专题08 因式分解重难点汇编（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题08 因式分解重难点汇编 【题型1: 因式分解的定义】 【题型2:公因式】 【题型3:提公因式】 【题型4: 因式分解-平方差】 【题型5: 因式分解-完全平方】 【题型6：提公因式与公式法综合】 【题型7：十字相乘法】 【题型8：因式分解的应用】 【题型1: 因式分解的定义】 1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．以下因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2:公因式】 5．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 6．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 7．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 8．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 9．将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 10．整式的公因式是 ． 11．和的公因式是 ． 【题型3:提公因式】 12．因式分解： ． 13．分解因式： ． 14．分解因式： ． 15．因式分解： ． 16．因式分解： ． 17．分解因式： ． 18．分解因式： ． 19．分解因式的结果是 ． 【题型4: 因式分解-平方差】 20．因式分解：（   ） A． B． C． D． 21．因式分解： ． 22．因式分解： ． 23．分解因式： 24．已知，则 25．因式分解： ． 【题型5: 因式分解-完全平方】 26．下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 27．分解因式： ． 28．分解因式__________． 29．若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 30．因式分解： ． 31．因式分解的结果为 ． 32．分解因式： ． 【题型6：提公因式与公式法综合】 33．因式分解： ． 34．分解因式： (1) (2) 35．因式分解： (1) (2) 36．因式分解 (1) (2) (3) 37．分解因式 (1) (2)． 38．分解因式： (1) (2) 39．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【题型7：十字相乘法】 40．将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 41．将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 42．因式分解： ． 43．因式分解： ． 44．因式分解： ． 45．因式分解： ． 46．因式分解 ． 47．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【题型8：因式分解的应用】 48．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 49．阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 50．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式，然后提取公因式就可以完成因式分解了，过程如下． ． 上述分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法，解答下列问题． (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 51．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： ②求的最小值． ． ， ， 即的最小值为． 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题． (1)用配方法分解因式：； (2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 52．阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等． 例如：分解因式：． 解：原式 ． 根据阅读材料，用上述方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 因式分解重难点汇编 【题型1: 因式分解的定义】 【题型2:公因式】 【题型3:提公因式】 【题型4: 因式分解-平方差】 【题型5: 因式分解-完全平方】 【题型6：提公因式与公式法综合】 【题型7：十字相乘法】 【题型8：因式分解的应用】 【题型1: 因式分解的定义】 1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； B、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； C、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； D、等式的右边是几个整式积的形式，且左、右两边相等，则此项是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，因式分解就是把多项式变形成几个整式积的形式，根据定义即可判断． 【详解】解：A．，故原因式分解不正确，不符合题意； B．，故原因式分解正确，符合题意； C．，故原因式分解不正确，不符合题意； D．不是因式分解，故不正确，不符合题意； 故选：B． 3．以下因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的定义和方法是解题的关键． 根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．选项A没有分解彻底，还可以利用平方差公式进行分解；选项B符合因式分解的定义，选项C等号的右边不是几个整式的积的形式；选项D分解错误． 【详解】解：A. ，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D错误． 故答案选：B． 4．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【题型2:公因式】 5．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键．根据和均含有即可得出答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是， 故选：A． 6．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式，解题的关键是找出多项式各项系数的最大公因数以及各项都含有的相同字母的最低次幂． 分别分析多项式各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂，从而确定公因式． 【详解】在多项式中，8和12的最大公因数是4； 对于字母，在中的次数是3，在中的次数是1，相同字母的最低次幂是； 对于字母，在和中的次数分别是3和2，即相同字母的最低次幂是； 对于字母，中不含，所以公因式中不含． 综合起来，多项式的公因式是， 故答案选：B． 7．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 8．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，根据系数的最大公约数和相同字母的最低指数求解即可，掌握公因式的含义是解题的关键． 【详解】解：多顶式中，各项系数的最大公约数是，各项都含有的相同字母是，字母的指数最低是，字母的指数最低是， ∴它的公因式是， 故选：． 9．将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式；需要注意：公因式必须是每一项中都含有的因式；公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提的公因式是， 故选：． 10．整式的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂的乘积，据此求解即可． 【详解】解：整式的公因式是， 故答案为：． 11．和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．根据公因式的确定方法找出公因式即可． 【详解】解：和的公因式是， 故答案为：． 【题型3:提公因式】 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可得到答案． 【详解】解；， 故答案为；． 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了本提公因式法分解因式，把多项式中各项的公因式提出来即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 15．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了利用提公因式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用提公因式分分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式m分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 18．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先将式子变形，再根据提公因式法提取公因式，计算即可得解． 【详解】解： 故答案为：． 19．分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，先确定公因式，再利用提公因式法分解因式即可．熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型4: 因式分解-平方差】 20．因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式因式分解是关键． 运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故选：D ． 21．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式分解因式，解题关键是熟练掌握平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：根据平方差公式可得：． 故答案为：． 22．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 23．分解因式： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式进行分解即可 【详解】解： 故答案为： 24．已知，则 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 先求出，，然后由，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 25．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查运用平方差公式因式分解，直接运用平方差公式解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型5: 因式分解-完全平方】 26．下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键：①有三项；②两项符号相同且都可写成两数的平方形式；③另一项应是两数积的倍，符号不限． 根据完全平方式的结构特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，该式不是完全平方式，故选项不符合题意； B. ，该式不是完全平方式，故选项不符合题意； C. ，该式不是完全平方式，故选项不符合题意； D. ，该式是完全平方式，故选项符合题意； 故选：． 27．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 28．分解因式__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 29．若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 30．因式分解： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题考查了完全平方公式法分解因式，选择适当方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 31．因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 32．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式：进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6：提公因式与公式法综合】 33．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握基本的几种因式分解方法是关键；先取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 34．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用提公因式与公式法分解因式，掌握“因式分解的方法与步骤”是解本题的关键． （1）先提取公因式，再由平方差公式分解； （2）先提取公因式，再由完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先提取公因式，接着利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，接着利用平方差公式进一步因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解： ； 36．因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 37．分解因式 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式变形为，然后提取公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型7：十字相乘法】 40．将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 41．将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 42．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 43．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 44．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 45．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察与尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 【详解】解：． 故答案为：． 46．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 47．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【题型8：因式分解的应用】 48．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确的将原式因式分解，变形成用已知式子表示的式子是解题的关键． 先把原式提出公因式，然后把，代入求值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式， 故选：． 49．阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解方法的应用，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． （1）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后求的值； （2）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后根据三角形三边关系即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出边长的最大值，进而求出的周长的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ，， ； （2）， ， ， ，， ，， 的边长的范围为：， 即， 、、都是正整数， 的最大值为， 的周长的最大值为． 50．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式，然后提取公因式就可以完成因式分解了，过程如下． ． 上述分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法，解答下列问题． (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法，分组分解法进行因式分解是解题的关键． （1）根据材料提示作为一组，运用平方差公式分解，作为一组，运用提取公因式法分解即可； （2）根据材料提示作为一组，运用完全平方公式分解，再与作为一组，运用平方差分解即可； （3）根据题意，将原式变为，再运用分组分解法得到，结合非负性得到且，即，由此即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：是等边三角形， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴是等边三角形． 51．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： ②求的最小值． ． ， ， 即的最小值为． 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题． (1)用配方法分解因式：； (2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当时，的值最大，最大值是 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据材料，先凑完全平方，再利用平方差公式因式分解即可； （2）①根据题意，得到，分别表示，由，根据三角形面积公式即可解答；②利用材料中方法配方即可解答； 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴的面积为；． ②由①知， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是． 52．阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等． 例如：分解因式：． 解：原式 ． 根据阅读材料，用上述方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）先把多项式写成的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先根据长方形的面积公式，分别求出与，然后求出它们的差，从而比较其大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴ ， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$