精品解析：广西南宁市第三十七中学2024--2025学年上学期12月月考九年级数学试题

2024-2025学年度上学期九年级第二次大作业 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据ax2＋bx＋c＝0中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项解答即可． 【详解】一元二次方程的一次项系数是3 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心O的距离为2，， ∴点P在内， 故选：C． 4. 如图，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. E. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出m的值． 【详解】解：∵是的一个根， ∴代入得， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握解方程的方法． 6. 一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形中心角度数，掌握正多边形中心角度数计算公式是解题的关键．根据正多边形中心角的计算公式，中心角的度数为，其中为边数．将已知中心角代入公式即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由正多边形中心角的性质可得： 解得： 因此，该正多边形的边数为6． 故选：A． 7. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 8. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 10. 如图，两两不相交，且半径都是，则图中三个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，扇形面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由三角形的内角和定理得，再根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：， 阴影部分的面积， 故选：D． 11. 两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中广泛应用，若舞台长，主持人从舞台一侧进入，走到舞台的黄金分割点处，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．利用黄金分割点的定义列方程即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵点P是的黄金分割点， ∴，即 ∴， 故选：A． 12. 如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，分当时，当时，两种情形，确定解析式，判断即可．正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 当时，， 则， 当时，，， 则， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 14. 如图，在中，，若，则的值是______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15. 若是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之和等于即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 16. 如图，小孔成像实验如图，抽象为数学问题如图，与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由可得，即得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的对应高之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 17. 已知二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表，根据表格中的数据可知，关于的一元二次方程的根是______． … 0 1 2 3 … … 6 2 0 0 2 6 … 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息直接求解即可． 【详解】解：由表格知：当时，；当时，； ∴一元二次方程的根是，， 故答案为：，． 18. 如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】连接． ∵是⊙的切线， ∴； ∴， ∴当时，线段OP最短， ∴PQ的长最短， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到时，线段最短是关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解一元二次方程： 【答案】 【解析】 【分析】运用因式分解法求解即可． 【详解】x2-6x+8=0， 左边因式分解得：（x-2）（x-4）=0， x-2=0或x-4=0， 解得：x1=2，x2=4． 【点睛】利用分解因式的方法来解一元二次方程的步骤为：把方程右边移项为0，左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式至少有一个为0化为两个一元一次方程，进而确定出原方程的解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）作出关于点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点A的对应点的坐标即可； （2）作出以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧的对应点，顺次连接得到，再写出点的对应点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为要求，点A的对应点的坐标为， 【小问2详解】 如图，即为所求，点B的对应点的坐标为， 【点睛】此题考查了中心对称图形的作图和位似图形的作图、写出点的坐标，熟练掌握作图方法并准确作图是解题的关键． 21. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． （1）求证：； （2）求旗杆的高度． 【答案】（1）见解析 （2）9.6米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：根据题意，得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 答：旗杆的高度9.6米． 22. 如图，是的直径，是弦，于点E，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用； （1）先证明，结合，从而可得答案； （2）先求解，，再结合垂径定理与勾股定理可得答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵AB⊥CD， ∴，， ∴． 23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为． （1）求出关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）当该矩形菜园的面积为，求边的长； （3）当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据题意可得，进而根据矩形的面积公式可列出函数解析式，在根据和可求出的取值范围； （）把代入（）所得函数解析式计算即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵矩形菜园的边的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴的取值范围为， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得（不合，舍去），， ∴的长为； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，该矩形菜园的面积最大， 即的长为时，该矩形菜园的面积最大． 24. 如图，为圆的直径，为圆上一点，为的中点，过作圆的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是圆的切线； （2）若，求圆的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又是圆的半径， ∴是圆的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一性质得出，根据证明，可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据切线长定理求出，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵、是圆的切线，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 即圆的半径为． 25. 项目式学习：《洒水车浇灌绿化带》 项目背景 洒水车是城市绿化的主力军，如图1，一辆洒水车平行于绿化带行驶，给绿化带浇水，如何把控行驶中的洒水车与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 查阅资料 可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分（如图2），分别记为，．其中的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口可以看作由向左平移得到． 数据收集 由实际测量可知（如图2），喷水口离地面的高度．洒水车与绿化带之间的水平距离用的长来表示，把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． 建立模型 分别以和所在的直线为轴，轴建立如图3所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； 问题解决 （2）若，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）能，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与轴的交点，二次函数的平移等知识，解题的关键是： （1）设上边缘抛物线为，根据题意求出该抛物线即可； （2）计算当时，的值，与比较；根据平移的规律求出，计算时，x的值，与比较，即可得出结论； （3）计算时，x的值，即可求出的最大值；计算时，x的值，即可求出的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）设上边缘抛物线为， 根据题意，得，， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）∵，， ∴， 当时，， ∵可以看作由向左平移得到， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， ∴能浇灌到整个绿化带； （3）先看上边缘抛物线， 当时，， 解得， 又， ∴， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则的最大值为， 再看下边缘抛物线， 由（2）知：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则的最小值为2， 综上，的取值范围为． 26. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）67.5； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：如图3，延长交于点 H， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论； （3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）根据旋转的性质得到， ，， ； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级第二次大作业 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 4. 如图，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. E. 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 6. 一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 8. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 10. 如图，两两不相交，且半径都是，则图中三个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ） A. B. C. D. 11. 两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中广泛应用，若舞台长，主持人从舞台一侧进入，走到舞台的黄金分割点处，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________． 14. 如图，在中，，若，则的值是______． 15. 若是一元二次方程的两个根，则的值是______． 16. 如图，小孔成像实验如图，抽象为数学问题如图，与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 17. 已知二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表，根据表格中的数据可知，关于的一元二次方程的根是______． … 0 1 2 3 … … 6 2 0 0 2 6 … 18. 如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解一元二次方程： 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标． 21. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． （1）求证：； （2）求旗杆的高度． 22. 如图，是的直径，是弦，于点E，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为． （1）求出关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）当该矩形菜园的面积为，求边的长； （3）当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？ 24. 如图，为圆的直径，为圆上一点，为的中点，过作圆的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是圆的切线； （2）若，求圆的半径． 25. 项目式学习：《洒水车浇灌绿化带》 项目背景 洒水车是城市绿化的主力军，如图1，一辆洒水车平行于绿化带行驶，给绿化带浇水，如何把控行驶中的洒水车与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 查阅资料 可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分（如图2），分别记为，．其中的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口可以看作由向左平移得到． 数据收集 由实际测量可知（如图2），喷水口离地面的高度．洒水车与绿化带之间的水平距离用的长来表示，把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． 建立模型 分别以和所在的直线为轴，轴建立如图3所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； 问题解决 （2）若，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 26. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $