精品解析：湖南省娄底市涟源市第二中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2025年高一期中考试 数学 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：张璇审题人：颜静 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，解得，即，而， 所以. 故选：B 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出复数，即得其虚部. 【详解】因， 故复数的虚部为. 故选：B 3. 已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的弧长为5，圆心角为， 由弧长公式可知：，所以该扇形的半径， 由扇形面积公式可知：，所以该扇形面积为． 故选：D. 4. 要得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的左加右减的规则即可得到. 【详解】因为目标函数，所以将函数的图象向左平移个单位即可. 故选：C 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义结合充分条件、必要条件的概念可得结果. 【详解】由可得，故，所以. 由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到. 综上得，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可判断. 【详解】由题意知，，， 因为，函数单调递增，且其图象为连续不间断的曲线， 所以是函数的零点所在的一个区间. 故选：A. 7. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 8. 如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不共线的向量可以作基底判断即可. 【详解】对于A，因为，所以共线，故A错误； 对于B，因为，所以不共线，故B正确； 对于C，因为，所以共线，故C错误； 对于D，因为，所以不共线，故D正确． 故选：BD. 10. 已知且，则下列不等式恒成立有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时取等号，而, 故D错误. 故选：ABC. 11. 已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则外接圆半径为4 C. 若，则为直角三角形 D. 若，是钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项：有两种情况.一是，；二是，，不能确定. B选项：根据（为外接圆半径），将，代入求.  C选项：由，用正弦定理化边为角，再因展开化简，得，结合范围得.  D选项：由，用正弦定理化角为边得，再用余弦定理判断为钝角. 【详解】对于A，因为，，所以或. 当时，即，此时为等腰三角形； 当时，即，则，此时为直角三角形. 所以仅由不能得出一定为等腰三角形，选项错误.  对于B，已知，，则由正弦定理， 所以，即外接圆半径为，选项正确.  对于C，已知，由正弦定理可得. 因为，所以. 则，根据两角和的正弦公式展开可得： ，即. 因为、是三角形内角，所以， 所以，即，所以为等腰三角形，选项错误.  已知，由正弦定理可得，，. 将其代入可得. 所以. 因为，所以，即为钝角，所以是钝角三角形，选项正确.  故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角终边上一点坐标，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据终边上的点及余弦函数的定义求函数值. 【详解】由题设. 故答案为： 13. 已知函数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数的组成，代入求解即得. 【详解】由，可得. 故答案为：0. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，应用余弦定理得，结合三角形三边关系即可得范围. 【详解】因，则， 若为钝角三角形，则，得， 又，则，得，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标条件求，再由模的坐标公式可得； （2）由向量的线性运算可得的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以， 所以； 【小问2详解】 ，， 因为，所以， 解得. 16. 已知复数，其中是虚数单位， （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）空集 （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式求解； （2）求出复数对应点，再由点的位置列出不等式组求解. 【小问1详解】 复数为纯虚数，则，无解， 所以实数m的值的集合为空集； 【小问2详解】 由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得， 所以实数m的取值范围是. 17. 已知函数（其中A＞0，，）的图像如图所示． （1）求函数的解析式及其对称轴方程； （2）将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到了函数的图像，求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1），对称轴方程为； （2）单调递增区间为，. 【解析】 【分析】（1）由图象可得、求出，五点法求，再由正弦型函数的性质求对称轴方程； （2）根据图象平移可得，利用正弦型函数的单调性确定上的单调区间. 【小问1详解】 由图知，，，则， 由，即，故，， 所以，，又，则， 故． 令，得， 所以的对称轴方程为． 【小问2详解】 将上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到图象， 因，则， 当，即时单调递增； 当，即时单调递增， 所以在上的单调递增区间为，． 18. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合和角差角公式变形计算即可； （2）运用正弦定理边角互化，再结合余弦函数性质，结合换元法和二次函数性质计算. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 19. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上是递减函数，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. 【小问3详解】 由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一期中考试 数学 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：张璇审题人：颜静 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A B. C. D. 3. 已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，则下列不等式恒成立的有（ ） A B. C D. 11. 已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则外接圆半径为4 C. 若，则为直角三角形 D. 若，是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角终边上一点坐标，则_________. 13. 已知函数，则________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求值； （2）若，求实数k的值； 16. 已知复数，其中是虚数单位， （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 17. 已知函数（其中A＞0，，）的图像如图所示． （1）求函数的解析式及其对称轴方程； （2）将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到了函数的图像，求函数在上的单调递增区间． 18. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长的取值范围． 19. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$