精品解析：湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

明德中学2025年上学期期中考试 高二年级数学试卷 2025年4月 时量：120分钟 满分150 命题：李瑞林 审定：王定希 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案； 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【详解】对于A，，是反比例函数，是奇函数又在区间上单调递减，不符合题意； 对于B，，是幂函数，既是奇函数又在区间上单调递增，符合题意； 对于C，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意； 对于D，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意． 故选：B． 3. 等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 21 B. 28 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出公比，得到，进而求出答案. 【详解】设的公比为， 则，所以， 所以. 故选：A 4. 圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得准线方程以及圆心到准线的距离，即可求得圆的方程. 【详解】易知抛物线的准线方程为； 圆心到准线的距离为，所以该圆的半径为3； 所以圆的方程为. 故选：D 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则； B. 若事件相互独立，，则； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； D. 若决定系数越大，则模型的拟合效果越好. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态曲线可判断A选项；利用并事件的公式计算判断B选项；利用经验回归方程过样本中心点计算C选项；根据决定系数的意义判断D选项. 【详解】对于A选项，随机变量服从正态分布，均值， 正态曲线的对称轴为， ，， 由对称性知，，，故A正确； 对于B选项，若事件相互独立， 则，故B错误； 对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得， ，解得，故C正确； 对于D选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：B. 6. 已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解. 【详解】双曲线的渐近线， 双曲线与直线没有公共点，则. 又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意. 故选：C 7. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析函数单调性，再判断函数的对称性，可得原不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】的定义域为， ，所以， 所以的图象关于对称， 由，所以， 即， 由于，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：A 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得部分分） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，通过给代入特殊值即可判断；对于B选项，利用不等式的可乘性，可加性证明即可判断；对于C选项，要对二次项系数要分两种情况讨论，即可判断，对于D选项，先解出不等式，再按照必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A选项，当时，， 故A错误，是假命题； 对于B选项，若且，则 ， 所以，即， 不等式的两边同时除以，可得， 故B正确，是真命题； 对于C选项，不等式对一切实数恒成立， ①当时，原不等式可化为，恒成立， ②当时，须满足，解得， 综上①②可知，故C错误，是假命题； 对于D选项，解不等式可得， 由，但是由不一定能推出， 所以是的一个必要不充分条件， 即“”是“”的一个必要不充分条件， 故D正确，是真命题； 故选：AC 10. 已知中，角所对的边分别为，的面积记为，若，则（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. 的最大值为 D. 若为线段的中点，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理将变形，再结合三角形中 ，可得，再结合角的范围，即可求出角； 对于B，先由正弦定理求出，再根据圆的周长公式计算即可判断； 对于C，先由余弦定理求出的最大值，再根据三角形的面积公式计算即可判断； 对于D，分析出当时三角形恰好为等边三角形，再求出等边三角形的中线长即可判断. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得 ， 即， 又因为在中，， 所以可得，因为，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理可知， 所以外接圆的周长为，故B错误； 对于C，因为，，所以在中 由余弦定理可知， 即，当且仅当时等号成立； 所以， 的最大值为，故C正确； 对于D，由选项C可知，当时，必为等边三角形， 此时中线，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 若平面，则动点的轨迹长度为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用反证法，假设结论成立，经过推理得到平面，与事实矛盾，排除A；对于B，利用动线构造平面与平面平行，即可判断点的轨迹为线段；对于C，由推理得到三点共线，而平面，故得四面体的体积为定值；对于D，根据题意，确定三棱锥外接球球心为中点，从而求得其半径，即得其体积. 【详解】 对于A，如图1，假设平面，因平面则； 四边形是正方形，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，平面，， 又，平面，平面， 由，可得平面， 显然该结论不成立，故A错误； 对于B，如图2，取，的中点，连接，，， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面； ，，， 四边形是平行四边形，， ，分别是，的中点，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，， 平面平面， 平面，点在平面内， 点又在平面内，点的轨迹为线段， ，，故B正确； 对于C，如图2，，， 又，，， ，，三点共线， 点在上，平面， 点到平面的距离为定值， 又的面积为定值， 四面体的体积为定值，故C正确； 对于D：如图3，为正方形的中心，， 的外心为的中点，又， 的外心为中点， 又平面平面，点即为三棱锥的外接球的球心， 其半径， 此外接球的体积，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】672 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果. 【详解】由题意得， 令，解得，故常数项为. 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】变形后用余弦二倍角公式进行求解. 【详解】. 故答案为： 14. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④． 【详解】对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：①②④. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.） 15. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）可以认为选购车的款式与性别有关 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据列联表的数据直接求解即可； （2）先零假设，然后计算，再进行独立性检验即可； （3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于； 【小问3详解】 随机抽取1人购买款车的概率为：， 的可能取值有0，1，2，3，4，依题意服从，， 因此，. 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，然后由线线平行可得线面平行； （2）取的中点，连接，根据已知可得平面，过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 过点作直线的垂线交于点， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为直径，所以， 所以，，， 在等腰梯形中，，， 所以， 所以， 所以，， ，， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求的极小值； （2）若存在唯一极值点，证明：. 【答案】（1）极小值. （2）方法一：，. 当时，与同号. 因为的图象关于对称，又存在唯一极值点， 如图可得，所以， 所以，故. 将代入得 ， 构造，， 则， 所以，即， 所以 方法二：以前步骤同方法一. 易知在单调递减，在单调递增. （i）当时，，在单调递增， 函数无极值点. （ii）当时，令可得，. 由于，故在区间单调递增，单调递减，单调递增，从而有两个极值点，不合题意. （iii）当时，，故在区间单调递减，单调递增，恰有唯一极值点，符合题意. 所以. 设，，， 所以在单调递减，， 故. 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）方法一，求导后利用函数有唯一极值点确定的关系，再构造函数利用导数分析单调性即可； 方法二，以前步骤同方法一，然后分，，三种情况结合二次函数的性质分析函数的单调性和极值，当时再构造函数求导分析单调性. 【小问1详解】 的定义域为. 当时，，. 令得，或. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 所以当时，取极小值. 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意，，则， 椭圆方程为： 【小问2详解】 如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． 【小问3详解】 设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；第三问关键是将最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题. 19. 设，已知无穷数列的各项均为正整数，且，记数列的前n项所构成的集合为，对于任意正整数n，从集合中任取不同的若干项(取出的项数大于等于1，如果项数是1，运算结果是它本身)，如果这些项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成的正整数集合为，且，则称数列为完美数列. （1）分别判断数列和是否为完美数列，不需要说明理由; （2）若等差数列是完美数列，求公差的所有可能取值; （3）若从集合中任取不同的若干项之间进行加减法运算后所得的数的绝对值互不相同，且为完美数列.证明： 【答案】（1）是完美数列，而不是 （2）1和2； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据完美数列的定义进行判断. （2）根据等差数列的知识、完美数列的定义进行分析，从而求得公差的所有可能取值. （3）先求得，然后利用以及放缩法来求得正确答案. 【小问1详解】 数列是完美数列，而不是完美数列； ，，， 则，集合的元素是到间的正整数， 可以从集合中任取不同的若干项， 进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成， 所以是完美数列. ，，， 当时，， 从集合中任取不同的若干项， 进行加法或减法运算得不到， 所以不是完美数列. 【小问2详解】 设的公差，考虑，则，，而，不符合题意.由（1）可知数列是完美数列，故的公差可能是 又数列是完美数列，故的公差可能是2； 因为，，，， 故中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值， 能够构成集合， 假设中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值， 能够构成集合， 若，则当时， ， 且若， 则若， 则中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值， 可以得到， 则N可由中若干项之间进行加法或减法运算后, 得到故中若干项之间进行加法或减法运算后, 所得的数的绝对值能够构成集合， 结论得证. 故的公差可能是1和2； 【小问3详解】 记，由题意知，集合按上述规则， 总共会产生个正整数;而集合， 按上述规则产生的个正整数中，除1，2，，这个正整数外， 还有，，， 共个数.所以 因为，所以 又因为当时， 而也满足 所以 因此. 【点睛】思路点睛： 小问 1：遇到判断数列是否为完美数列的问题，直接依据定义，分别计算数列的和，然后判断中的元素能否由中元素经过规定运算得到. 小问 2：对于等差数列与完美数列结合的问题，先从公差的取值范围入手进行分析，再结合已知的完美数列实例确定可能的公差值，最后通过数学归纳法进行证明. 小问 3：处理数列和不等式的问题，先根据条件找出数列的递推关系，求出通项公式，再对数列和进行放缩，利用相关公式证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2025年上学期期中考试 高二年级数学试卷 2025年4月 时量：120分钟 满分150 命题：李瑞林 审定：王定希 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 21 B. 28 C. 36 D. 48 4. 圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则； B. 若事件相互独立，，则； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； D. 若决定系数越大，则模型的拟合效果越好. 6. 已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得部分分） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 10. 已知中，角所对的边分别为，的面积记为，若，则（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. 的最大值为 D. 若为线段的中点，且，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 若平面，则动点的轨迹长度为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项为__________. 13. 已知，则______. 14. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.） 15. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求的极小值； （2）若存在唯一极值点，证明：. 18. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 19. 设，已知无穷数列的各项均为正整数，且，记数列的前n项所构成的集合为，对于任意正整数n，从集合中任取不同的若干项(取出的项数大于等于1，如果项数是1，运算结果是它本身)，如果这些项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成的正整数集合为，且，则称数列为完美数列. （1）分别判断数列和是否为完美数列，不需要说明理由; （2）若等差数列是完美数列，求公差的所有可能取值; （3）若从集合中任取不同的若干项之间进行加减法运算后所得的数的绝对值互不相同，且为完美数列.证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $