精品解析：河南省驻马店高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

驻马店高中2024-2025学年高二下期期中考试 数学试题 命题：李辉 审题：郝国明 注意事项： 1.答卷前，请考生务必把自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.满分：150分考试时间：120分钟 一､单选题（每小题5分，共计40分） 1. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 3. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 4. 若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ） A B. C. D. 6. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 7. 已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二､多选题（每小题6分共计18分） 9. 在 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和是128 B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数是 D. 展开式中的有理项共有3项 10. 已知正四棱台，棱台的高为分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面所成角的余弦值为 11. 如果函数导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 三､填空题（每小题5分，共计15分） 12. 如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为__________. 13. 若点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的面积为________． 14. 若，则_________. 四､解答题 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值. 16. 甲乙丙丁戊五个同学 （1）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ （2）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上否存在点，使得平面，说明理由？ 18. 已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列前n项和． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上最大值的表达式； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 驻马店高中2024-2025学年高二下期期中考试 数学试题 命题：李辉 审题：郝国明 注意事项： 1.答卷前，请考生务必把自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.满分：150分考试时间：120分钟 一､单选题（每小题5分，共计40分） 1. 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可. 【详解】由导函数f′(x)的图象知 在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值； 在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值； 在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值； 所以f(x)的极小值点的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题. 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 3. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 4. 若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，进而可得出结果. 【详解】根据函数极值的定义可知：当函数在处取得极值时，一定成立，即“函数在点处取得极值”是“”的充分条件； 当时，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，如：， 其导函数为，当时，，但是单调函数，无极值点； 所以“函数在点处取得极值”是“”的不必要条件. 综上，“函数在点处取得极值”是“”的充分不必要条件. 故选A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型. 5. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可. 【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是． 故选：C． 6. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 7. 已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得：. 所以奇数项的二项式系数和为. 故选：A. 8. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 二､多选题（每小题6分共计18分） 9. 在 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和是128 B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数是 D. 展开式中的有理项共有3项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可判断CD，由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断A. 【详解】对于A,二项式系数和为，故A正确， 对于B，由于 ,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误， 对于C,的通项为，令， 所以的系数是，故C正确， 当时，为整数，所以有理项有4项，故D错误， 故选：AC 10. 已知正四棱台，棱台的高为分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据几何关系，分别取上、下底面的中心分别为，再以点为原点，建立空间直角坐标系，根据选项，代入向量公式，即可判断. 【详解】取上、下底面的中心分别为，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 则，，， 所以， 设平面的法向量为， 则即令，得 因为，所以与平面不平行，A错误； 由于，所以， 所以异面直线与所成角余弦值为，B正确； ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，因为，所以点到平面的距离正确； 易知平面的一个法向量为，所以，D错误． 故选：BC 11. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可． 【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确， ．函数在区间的导数为， 在区间上单调递增，正确； ．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误， ．时，， 当时，，为增函数，， 此时此时函数为减函数， 则函数内有极大值，是极大值点；故正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题． 三､填空题（每小题5分，共计15分） 12. 如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，求出在上的投影向量的长度，再利用勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，又, 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ，即，， 所以在上的投影向量的长度为， 故点到直线的距离为. 13. 若点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据点，在圆上，且关于直线对称可知，直线过圆心，则可解出，然后得出圆的半径，得出圆的面积. 【详解】因点，在圆上，且点，关于直线对称， 根据圆的性质可知： 过圆心，则，解得. 所以圆的方程为：，即， 则，面积为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查圆的一般方程及相关计算，考查圆中的弦的对称轴问题，较简单，根据题目条件确定出圆的方程是关键. 14. 若，则_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据组合数公式运算求解即可. 【详解】因为， 整理可得，解得或， 且，所以. 故答案：8. 四､解答题 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）； （2）9. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合给定的极值点求出值. （2）利用导数求出在上的单调性，进而求出最大值. 【小问1详解】 函数，求导得， 由在处取得极值，得，即，解得， 此时，当时，，当时， 即函数在处取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在区间上的最大值为9. 16. 甲乙丙丁戊五个同学 （1）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ （2）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【答案】（1）72 （2）243 （3）150 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得； （2）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得; （3）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解. 【小问1详解】 甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻， 先将丙丁戊排成一列有种方法， 再将甲乙插空隙中，有种方法， 所以共有不同排法数为（种）. 【小问2详解】 去三个城市游览，每人只能去一个城市， 可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. 【小问3详解】 分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人， 则先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是（种）. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1） 通过 ，从而证明，结合已知，从而得到面； （2）构建空间直角坐标系，通过法向量的夹角求解； （3） 设 ，求解出平面的法向量，通过求解即可； 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴，即 又∵，且，且两直线在平面内， ∴平面. 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面 ，平面， ∴平面,又因为面， ∴. 由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ∴，，， ∵E为PD的中点，∴ 又∵，∴ 设平面FAE的法向量为，则， 令，则，，∴ 由（1）可知，平面， ∴平面的法向量为, ∴ ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 线段上存在点，使得平面， 设，则 由（2）可知，平面的法向量， 则， 解得 ∴当是中点时，则平面. 18. 已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先列出方程组求出数列的首项和公比，从而得到数列的通项公式，再求出数列的首项和公差，从而求出数列的通项公式； （2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求解. 【小问1详解】 由题意得，即， 则， 化简得：，解得（舍去） 则，解得，所以． 则， 设等差数列的公差为，则， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得： 所以， 故， 两式相减得： ， 化简可得： 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值的表达式； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分及讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可得函数的最大值，即可得解； （3）由函数的单调性，可设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 【小问1详解】 易知函数的定义域为. 当时，. ， 所以在点处的切线斜率， 又，即点坐标为， 所以点处的切线方程为； 【小问2详解】 因为. 所以， 当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减， 故函数在区间上的最大值为. 当时，令， 则在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以在上有唯一的一个零点. 令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得： 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最大值为， 由，有： 当时，； 当时，， 故； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上单调递减， 故此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，在时，单调递减，在时，单调递增； 且，所以，① 又时，，当时，， 为了满足有两个零点，则有.② 对①两边取对数可得，③ 将①③代入②可得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$