第十一章 立体几何初步 单元检测-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第十一章 立体几何初步 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 2．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知圆锥的底面直径为2，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为(　　) A．3π B．4π C．5π D．6π 4．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(　　) A． C． D．2π 5．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年(1374年)，它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32 m，下底面边长约为34.5 m，高约为9 m，则该墩台的斜高约为(参考数据：≈36.35)(　　) A．9.1 m B．10.9 m C．11.2 m D．12.1 m 6．如图为青岛五四广场主题钢雕塑，由艺术家黄震设计，名为“五月的风”．该雕塑以单纯简练的造型元素排列组合成旋转腾空的“风”，通体火红，寓意五四运动是点燃新民主主义革命的“火种”及青岛与五四运动的渊源．雕塑形状可视为有公共底面的两个相同圆锥的组合体Ω，且圆锥的底面半径和圆锥的高均为15米，据此可知Ω的表面积为(　　) A．223π平方米 B．450π平方米 C．675π平方米 D．900π平方米 7．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2AA1，M是A1B1的中点，则异面直线A1C与BM所成角的余弦值为(　　) A． C． 8．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论中错误的是(　　) A．直线A1C1与AD1为异面直线 B．A1C1∥平面ACD1 C．平面A1C1B∥平面ACD1 D．三棱锥D1-ADC的体积为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l⊂平面ABB1A1，直线m⊂平面BCC1B1，直线n⊂平面ABCD，则直线l，m，n的位置关系可能是(　　) A．l，m，n两两垂直 B．l，m，n两两平行 C．l，m，n两两相交 D．l，m，n两两异面 10．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论正确的有(　　) A．平面EFG∥平面PBC B．平面EFG⊥平面ABC C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，则下列结论正确的为(　　) A．D1P∥平面A1BC1 B．D1P⊥BD C．平面PDB1⊥平面A1BC1 D．三棱锥A1-BPC1的体积不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________． 13．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD∶AB＝1∶2，△PAB是等边三角形，则直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为________． 14．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇(如图①)从海拔4 300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8 848.86米的高度，创造了海拔9 032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图②所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为________平方米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线EF与A1B1所成角的大小． 16．(15分)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E-BB1C1C的体积． 17．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD中点． (1)证明：PB∥平面ACM； (2)证明：AD⊥平面PAC； (3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值． 18．(17分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE． (1)证明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B-PC-A的正切值． 19．(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； (3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 1．B　[对于A，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若l∥α，则α内存在直线l′∥l，因为l⊥β，所以l′⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选B．] 2．B　[已知m，n，l两两相交，可以推出m，n，l在同一个平面，反之，已知m，n，l在一个平面，可以推出m，n，l两两相交，或者m∥n，l与m，n相交等多种情况，故“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．] 3．D　[因为圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的母线长为l＝2r＝2，圆锥的半径为r＝，故该圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×＝6π．故选D．] 4．A　[设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝×3， ∴r＝1，h＝，设内切球的半径为R，则， ∴R＝πR3＝ππ，故选A．] 5．A　[如图所示，设该正四棱台为ABCD-A1B1C1D1，上下底面中心分别为O1，O， 分别取BC，B1C1的中点E，F，连接OO1，O1F，OE，EF， 在平面OO1FE内， 作FH⊥OE交OE于H，则OO1＝9，OE＝AB＝17.25，O1F＝A1B1＝16， 显然四边形OO1FH是矩形，则FH＝OO1＝9，OH＝O1F＝16， 所以EH＝OE－OH＝1.25＝，在Rt△FHE中，EF＝≈9.1， 即该墩台的斜高约为9.1 m．故选A．] 6．B　[由题知，半径r＝15，高h＝15，则母线l＝，所以圆锥的侧面积为πrl＝15×15π＝225π，所以Ω的表面积为2×225π＝450π，故选B．] 7．B　[取AB中点N，连接A1N，CN， 在正三棱柱中，四边形AA1B1B为平行四边形， 因为M，N分别是A1B1，AB的中点， 所以四边形A1NBM为平行四边形，所以A1N∥BM， 所以∠CA1N(或其补角)即为A1C与BM所成角． 设AA1＝a，则AB＝2a，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 因为N是AB的中点， 所以CN＝a， 所以CN2＋A1N2＝A1C2，故CN⊥A1N， 在Rt△A1NC中，cos ∠CA1N＝， 所以异面直线A1C与BM所成角的余弦值为． 故选B．] 8．D　[根据异面直线的定义易知直线A1C1与AD1为异面直线，A正确； ∵AA1∥CC1且AA1＝CC1，则AA1C1C为平行四边形， ∴A1C1∥AC， 又A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1， ∴A1C1∥平面ACD1，B正确； 同理可证：BC1∥平面ACD1， A1C1∩BC1＝C1，平面A1C1B∥平面ACD1，C正确； VD1-ADC＝，D错误．故选D． 　] 9．ACD　[对于A，当l为BB1，m为BC，n为AB时，l，m，n两两垂直，故A正确；对于B，不妨假设l∥m，l，m和BB1不重合，因为l⊄平面BCC1B1，m⊂平面BCC1B1，则l∥平面BCC1B1，又l⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，故l∥BB1，则m∥BB1，又BB1⊥平面ABCD，n⊂平面ABCD，故BB1⊥n，则l⊥n，m⊥n，即l，m，n不可能两两平行，故B错误；对于C，当l为BB1，m为BC，n为AB时，l，m，n两两相交，故C正确；对于D，当l为AA1，m为B1C1，n为CD时，l，m，n两两异面，故D正确．故选ACD．] 10．ABC　[A正确，因为GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，所以平面EFG∥平面PBC；B正确，因为PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，所以GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，所以GF⊥平面ABC，又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面ABC；C正确，因为EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，因为GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．] 11．ACD　[对A，因为在正方体中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩D1C＝D1，BC1∩BA1＝B， 所以平面D1AC∥平面A1BC1． 因为P在面对角线AC上运动， 所以D1P∥平面A1BC1，所以A正确． 对B，当P位于AC的中点时，D1P⊥BD不成立， 所以B错误． 对C，因为A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥B1D， 同理A1B⊥B1D， 因为A1C1∩A1B＝A1， 所以B1D⊥平面A1BC1， 又B1D⊂平面PDB1， 所以平面PDB1⊥平面A1BC1，所以C正确． 对D，三棱锥A1-BPC1的体积等于三棱锥B-A1PC1的体积． △A1PC1的面积为定值A1C1·AA1， B到平面A1PC1的高为定值， 所以三棱锥A1-BPC1的体积不变，所以D正确．] 12．4　[设圆锥的母线长为l，高为h． ∵圆锥的底面半径r＝2，侧面展开图的圆心角为， ∴4π＝l×，∴l＝6，∴圆锥的高h＝．] 13．　[取AB中点为O，连接PO，DO，由于△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB， 因为平面PAB⊥平面ABCD，其交线为AB，PO⊂平面PAB， 所以PO⊥平面ABCD，∠PDO是直线PD与平面ABCD所成角． 不妨设AD＝1，AB＝2，在等边△PAB中，PO＝， 所以DP＝， 故sin ∠PDO＝， 故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为．] 14．562π　[该组合体的直观图如图，半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米，所以半球的表面积为×4π·82＝128π(平方米)，圆柱的侧面积为2·π·8×13＝208π(平方米)， 圆台的侧面积为π(8＋1)×＝225π(平方米)，圆台的上底面面积为π·12＝π(平方米)， 故该组合体的表面积为128π＋208π＋225π＋π＝562π(平方米)．] 15．解：(1)证明：由于Q∈EF⊂平面ABCD，Q∈HG⊂平面CDD1C1， 平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC， 所以Q∈DC，也即点Q在直线DC上． (2)根据正方体的性质可知A1B1∥DC， 所以异面直线EF与A1B1所成角为∠DQE， 由于AB∥DC，E，F分别是AB，BC的中点， 所以∠DQE＝∠FEB＝45°， 所以异面直线EF与A1B1所成角的大小为45°． 16．解：(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE． 又BE⊥EC1，EC1∩B1C1＝C1， 所以BE⊥平面EB1C1． (2)由(1)知∠BEB1＝90°． 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°， 故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6． 作EF⊥BB1，垂足为F， 则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3． 所以，四棱锥E-BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18． 17．解：(1)证明：连接BD，OM，因为底面ABCD为平行四边形，O为AC中点， 故BD与AC相交于O，因为M为PD的中点，则OM∥PB， 因为OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM， 所以PB∥平面ACM． (2)证明：在△ACD中，因为∠ADC＝45°，AD＝AC＝1， 所以∠ACD＝45°， 所以∠DAC＝90°， 所以AD⊥AC， 因为PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD， 因为AC，PO⊂平面PAC，AC∩PO＝O， 所以AD⊥平面PAC． (3)取OD的中点N，连接MN，AN，则MN∥OP， 因为PO⊥平面ABCD， 所以MN⊥平面ABCD，则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角， 其中PO＝2，故MN＝OP＝1， 因为AD⊥AC，AO＝， 由勾股定理得OD＝， 故AN＝， 由勾股定理得AM＝， 所以cos ∠MAN＝． 18．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD， 因为PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE， 所以PC⊥BD，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC． (2)设AC与BD交点为O，连接OE． 因为PC⊥平面BDE， 即PC⊥平面BOE， 所以PC⊥BE，PC⊥OE，所以∠BEO为二面角B-PC-A的平面角． 因为BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC， 所以四边形ABCD为正方形， 所以BO＝， 在△PAC中，PA⊥AC，AC＝2， 所以PC＝3， ⇒⇒OE＝， 所以tan ∠BEO＝＝3， 所以二面角B-PC-A的平面角的正切值为3． 19．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD， 因为底面ABCD是菱形， 所以BD⊥AC， 又因为AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC． (2)证明：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为CD中点， 所以AC＝AD，AE⊥CD，因为AB∥CD， 所以AE⊥AB， 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE， 又因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以AE⊥平面PAB， 又AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE． (3)当点F为PB中点时符合题意，证明如下： 取AB中点G，连接CG，FG，CF． 因为AB綉CD，E，G分别为CD，AB中点， 所以AG綉CE， 所以四边形AGCE为平行四边形， 所以AE∥CG， 又因为AE⊂平面PAE， CG⊄平面PAE， 所以CG∥平面PAE， 在△PAB中，F，G分别为PB，AB的中点， 所以FG∥PA，易得FG∥平面PAE， 又因为CG∩FG＝G，CG，FG⊂平面CFG， 所以平面CFG∥平面PAE， 又因为CF⊂平面CFG， 所以CF∥平面PAE． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$