精品解析：江西省乐平中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

江西省乐平中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 45 B. 27 C. 20 D. 18 3. 已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下： 0 1 2 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 且回归方程是，则 A. 2.5 B. 3.5 C. 4.5 D. 5.5 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 14 B. 12 C. 7 D. 5. ，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，若构成一个公差为等差数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆周长时， 10. 关于函数，下列语句正确的是（ ） A. 的极大值等于 B. 的极小值等于 C. 的单调递减区间是 D. 的单调递增区间是 11. 如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（ ） A. 点B到平面的距离为 B. 与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12 已知随机变量，若，则______． 13. 数列的首项，且，令，则______． 14. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 16. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求通项公式； （2）设为的前项和，，求的前项和． 17. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 . （1）若 ，求 (直接写出答案)； （2）求满足不等式 的正整数的最小值； （3）求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省乐平中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复合函数导数公式直接计算可得结果. 【详解】. 故选：D. 2. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 45 B. 27 C. 20 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】已知数列等差，用角标和性质和等差数列求和公式求解即可. 【详解】因为是等差数列，则，由已知， 可得，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下： 0 1 2 3 4 22 4.3 4.8 6.7 且回归方程是，则 A. 2.5 B. 3.5 C. 4.5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意得，根据表中的数据， 可知，且， 所以，解得，故选C. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 14 B. 12 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式写出通项，然后令的次数等于零得到，即可得到常数项. 【详解】的展开式中的通项， 令，得，所以的展开式中的常数项为. 故选：A 5. ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求解即可. 【详解】，故， 故……， 故. 故选：D 6. 如图，已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，若构成一个公差为等差数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，利用等差数列的前项和公式求得，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，， ，即， ，解得， ， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 7. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围. 【详解】， ，解得， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 令，解得或， 易得在上单调递增，在上单调递减，故， 故实数的取值范围是. 故选：A. 8. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为（ ） A 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可证得是等比数列，再结合等比数列的求和公式运算求解． 【详解】因为，所以， 则，又，， 所以是首项为，公比的等比数列， 则， 令，则， 又因为在定义域内单调递增， 且， 所以，所以最大正整数n的值为10． 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 10. 关于函数，下列语句正确的是（ ） A. 的极大值等于 B. 的极小值等于 C. 的单调递减区间是 D. 的单调递增区间是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数法求函数单调性及极值的步骤即可求解. 【详解】因为， 所以. 令则，解得（舍）或. 当时，； 当时，； 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.所以C，D正确； 当时，函数取的极小值为，函数无极大值，所以B正确；A错误. 故选：BCD. 11. 如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（ ） A. 点B到平面的距离为 B. 与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意，根据面面垂直性质定理，可建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用点面距、线线角与线面角的向量公式，再利用数形结合思想，结合球的性质，可得答案. 【详解】由题意易知， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则， 取， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法平面， 点到平面的距离，故A正确； 取，设直线与所成角大小为， ，故B错误； 设直线与平面所成角的大小为， 则，故D正确； 连接，取线段的中点为，过作平面，连接，如下图： 易知点为的外心，可设点为三棱锥的外接球的球心， 由图易得，则球的半径， 所以球的体积，故C错误. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知随机变量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴为， 所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 数列的首项，且，令，则______． 【答案】 【解析】 【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前n项和． 【详解】因为 所以 所以 且 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列 所以 即 代入得 设数列前n项和为 则 则 【点睛】本题考查了数列的综合应用，关键是构造出数列，并求得数列的通项公式，等差数列求和的应用也是重点，属于中档题． 14. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨令，即可得到，令，依题意只需在上单调递减，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围. 【详解】不妨令，则， 所以不等式可转化为， ，即， 令，则， 即在上单调递减， 由， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，即的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数在切点处的切线方程； （2）利用导数研究函数单调性，求最大值. 【小问1详解】 因为，故， 即切点坐标为， ， 故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为. 【小问2详解】 易得 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时，， 又时恒成立， 所以的最大值为. 16. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，，求的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出数列公比，由已知列出方程组求出首项及公比即可. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，得， 则有，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以 . 17. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）借助韦达定理与焦点弦公式计算即可得； （2）借助韦达定理计算即可得. 小问1详解】 因为抛物线的焦点为， 所以直线的方程为，设， 将代入，得，， 所以， 由抛物线的定义知， 故； 【小问2详解】 ， 故. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在上是单调增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意有，分和进行分类讨论得出函数的单调性. （2）不等式恒成立，即，（1）可得，当时，，即在时恒成立，令，，求出单调性，得出的最大值即可得出答案. 【详解】（1）， . 当时，，在上是单调增函数； 当时，. 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上是单调增函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可得，当时，. 由不等式恒成立，得恒成立， 即在时恒成立. 令，，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减 所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题. 19. 定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 . （1）若 ，求 (直接写出答案)； （2）求满足不等式 的正整数的最小值； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，可得第二次“和扩充”后得到数列，即可得到； （2）由已知，数列第次“和扩充”后增加的项数为，可得，可得是首项为4，公比为2的等比数列，可得，则，可解得； （3）由已知，可得，进而可得，从而得到结论. 【小问1详解】 第一次“和扩充”：3，7，4，9，5； 第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5； 故. 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以， 所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，， 故，， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 又，则，即，解得. 所以的最小值为10. 【小问3详解】 因为， ， 依次类推，， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $