期末复习——分式常见题型（1）9大考点 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

期末复习——分式常见题型（1） 【考点一 分式与分式方程的判断】 ( 典型例题 ) 例题1：在式子中，分式有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( 巩固练习 ) 1.有理式中，分式有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2.下列关于x的方程：①，②，③，④中，分式方程有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3.在①，②，③，④，⑤中，是分式的有 （填序号） 4.下列方程中，是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 【考点二 分式有意义的条件】 ( 典型例题 ) 例题2：（2024江苏盐城）若分式有意义，则x的取值范围是_________． ( 巩固练习 ) 1.（2024湖南一模）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠－ 1 B. x＞－1 C. 全体实数 D. x＝－1 2.已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_______． 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ． 5．当x满足条件 时，分式有意义． 【考点三 分式的值为0】 ( 典型例题 ) 例题3：若分式的值为零，则 ． ( 巩固练习 ) 1．若分式的值为零，则x的值为 　 　． 2.若分式的值为0，则＝ _________． 3.当x＝　　时，分式的值为零． 4.当 时，分式的值为零． 【考点四 分式的值为正负数】 ( 典型例题 ) 例题4：(2024·吉林)当分式的值为正数时,写出一个满足条件的x的值为　　　　.  ( 巩固练习 ) 1．关于式子，下列说法正确的是（　　） A．当x＝1时，其值为2 B．当x＝﹣1时，其值为0 C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数 D．当x＜﹣1时，其值为正数 2．已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 3．若分式方程的值为正，则的取值范围是______________． 4．阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【考点五 列分式】 ( 典型例题 ) 例题5：春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？（　　） A． B． C． D． ( 巩固练习 ) 1.如图，在笔直的道路上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点出发，相向而行，速度分别为x米/秒和y米/秒．当运动时间为20秒时2人第一次相距a米，那么两人第二次相距a米的运动时间为 秒（用仅含x、y的代数式表示）． 2.小玉要打一份40000字的文件，第一天她打字1.5小时，打字速度为a字/分．第二天她打字速度比第一天快了20字/分，两天打完全部文件，用含a的式子表示第二天打字用的时间为 3.现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如下表所示．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需再加入甲种糖 ________千克． 4.（2024•张家川县一模）《九章算术》中记载了一道驿站送信问题，用现代文表示为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，可列方程为 【考点六 求分式的值】 ( 典型例题 ) 例题6：（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 ( 巩固练习 ) 1.已知，求＝__________． 2.已知，则 ． 3.已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 4.（1）已知，求分式的值． （2）已知：，求的值． 【考点七 分式扩大缩小问题】 ( 典型例题 ) 例题7：若将分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，则该分式的值(　　) A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的10倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 ( 巩固练习 ) 1.在分式中，如果a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值将（ ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．缩小6倍 2.（2025春•南京期中）在下列分式中，若a,b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值不变的是（ ） A． B． C． D． 3.（2025春•长春月考）若分式的值为3，将x,y都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 4.（2024秋•博山区期末）如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值为-2，则原分式的值为 ． 【考点八 分式的值为整数】 ( 典型例题 ) 例题8：能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 ( 巩固练习 ) 1.若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个． 2.已知，则满足k为整数的所有自然数x的值 __________ ． 3.若x及都是正整数，则所有满足条件的x的值的和是 ． 4.阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是_______． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是_______． 【考点九 分式分子、分母系数化为整数】 ( 典型例题 ) 例题9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． ( 巩固练习 ) 1.下列变形从左到右一定正确是（ ） A． B． C． D． 2.不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 3.（2024秋•昌平区校级期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，= ． 4.不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ． 参考答案 【考点一 分式的判断】 例题1：【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案． 【详解】解：式子中，分式有，共2个， 故选：B． 1.【答案】B 【分析】根据分式的定义，即形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子，进行判断即可． 【详解】分式有：，，共2个．故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键． 2.【答案】C 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知量的方程叫做分式方程进行判断 【详解】解：关于x的方程①，方程分母中不含未知数，不是分式方程． 关于x的方程②，方程分母含有未知数，是分式方程． 关于x的方程③，方程分母中含有未知数，是分式方程． 关于x的方程④中，方程分母中不含未知数，不是分式方程． 综上，是分式方程的有②、③，共2个．故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 3.【答案】②④⑤ 【分析】利用分式的定义，依次判断，其中注意是常数． 【详解】解：由分式的定义知 不是分式；是分式；不是分式；是分式；是分式； 故分式有：、、，共3个， 故答案是：②④⑤． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是：理解分式的定义，判断的依据是看分母中是否含有字母． 4.【答案】B 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【考点二 分式有意义的条件】 例题2：【答案】 【解析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不等于零，得出，求出即可． 若分式有意义， 则， ∴． 1.【答案】A． 【解析】由分式在实数范围内有意义，得x＋1≠0，所以x≠－1故选A． 【答案】 2.【分析】根据分式有无意义的条件和分式的解求出m，n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时，没有意义，∴，解得． ∵当时，的值为0，∴，解得． ∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件和分式为0的条件，以及代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3.解：∵代数式有意义， ∴实数x的取值范围是：x≠2． 故答案为：x≠2． 4.【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 5.【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，则分式的分母不为0，据此即可解答． 【详解】解：当，即时，分式有意义． 故答案为： 【考点三 分式的值为0】 ( 典型例题 ) 例题3：【答案】-2 【分析】根据分式的值为零的条件分子为零、分母不为零可以求出的值． 【详解】解：根据题意，得 ，且、； 解得； 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键． ( 巩固练习 ) 1.【考点】分式的值为零的条件． 【答案】见试题解答内容 【分析】分式的值为0时：分子等于0，且分母不等于0． 【解答】解：根据题意，得 |x|﹣1＝0，且x﹣1≠0， 解得x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 2.【答案】-3 【分析】根据分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，故可求解． 【详解】依题意可得解得＝-3故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查求分式的值，解题的关键是熟知分式值为零的条件． 3.【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题． 【答案】见试题解答内容 【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】解：由分子x2﹣4＝0⇒x＝±2； 由分母x+2≠0⇒x≠﹣2； 所以x＝2． 故答案为：2． 【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义． 4.【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，完全平方公式．熟练掌握分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题的关键． 由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【考点四 分式的值为正负数】 ( 典型例题 ) 例题4：0(答案不唯一)　解析:∵>0,1>0, ∴x+1>0,即x>-1,则满足条件x的值可以为0(答案不唯一). ( 巩固练习 ) 1.【考点】分式的乘除法． 【专题】分式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分式的乘除法的法则对分式进行化简，再根据分式的性质对各项进行分析即可． 【解答】解： ， ∵x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1， x≠0， ∴A、x≠1，故A说法错误，不符合题意； B、x≠﹣1，故B说法错误，不符合题意； C、当﹣1＜x＜0时，，故C说法错误，不符合题意； D、当x＜﹣1时，，故D说法正确，符合题意， 故选：D． 2.【答案】C 【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可． 【详解】解：﹣÷＝﹣×＝﹣＝＝， ∵a为整数，且分式的值为正整数，∴a﹣5＝1，5，∴a＝6，10， ∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键． 3.【答案】 【分析】先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解． 【详解】解：，，，故答案为：． 【点睛】此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子大于0是解题的关键． 4.【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数． 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值． 【详解】解：（1），； （2），当，即；当，即； 当，即；当，即，综上，，3，，时，分式的值也为整数． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点五 列分式】 ( 典型例题 ) 例题5：【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． ( 巩固练习 ) 1.【分析】由当运动时间为20秒时2人第一次相距a米，可知相遇之前两人行走20秒的路程和为（100-a）米；求两人第二次相距a米时是在相遇之后，此时两人共走（100+a）米，根据时间=路程÷速度列式即可求解． 【解答】解：由题意可得再，20（x+y）=100-a, ∴a=100-20（x+y）， ∴（秒）． 即两人第二次相距a米的运动时间为秒． 故答案为：． 【点评】此题考查列代数式，理解题意掌握路程、速度与时间之间的关系是解题的关键． 2.解：1.5小时=90分， 根据题意得第二天打字用的时间为：分． 故答案为：分． 3.【分析】设需加入甲种糖x千克，利用单价=总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设需加入甲种糖x千克，根据题意得：-=1，解得：x=10，经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，所以需加入甲种糖10千克．故答案为：10． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程． 【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【考点六 求分式的值】 ( 典型例题 ) 例题6：【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C ( 巩固练习 ) 1.【答案】-8 【分析】由题意利用分式的运算法则对条件变形得出，进而整体代入结论即可求出答案. 【详解】解：由题意可知，即， 则有.故答案为：. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键. 2.【答案】 【分析】设，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解． 【详解】设，根据题意有，k≠0， 则有x=2k，y=3k，z=4k， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查为了分式的求值，设是解答本题的关键． 3.【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 4.【答案】（1）；（2） 【分析】（1）方法1利用完全平方公式将变形为，对已知条件进行变形；方法2中通过不断地代入各代数式的值来达到降次的目的，从四次降为二次再降到一次，最终化简求值． （2） 方法1同时取倒数可得，方程左侧分子、分母同时除以x可得，取倒数后分子、分母同时除以x可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解；方法2中通过不断地代入各代数式的值来达到降次的目的，从四次降为二次再降到一次，最终化简求值． 【详解】解：（1）方法1　倒数法 ：由，得．化简，得，即， ∴．∴． 方法2　 整体法：由，得，则，即， ∴， ∴． （2）方法1 倒数法：由知，∴即， ∴，∴． 方法2 整体法：由，得，则，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查倒数、分式化简求值、完全平方公式的运用，理解已知例题解法的步骤是解题关键． 【考点七 分式扩大缩小问题】 ( 典型例题 ) 例题7：A　 【解析】根据题意，得＝·，∴如果把分式中的x和y同时扩大为原来的10倍，该分式的值缩小为原来的. ( 巩固练习 ) 1.【答案】C 【分析】根据题意列式计算即可得到解答 ．　 【详解】解：由题意可得：，∴最终结果是分式的值不变，故选C． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质及其在分式化简和约分中的应用是解题关键 ． 2.解：，则将a,b的值都扩大为原来的2倍，分式的值不变，则A符合题意， ，则将a,b的值都扩大为原来的2倍，分式的值变了，则B不符合题意， ，则将a,b的值都扩大为原来的2倍，分式的值变了，则C不符合题意， ，则将a,b的值都扩大为原来的2倍，分式的值变了，则D不符合题意， 故选：A． 3.解：∵分式的值为3， ∴， ∵x,y都扩大2倍， ∴3．故答案为：3 4. 解：由题意可得，， ∴， ∴=-2， 即原分式的值为-2， 故答案为：-2． 【考点八 分式的值为整数】 ( 典型例题 ) 例题8：【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． ( 巩固练习 ) 1.【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可． 【详解】解：∵为整数， ∴2x+3为1，3， 当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2； 当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4； 当2x+3=3，即x=0时，原式=0； 当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2． ∴x的值可取0，-1，-2，-3． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成是解题的关键． 2.【答案】0，1，4． 【分析】将k变形为3+，据此可得2x-1=±1或7时k取得整数，解之求得x的值可得答案． 【详解】解：∵， ∴当2x-1=1或2x-1=-1或2x-1=7或2x-1=-7时，k为整数， 解得：x=1或x=0或x=4或x=-3， ∵x 为自然数， ∴x=0，1或4， 故答案为：0，1，4． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是将k变形为3+，并根据k为整数得出关于x的方程． 3.【答案】 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 4.【答案】     2     -3 【分析】（1）将分式变形得，则a+3=±1或±5，即可求解； （2）将分式变形得，则x-4=±1或±7，即可求解． 【详解】解：(1)∵， 又∵的值是整数， ∴a+3=±1或±5， ∴a=-2或-4或2或-8， ∴a的正整数值为2； （2）∵， 又∵的值是整数， ∴x-4=±1或±7， ∴x=5或3或11或-3， ∴x的负整数值为-3， 故答案为：（1）2；（2）-3． 【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法将分式化简是解题的关键． 【考点九 分式分子、分母系数化为整数】 ( 典型例题 ) 例题9：【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． ( 巩固练习 ) 1.【答案】C 【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：A、分式的分子分母不是都乘同一个不为零的整式，原变形错误，故此选项不符合题意； B、分式的分子分母不是都乘或除以同一个不为零的整式，原变形错误，故此选项不符合题意； C、分式的分子分母都除以同一个不为零的整式，原变形正确，故此选项符合题意； D、分式的分子分母不是都乘或除以同一个不为零的整式，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2.【答案】 【详解】① = ; ② = ; ③ = ④ =. 故答案为  (1).     (2).     (3).    (4). 3.解：不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果为，故答案为：． 4.解：．故答案为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$