件； ②根据证明过程添加相应的性质和少的过程即可； ③根据圆周角定理即可解答； ④根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 如图1所示， 【小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵， ∴（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等） ∴，，． ∴是的直径．（的圆周角所对的弦是直径） 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 在中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 故答案为：①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等， ②， ③的圆周角所对的弦是直径， ④． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆周角定理，弦和弧的关系，勾股定理等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 23. 已知直线过点． （1）求b的值； （2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点B，交直线于点C． ①当时，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由； ②当时，结合函数图象，则______（填“”，“”或“”）． 【答案】（1） （2）①当时， ，理由见解答；②． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值； （2）由（1）可得出直线的解析式． ①当时，可得出点P的坐标，结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出点B，C的坐标，结合点P的坐标，可得出的值，进而可得出； ②利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点B，C的坐标，结合点P的坐标，可得出的值，结合，即可得出． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴b的值为； 【小问2详解】 由（1）可知：直线的解析式为． ①当时， ，理由如下： 当时， ， ∴点P的坐标为， ∴过点作平行于x轴的直线的解析式为； 当时， ， 解得：， ∴点B的坐标为； ∵直线与直线交于点C， ∴点C的坐标为， ∴， ∴当时，； ②当时， ， 解得：， ∴点B的坐标为； ∵直线与直线交于点C， ∴点C的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 已知：如图，是的直径，是的弦，过作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接、．若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解答 （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明，则，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：为的切线，是半径， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， 同理得：， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， （负值舍）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25. 如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： （1）①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 【答案】（1）（1）①3；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①根据表中数据即可得到结论；②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到接球位置的坐标范围是，把这两点代入函数解析式分别得到和，于是得到结论． 【小问1详解】 解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为， ∴抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 故与满足的函数解析式． 【小问2详解】 ∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包， ∴此时，接球位置的坐标范围是， 当经过点，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴b的取值范围是． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1）①；②＞ （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，进而可以得解． 【小问1详解】 解：（1）①由题意，∵， ∴． ②∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点，点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 故答案为：>． 【小问2详解】 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵，都有， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴ ， ∴． ∴t的取值范围是． 27. 已知：线段．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．再将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接、．分别取线段，的中点，，直线分别交，于点、． （1）如图1所示，，时，．求证：． （2）当时，（1）中结论是否仍然成立，若成立补全图2，并证明你的结论；若不成立说明理由． 【答案】（1） 证明：在下方作，点在直线上，如图1， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ； （2）当且仅当时，结论成立， 即当且仅当时，（1）的结论才成立，否则不成立． 理由：延长至点，使，连接，延长至点，使得，连接， ，， ， ， 、是、的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 要使，即， ， 又， 当且仅当时，结论成立， 即当且仅当时，（1）的结论才成立，否则不成立． 【解析】 【分析】（1）在下方作，点在直线上，先证得，再证得，利用证得，即可证得结论； （2）延长至点，使，连接，延长至点，使得，连接，先证得，得出，再证得，得出，，推出当且仅当时，（1）的结论才成立，否则不成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 28. 已知：平面直角坐标系中，存在点，且满足（其中a、b不能同时为0）． 对于点P、Q，直线和图形W给出如下定义：点P、Q关于直线的对称点为． 若线段和线段都在图形W内部（含边界），则称图形W为点P、Q关于的反射图形． 例如：点满足．如图所示，点P、Q关于直线的对称点为，所以为点P、Q关于的反射图形． （1）若矩形为点关于的反射图形，矩形的边轴，边轴，则符合要求的矩形的面积的最小值为_____； （2）若，是点O，P关于的反射图形，求的半径的最小值； （3）若点，点满足，其中，，且半径为R的为点P、Q关于的反射图形，请直接写出R的取值范围． 【答案】（1）16 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义可得在直线上，则，当恰好为矩形的对角线时，矩形的面积最小（相当于此时矩形恰好把包含在内部），据此求解即可； （2）可求出点O关于直线的对称点，则可推出点在以为圆形，半径为1的圆上运动，由于是点O，P关于的反射图形，则一定不大于的直径，据此求解即可； （3）由题意得与关于直线对称，根据两点距离公式得到点之间的距离是，过点O作于C，交于A，过点O作于B，连接，设直线分别交x轴，y轴于N、M，则，可求出；要求R的最小值，即要保证此时的值最小，如图所示，连接，则直线和的距离一定小于等于或，故当，即时，直线和的距离有最小值，最小值为的长，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，由垂径定理得，则，可得取值范围． 【小问1详解】 解：如图1， ∵矩形为点关于的反射图形，， ∴M，N满足， ∴在直线上， ∴点P和点Q关于的对称点坐标是， ∵矩形的边轴，边轴， ∴当恰好为矩形的对角线时，矩形的面积最小（相当于此时矩形恰好把包含在内部） ∴矩形面积的最小值是； 故答案为：16； 【小问2详解】 解：如图2， 点O关于直线的对称点， ∵， ∴点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动， ∴点在以为圆形，半径为1的圆上运动， ∵是点O，P关于的反射图形， ∴一定不大于的直径， ∵ ∴的直径大于等于， ∴的半径大于等于 ∴的半径最小值为； 【小问3详解】 解：如图3， 由题意得与关于直线对称， ∵点，点满足， ∴点之间的距离是， 过点O作于C，交于A，过点O作于B，连接，设直线分别交x轴，y轴于N、M，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 要求R的最小值，即要保证此时的值最小， 如图所示，连接，则直线和的距离一定小于等于或， 故当，即时，直线和的距离有最小值，最小值为的长， 故当最小时，满足题意， 则此时点P和点Q在第三象限或者在坐标轴的负半轴上， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵（都垂直于），， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴由垂径定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了两点距离计算公式，轴对称的性质，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，矩形的性质，垂径定理等等，正确理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市西城区三帆中学九年级（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 2024年巴黎奥运会的体育图标是用对称版式加上几何图形来展示各种运动项目的．下列各图案中，不是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的解析式是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，如果的半径为3，那么点在（ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 不确定 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A. 1 B. C. D. 不存在 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 正方形的半径等于正方形的边长 C. 直径是圆中最长的弦 D. 两条弦所对的弧相等 6. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 此函数图象与直线有两个公共点 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 2 8. 已知抛物线与直线的交点横坐标分别是和1，抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式_______． 10. 若一个扇形的半径是9cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于 _____． 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标是________． 12. 已知某个二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 若点，在此图象上，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 13. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则________． 14. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ___________． 15. 如图，点在上，点在内，其中，则_______． 16. 如图，的半径为2，四边形内接于，圆心到的距离等于． 下列说法中： ①的长为2； ②； ③若劣弧被点分为的两部分，则； ④若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是； 所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、21、22、23题每题5分，第20、24、25、26题每题6分，第27、28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 19. 在中，，．将绕点逆时针旋转得到，直线交于点． （1）依题意补全图形； （2）若，求线段的长． 20. 已知二次函数的图象过点，，． （1）求该抛物线的表达式； （2）补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … （3）关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 21. 2024年9月28日北师大二附中举行“校友秩年返校活动”，二附中校友发展基金会为校友们准备了印有“三色帆”的礼物．已知没有校标的礼物价格是150元，印制后每份礼物的价格是x元．经核算发现，礼物的份数y与x之间有如下关系：．设在这次活动中印制花费w元． （1）求w与x之间的函数表达式． （2）请你帮助基金会算一下给礼物印制最多需要花费多少钱？ 22. 等分圆周，是一种分割圆形的方法，包含尺规作图法、单规作图法等．马斯凯罗尼圆规问题是一个著名的问题，即能否仅用圆规完成欧几里得几何作图．很早人们就注意了这类作图问题．例如，法国军事家拿破仑就曾向法国数学家们提出了这样一个问题：只用圆规将一个圆周4等分．智慧的小亦同学就解决了此问题，小亦的做法如下： 第一步：首先利用圆规如图所示，把六等分； 第二步：分别以A、D为圆心，为半径画弧，两弧交于点G； 第三步：以A为圆心，为半径画弧，交于M、N．则A、M、D、N是的四等分点． （1）请你按照小亦的做法补全图1； （2）根据图2完成以下证明过程： 已知：，，． 求证：． 证明：∵， ∴（推理依据①_____） ∴②_________，，． ∴是的直径．（推理依据③_______） 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 在中，，， ∴④______． ∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 23. 已知直线过点． （1）求b的值； （2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点B，交直线于点C． ①当时，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由； ②当时，结合函数图象，则______（填“”，“”或“”）． 24. 已知：如图，是的直径，是的弦，过作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接、．若，，，求的长． 25. 如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： （1）①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 27. 已知：线段．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．再将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接、．分别取线段，的中点，，直线分别交，于点、． （1）如图1所示，，时，．求证：． （2）当时，（1）中结论是否仍然成立，若成立补全图2，并证明你的结论；若不成立说明理由． 28. 已知：平面直角坐标系中，存在点，且满足（其中a、b不能同时为0）． 对于点P、Q，直线和图形W给出如下定义：点P、Q关于直线的对称点为． 若线段和线段都在图形W内部（含边界），则称图形W为点P、Q关于的反射图形． 例如：点满足．如图所示，点P、Q关于直线的对称点为，所以为点P、Q关于的反射图形． （1）若矩形为点关于的反射图形，矩形的边轴，边轴，则符合要求的矩形的面积的最小值为_____； （2）若，是点O，P关于的反射图形，求的半径的最小值； （3）若点，点满足，其中，，且半径为R的为点P、Q关于的反射图形，请直接写出R的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $