精品解析： 广西南宁市第三十七中学2024--2025学年上学期12月月考八年级数学试题

2024-2025学年度秋季学期八年级数学学科第二次大作业 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一个是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面的交通标志中，轴对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴，据此解答即可． 【详解】解：C是轴对称图形，A、B、D不是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意． 故选：． 3. 如图，若，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 4. 四边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，边形的内角和为，据此求解即可． 【详解】解：四边形的内角和是， 故选：B． 5. 下列幂的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算法则逐一计算判断即可 【详解】∵， ∴A项计算正确； ∴B项计算正确； ∵， ∴C项计算错误； ∵， ∴D项计算错误； 故选A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 6. 如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，立柱的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由点是斜梁的中点，，得到，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵点是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 下列分式约分正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了约分， 对分子、分母进行因式分解，约去公因式，化为最简分式或整式，逐一计算即可；掌握约分的方法是解题的关键． 【详解】解：A．，结论正确，符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论错误，不符合题意； D．不能约分，不符合题意． 故选：A． 8. 如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点重合，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理、三角形的内角和定理，先根据角平分线的判定定理得到平分，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意，，， ∴平分， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 9. 已知，x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值是（　　） A. -6 B. 3 C. 6 D. ±6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵x的二次三项式x2＋kx＋9可以写成一个完全平方式， ∴x2＋kx＋9＝（x±3）2＝x2±6x＋9， ∴k＝±6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 10. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（ ） A. 平分 B. 垂直平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，可判断A选项正确；由等腰三角形的性质得垂直平分，可判断B选项正确；由，，推导出，可判断C选项正确；举“反例”，，则，所以，说明与不一定相等，可判断D选项错误． 【详解】解：在和中， ， ， ， 平分，故A选项正确； ，平分， 垂直平分，故B选项正确； ，， ，故C选项正确； 假设，，则， ， 与不一定相等，故D选项错误； 故选：D． 11. 如图，在中，，在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是熟练进行逻辑推理．先设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得：． ∴． 故选：C． 12. 如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 16. 如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，以及整式的加减，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和合并同类项的方法． 用整个大长方形的面积减去两个空白长方形的面积，再进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 17. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，数字规律，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．根据题中的规律将展开，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 如图，两直线与相交于点，它们相交所成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用轴对称作出点B关于直线m的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图，作B点关于直线m的对称点E，作直线， 根据轴对称可知：，，， 过点E作，垂足为点F，交直线n于点H， ∵垂线段最短，两点之间线段最短， ∴当C点位于点F，D点位于点H时，的值最小，等于， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．） 19. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和分解因式． （1）根据积的乘方和幂的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂相乘法则计算乘法，最后合并同类项即可； （2）先提取公因式x，然后利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 化简求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，解题的关键是根据整式乘法运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 已知：如图，点，在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ． 在和中 ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键． （1）由，利用线段的和差得到，由证明两个三角形全等即可； （2）由（1）可知，由全等三角形的性质得到，然后利用角的和差来求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 22. 如图，在中， （1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，交于点，则为所作； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而证得的周长，由三角形的周长公式可求得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长． 23. 阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： （1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 【答案】（1） 分解不彻底； 分解过程如下： 设 则：原式 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 则 ． 24. 乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：方法1：__________，方法2：__________； （2）观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________： （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）①4；② 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键． （1）方法1，由大正方形的边长为，直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可； （2）由（1）直接可得关系式； （3）①根据求解即可； ②设， ，可得，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：方法1：，方法2：． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵，且， ∴， 解得：； ②设，，， ∴，， ∴，即， 解得：， 则的值为． 25. 综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， ，， ∴， 是等边三角形， ． ． ， ， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，证明，得到即可； （2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果； （3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）如图2，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ， ，． 是等边三角形， ， ， ， ， ． ， ． ． （3）． 如图，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ． ，． 是等边三角形． ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 26. 如图，在中，，，点为边上一动点（点与点B，C不重合）．以D为顶点作，射线交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）过点在右侧作，交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：由图可知：， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可证得； （2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长； （3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时， ②当时， ③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 又， 在与中： ， ， ∴； 【小问3详解】 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ①当时，如图所示： ， ； ②当时， ， ， ； ③当时， ， 与点D为边上一动点产生矛盾， ∴此类型不存在； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋季学期八年级数学学科第二次大作业 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一个是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面的交通标志中，轴对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 四边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 5. 下列幂的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，立柱的长是（ ） A. B. C. D. 7. 下列分式约分正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点重合，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值是（　　） A. -6 B. 3 C. 6 D. ±6 10. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（ ） A. 平分 B. 垂直平分 C. D. 11. 如图，在中，，在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 14. 点关于轴对称的点的坐标是__________． 15. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 16. 如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是__________． 17. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为________． 18. 如图，两直线与相交于点，它们相交所成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．） 19. （1）计算：； （2）因式分解：． 20. 化简求值：，其中，． 21. 已知：如图，点，在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，在中， （1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 23. 阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题： （1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 24. 乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：方法1：__________，方法2：__________； （2）观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________： （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 25. 综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 26. 如图，在中，，，点为边上一动点（点与点B，C不重合）．以D为顶点作，射线交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）过点在右侧作，交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $