精品解析：广西壮族自治区柳州市柳城县中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

柳城中学2024-2025学年下学期高二期中考试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 出题人： 审题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y2=4x的焦点坐标是 A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0） 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 4. 若直线：与直线：平行，则（ ） A 4 B. C. 1或 D. 或4 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 8. 已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设已知随机变量满足，则 B. 若，则 C. 若，设，则 D. 若事件相互独立且，则 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点到面的距离为 D. 四面体的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 13. 在等比数列中，已知，则______． 14. 一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求st； （2）记未服用药物动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 18. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下： x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：．，， 附：相关系数，， 19. 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 柳城中学2024-2025学年下学期高二期中考试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 出题人： 审题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 抛物线y2=4x的焦点坐标是 A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D. 【考点】抛物线的性质 【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握． 3 已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得. 故选：C. 4. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. C. 1或 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案. 【详解】由方程，则，所以渐近线. 故选：C. 6. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”， 则， 所以. 故选：A. 7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式来求得正确答案. 【详解】依题意，教授迟到的概率为. 故选：C 8. 已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平移，当直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值. 【详解】设曲线上切点为 到直线的距离为 即的最小值为 故答案为B 【点睛】本题考查了曲线的切线问题，最小值问题，将距离的最小值转化到点到直线的距离是解题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设已知随机变量满足，则 B. 若，则 C. 若，设，则 D. 若事件相互独立且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据期望的性质，可判定A正确；结合二项分布方差的公式，可判定B错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C正确；根据条件概率的计算公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由，所以，所以B错误； 对于C中，由，所以，所以C正确； 对于D中，因为相互独立，所以， 且，所以D正确. 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点到面的距离为 D. 四面体的体积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 对A：、、、， 则、，故， 故，即异面直线和所成的角为，故A错误； 对B：，由轴平面，故平面法向量可为， 则，故直线与平面所成的角为，故B正确； 对C：，，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故，故C正确； 对D：易得四面体为正四面体， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，即可求解，进而可求常数项. 【详解】的二项展开式的通项为， 令得，故常数项为， 故答案为：240． 13. 在等比数列中，已知，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】设数列的公比为，由条件结合等比数列性质可得，分类讨论求解即可. 【详解】设数列公比为，由于，则， 若，则矛盾， 则，此时，符合． 所以. 故答案为：. 14. 一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______. 【答案】 【解析】 【分析】设动圆的圆心为，半径为R，根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，两式相加得到，再根据椭圆的定义求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 因为动圆与圆外切，与圆内切， 所以， 所以， 所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求和即可. （2）利用裂项求和法求. 【小问1详解】 解法一：设等差数列首项为，公差为， 由已知， 解得， 所以． 解法二：因为，所以． 因为，所以. 所以， 所以. 【小问2详解】 因为． 所以数列的前项和 16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求s,t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2） （3）能认为药物对预防疾病有效 【解析】 【分析】（1）根据列联表求和即可； （2）用频率估计概率，计算即可； （3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 由列联表知，； 【小问2详解】 由列联表知，未服用药物的动物有（只）， 未服用药物且患疾病的动物有（只）， 所以未服用药物的动物患疾病的频率为， 所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为； 【小问3详解】 零假设为：药物对预防疾病无效， 由列联表得到， 根据小概率值独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效. 17. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 18. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下： x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：．，， 附：相关系数，， 【答案】（1）可用，，109 （2）选择方案二 【解析】 【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可； （2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断. 【小问1详解】 由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．而，则所以 令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109． 【小问2详解】 若选方案一､需付款元． 若选方案二､设需付款元，则的取值可能为，则， ， 所以，因此选择方案二更划算． 19. 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解； （2）由点差法即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦长，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解. 【小问1详解】 由题意知：，又， 解得. 椭圆的方程为：. 【小问2详解】 设，为线段AB的中点，所以， 因为A，B两点在椭圆上， 所以，两式相减可得：， 则， 即， 而直线OM的斜率为， 直线的斜率为，所以. 故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值. 【小问3详解】 因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：， 由方程组可得：， 可得，， 设点到直线的距离为，则， 即， 令，则， 所以， 当且仅当，即，则时取等， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$