精品解析：湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2025年上学期高二期期中数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：杨远帆） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设随机变量，，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.3 D. 0.7 2. 已知的展开式共有项，则该展开式中二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 3. 为了弘扬体育精神，创新学校组织第一届体育节，在一项教师比赛中，方哥进行了8组投篮，得分分别为10，8，6，8，7，9，6，8，那么这组数据的80百分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 4. 邱老师带着班上同学去野外烧烤，现要将4名学生分配到3个烧烤点，每哥烧烤点至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 5. 260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 相关系数的值变小 C. 残差平方和变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 7. 数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ） A. B. A与相互独立 C. 与相互独立 D. A与相互独立 8. 高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 高二某班共有20名男生，30名女生，其中男生的平均身高是175cm，女生的平均身高是165cm，男生身高的方差是14，女生身高的方差是4，则下列说法正确的是（ ） A. 该班50名同学的平均身高是169cm B. 50名同学身高的总方差是32 C. 某小组共4个女生2个男生，则从中选出2名英语课代表的方法有30种 D. 某小组共4个女生2个男生，则从中选出3同学，至少有一位男生的概率是 11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有__________. 13. 小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为______． 14. 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．我市某学校的数学老师组织学生到“牛马司农产品基地”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，尹诗老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大的番石榴的概率为P．若，则__________ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知的展开式中的所有系数之和为729． （1）求的值； （2）求展开式中的系数． 16. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； （2）求第二次取到2号球的概率； 17. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 18. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值. 参考公式：，其中，. ，相关系数.. 若，则认为经验回归方程有价值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10828 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高二期期中数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：杨远帆） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设随机变量，，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.3 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：B. 2. 已知的展开式共有项，则该展开式中二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的性质，求得，再由展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由二项式的展开式共有项，可得，解得， 所以该二项式展开式中二项项系数和为. 故选：B. 3. 为了弘扬体育精神，创新学校组织第一届体育节，在一项教师比赛中，方哥进行了8组投篮，得分分别为10，8，6，8，7，9，6，8，那么这组数据的80百分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这组数据从小到大的顺序排列为， 因为， 所以这组数的80百分位数为， 故选：C 4. 邱老师带着班上同学去野外烧烤，现要将4名学生分配到3个烧烤点，每哥烧烤点至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分配分组问题将4名学生按2，1，1的方式分到三个烧烤点，用分步乘法原理即可求解. 【详解】将4个学生分配到三个烧烤点，则其中一个烧烤点分两名同学，另外两个烧烤点各分一名同学； 故先从4个同学中选2人去其中一个烧烤点共有种， 然后剩下两名同学分别去一个烧烤点共有种， 根据分步乘法原理得：， 故选：B 5. 260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，求的是条件概率，根据条件概率的概率计算公式计算即可. 【详解】设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”， 则，，所以，，． 所以． 所以． 故选：A 6. 某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 相关系数的值变小 C. 残差平方和变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由决定系数、相关系数、残差平方和及相关性的概念和性质作出判断. 【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 对于A：决定系数越接近1，拟合回归方程越优， 故去掉点后变大，越趋于1，故A错误； 对于B：相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优， 由图可得与正相关，故会越接近1，即相关系数的值变大，故B错误； 对于C：残差平方和变小，拟合效果越好，故C正确； 对于D：解释变量与预报变量相关性增强，故D错误. 故选：C 7. 数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ） A. B. A与相互独立 C. 与相互独立 D. A与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概率和相互独立的公式即可求解. 【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为， 由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误； 对于选项B：，，，，故选项B错误； 对于选项C：，，， 所以，所以与相互独立，故选项C正确； 对于选项D：，，，故选项D错误 故选：C. 8. 高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法逐一求解即可判断． 【详解】对于A，令，则，故A正确， 对于B，令可得， 故，故B错误， 对于C，令可得， 故，故C错误， 对于D，令可得， ，故D正确， 故选：AD． 10. 高二某班共有20名男生，30名女生，其中男生的平均身高是175cm，女生的平均身高是165cm，男生身高的方差是14，女生身高的方差是4，则下列说法正确的是（ ） A. 该班50名同学的平均身高是169cm B. 50名同学身高的总方差是32 C. 某小组共4个女生2个男生，则从中选出2名英语课代表的方法有30种 D. 某小组共4个女生2个男生，则从中选出3同学，至少有一位男生的概率是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据分层抽样的平均数和方差的计算公式，可判定A、B正确；根据组合数的公式，可判定C错误；根据古典摡型的概率计算公式，可得判定D错误. 【详解】对于A中，该班50名同学的平均身高为，所以A正确； 对于B中，由分层抽样的方差的计算公式，可得该班50名同学身高的总方差为：，所以B正确； 对于C中，从4个女生2个男生，则选出2名英语课代表，共有种，所以C错误； 对于D中，从4个女生2个男生，选出3同学，共有种不同的选法， 其中至少有一位男生，即1名男生2名女生或2名男生1名女生，有种， 所以概率为从中选出3同学，至少有一位男生的概率是，所以D错误. 故选：AB. 11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，得到，，是两两互斥的事件，且， 结合互斥事件的概念，条件概率公式，以及全概率公式，进行计算，即可求解． 【详解】由题意知，事件，，是两两互斥的事件， 因为， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于D中，由， 所以D正确. 对于C中，由，所以C错误； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有__________. 【答案】48 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法， 对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法， 则由分步乘法计数原理可得种涂色方法. 故答案为：48 13. 小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为______． 【答案】##0.9 【解析】 【分析】设出事件,分别求出和，依题需求，利用条件概率公式计算即得. 【详解】设小明周末晚间去打羽毛球为事件，下午去踢足球为事件， 则，， 依题意，. 故答案为:． 14. 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．我市某学校数学老师组织学生到“牛马司农产品基地”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，尹诗老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大的番石榴的概率为P．若，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列分析4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，再分类讨论最大的番石榴位置，利用古典概型求解即可. 【详解】依题意，4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，有(种)情况， 要摘到那颗最大的番石榴，有以下两种情况． ①最大的番石榴是第3颗，其他的随意在哪个位置，有(种)情况； ②最大的番石榴是最后1颗，第二大的番石榴是第1颗或第2颗，其他的随意在哪个位置，有(种)情况，所以所求概率为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知的展开式中的所有系数之和为729． （1）求的值； （2）求展开式中的系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和公式即可求解； （2）根据二项式展开式的通项即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，． 解得； 【小问2详解】 由（1）知求展开式中的系数， 因为展开式的通项为． 令，得． 展开式中的系数为． 16. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； （2）求第二次取到2号球的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式即可得解. （2）由全概率公式、条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率； 【小问2详解】 依题意两两互斥， 其和为， 并且， ，， ， 应用全概率公式， 有. 17. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，则再利用独立事件的概率计算公式，解方程组即可得到答案. （2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可. 【详解】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的事件， 由题设条件有即 解得，，． 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，； （2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则 ． 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为． 【点晴】本题主要考查独立事件的概率计算问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 18. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值. 参考公式：，其中，. ，相关系数.. 若，则认为经验回归方程有价值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关联 （2），该经验回归方程有价值. 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断； （2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断． 【小问1详解】 2×2列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 零假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05. 【小问2详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以该经验回归方程有价值. 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求的数学期望. 【答案】（1）， （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【小问1详解】 根据题意可设恰有2个黑球的概率为， 所以可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得 所以 【小问2详解】 由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 【小问3详解】 由题意可得 ①， ②， ①-②，得， 因为，所以.所以，的概率分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $