精品解析：江西省南昌中学（三经路校区）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024~2025学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高一数学 命题人：谢姝颖 审题人：张志明 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点为边的中点，点在边上，且，则（ ） A B. C. D. 7. 若角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ） A 重心，外心 B. 内心，外心 C. 重心，内心 D. 垂心，外心 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（   ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 10 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 11. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为 ． 13. 如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为________. 14. 已知函数，且，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为. （1）求该扇形圆心角的弧度数； （2）求该扇形的面积. 16. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 17. 在锐角的内角的对边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 18. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19. 已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）若方程在内有两个不同解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高一数学 命题人：谢姝颖 审题人：张志明 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定与角终边相同的角为，，再依次判断每个选项即可. 【详解】与角终边相同的角为，， 对选项A：取，不是整数解，A错误； 对选项B：取，不是整数解，B错误； 对选项C：取，，C正确； 对选项D：取，不是整数解，D错误. 故选：C 2. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】由投影向量定义可知，在上的投影向量为. 故选：C 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可. 【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量模为，都相等，故D正确. 故选：D 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案. 【详解】由，得，即，所以， 故选：D． 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 6. 在中，点为边的中点，点在边上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，转化向量，利用基底表示向量. 【详解】由，可知，，所以， . 故选：D 7. 若角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，再结合诱导公式，得到，即可求解. 【详解】由题意，角的终边经过点，可得， 根据三角函数的定义，可得， 又由. 故选：C. 8. 已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ） A. 重心，外心 B. 内心，外心 C. 重心，内心 D. 垂心，外心 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案. 【详解】解：设中点为，因为， 所以，即， 因为有公共点， 所以，三点共线，即在的中线， 同理可得在的三条中线上，即为的重心； 因为， 所以，点为的外接圆圆心，即为的外心 综上，点依次是的重心，外心. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（   ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法或代入检验法可求出函数的对称轴、对称中心和单调区间． 【详解】函数，最小正周期为，A选项正确； 由，解得图像的对称轴方程为，当时，，B选项正确； ，不是的零点，C选项不正确； 时，有，是正弦函数的单调递减区间， 所以在单调递减，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，数量积的坐标运算，模的坐标表示，以及向量夹角的公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】因为向量，， 对于A中，若与垂直，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，解得，即， 则，所以B正确； 对于C中，若，可得，则， 所以，所以C正确； 对于D中，若，可得，则， 此时，所以D错误. 故选：BC. 11. 函数部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D． 详解】对于选项A:由题意可得，，则， 时，， 又因为，所以，故A错误； 对于选项B:，当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C:令，则，当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位， 得到，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，将x的值代入相应解析式即可求解. 【详解】由题意得 故答案为： 13. 如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得 . 故答案为：. 14 已知函数，且，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇函数和诱导公式求出，再根据周期性求解即可. 【详解】由可得奇函数，， 因为，解得，所以，满足题设， 所以的周期，且， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为. （1）求该扇形圆心角的弧度数； （2）求该扇形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数； （2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【小问1详解】 解：由题意可知，该扇形的弧长为，故该扇形圆心角的弧度数为. 【小问2详解】 解：由题意可知，该扇形的面积为. 16. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简的表达式； （2）利用诱导公式可求得的值. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解：. 17. 在锐角的内角的对边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 先利用正弦定理得到，然后得到，最后求出. 先用余弦定理求出，然后代入面积公式，求出面积. 【小问1详解】 由， 利用正弦定理得：， ， ，又为锐角， 则； 【小问2详解】 由余弦定理得：， 即， ， 又， 则． 18. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解； （2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量与不能共线. 【详解】解：（1）因为，且， 则， 又，所以，即， 故或； （2）由，则， 由，解得， 又与不共线，则，解得， 故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题. 19. 已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式； （2）设，将方程转化为函数与公共点问题. 【小问1详解】 角的终边经过点，, , , 由时，的最小值为， 得，即， , . 【小问2详解】 ∵， ， ， 设， 问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根． ，， 作出曲线，与直线的图象． 时，；时，；时，． 当或时，直线与曲线有且只有一个公共点． 的取值范围是：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$