精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

湖南师大附中2024—2025学年度高二第二学期期中考 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：_______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得服从二项分布，根据二项分布方差的计算方法求解即可. 【详解】因为，所以服从二项分布， 所以. 故选：. 3. 角的终边落在射线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意在角终边上取一点， 则， ， 故选：A. 4. 已知，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用倒序相加法计算求解. 【详解】， 则 两式相加得 所以， 所以. 故选：A. 5. 若且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以 故选：C. 6. 已知函数的极小值点为0，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，时，函数的无极小值，当，函数的极小值为，当，可得函数的极大值为，可得的取值范围. 【详解】由，可得， 因为函数的极小值点为0，所以， 若，则，所以在上单调递增，故函数无极小值， 又函数的极小值点为0，故， 又时，令，可得或， 当，所以，当，，所以0是函数的极小值点，符合题意， 又时，令，可得或， 当，，当，，所以0是函数的极大值点，不符合题意， 综上所述：m的取值范围是. 故选：A. 7. 在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线面角的定义得出、、的正切值表达式，再通过比较线段长度得出正切值大小关系，进而得到角的大小关系. 【详解】如图所示，在矩形中，过作交于点，将沿直线折成，则点在面内的射影在线段上（不包含两点）， 设到平面上的距离为，则， 由二面角，线面角的定义得：， 显然，所以最大，所以最大， 当与重合时，， 因为，所以，则，所以， 所以， 故选：D. 8. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 显然两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大，最大值为， 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中，真命题的有（ ） A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； B. 回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高； C. 对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大． D. 已知随机变量服从二项分布，若，则． 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相关指数的定义确定A； 根据残差的性质确定B； 根据独立性检验确定C； 根据二项分布与均值的运算确定D. 【详解】对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确； 对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确； 对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“与有关系”的把握程度越大，C错误． 对于D，，，又，，解得：，D错误． 故选：． 10. 下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则， C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的最小值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用反例可判定A，利用余弦函数的性质可判定B，利用辅助角公式计算可判断C，利用基本不等式结合同角三角函数的基本关系可判定D. 【详解】对于A，若，，则，即A错误； 对于B，由余弦函数的性质可知若“”， 则“或，”，即B错误； 对于C，， 当时，，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，但不符合三角函数有界性，即D错误. 故选：ABD. 11. 点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 点在曲线上 C. 为定值 D. 当且仅当点与点重合时，取最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点，由题意得出点坐标.由对称性得到互为相反向量判断A选项；由点的横纵坐标的关系判断B选项；由向量数量积为0得到垂直，从而知道三角形为等腰三角形得出角的大小；列出的解析式，求导后得出函数单调区，从而求出最小值. 【详解】点在曲线上，可设， 根据题意，， ， 又点是点关于直线的对称点，故. 对于A选项，点和点关于坐标原点对称，项正确； 对于B选项，根据确定曲线方程，设，得，B选项错误； 对于C选项，因为，且，故 ， 所以是等腰直角三角形，故，C选项正确； 对于D选项，，，则， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当且仅当时，取最小值，即点与点重合，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案. 【详解】把这个数据按从小到大的顺序排列可得：，，，，，，，， ，所以这人年龄的分位数是． 故答案为：． 13. 欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数虚部为___. 【答案】## 【解析】 分析】利用复数虚部定义即可求得复数虚部. 【详解】由公式得，， 所以复数虚部为. 故答案为： 14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将已知变形为，用两角和（差）的正弦公式得到，进而得到与的关系，代入用基本不等式即可求最小值. 【详解】， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵，∴， ∴， ∵为锐角，∴ ∴ , 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题关键是化“弦”为“切”，通过代入减元运用基本不等式求和的最小值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，若，且，则称为“数列”，设为“数列”，记的前项和为. （1）若，求，，的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式列出数列中的项，找规律，发现周期性即可得到答案； （2）根据题意对的奇偶分情况讨论即可得到答案. 【小问1详解】 当时，中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，， 即数列从第四项开始每三项是一个周期， 所以， ，所以， ，所以. 【小问2详解】 ①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，符合题意 ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上①②，可得. 16. 为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号 位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 （1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； （2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； （3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案； （2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案； （3）随机变量可以取，再分别求出概率，则分布列与数学期望可求. 【小问1详解】 由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数， 则山上试验田株古茶树产茶量估算为； 【小问2详解】 山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和， 故方差，， 故； 【小问3详解】 依题意，随机变量可以取， 随机变量的分布列为 9 8 7 6 5 4 随机变量的期望. 17. 如图，直三棱柱中，分别为棱，上的点，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，可证得四边形为平行四边形，进而可得，利用线线平行可得平面； （2）当时，三棱锥的体积最大.，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，求得平面的一个法向量，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 如图，连接，设，连接. 四边形为平行四边形，. 为的中点，即. 又平面平面， 平面. 【小问2详解】 ，而， 当时，取最大值2， 即当时，三棱锥的体积最大. 又三棱柱为直三棱柱，. 当时，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. （1）求的方程； （2）直线和的斜率分别记为和，求证； （3）直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的上焦点、离心率可求得的值，进而可求得双曲线方程. （2）设的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得，进而计算可求得的最小值. （3）直线的方程为，直线的方程为，联立方程线可求得交点的纵坐标为定值，可得结论. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 则，且， 所以， 所以， 所以; 【小问3详解】 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点P在定直线上. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. （1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； （2）当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 （3）设，若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）向量的仿射坐标为；其中一个“完美向量”的仿射坐标为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题中新定义和平面向量的线性运算计算即可； （2）由题中新定义结合三角恒等变化计算求解即可； （3）由对恒成立得到，再由平面向量夹角的求法及三角函数值域的求法计算即可. 【小问1详解】 ， 所以向量的仿射坐标为. 其中一个“完美向量”的仿射坐标为. 小问2详解】 因为当时，是仿射坐标系下的“完美向量”， 所以， 由题意得，则，， 可得，， 故，， 所以，， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 因为， ， ， 因为，所以， 所以对恒成立， 又因为，所以， 得， 此时， 因为，，且， 所以， 所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2024—2025学年度高二第二学期期中考 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：_______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 角的终边落在射线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 若且，则取值范围是（ ）. A. B. C. D. 6. 已知函数的极小值点为0，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（ ） A B. C. D. 8. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. 12 D. 16 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中，真命题有（ ） A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； B. 回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高； C. 对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大． D. 已知随机变量服从二项分布，若，则． 10. 下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则， C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的最小值为5 11. 点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 点在曲线上 C. 定值 D. 当且仅当点与点重合时，取最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是__________． 13. 欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数虚部为___. 14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，若，且，则称为“数列”，设为“数列”，记的前项和为. （1）若，求，，的值； （2）若，求的值. 16. 为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号 位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 （1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； （2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； （3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱中，分别为棱，上的点，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. （1）求的方程； （2）直线和的斜率分别记为和，求证； （3）直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. （1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； （2）当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 （3）设，若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $