专题10 解分式方程及分式方程应用重难点汇编（七大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题10 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型1 解分式方程】 【题型2 分式方程有增根问题】 【题型3 分式方程应用-工程问题】 【题型4 分式方程应用-行程问题】 【题型5 分式方程应用-销售问题】 【题型6 分式方程应用-方案问题】 【题型7 分式方程应用-其他问题】 【题型1 解分式方程】 1．解分式方程． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1) (2) 4．解方程： (1)； (2) 5．解方程： (1) (2) 6．解方程 (1)； (2) 【题型2 分式方程有增根问题】 7．若关于x的分式方程，无解，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．3 8．关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 9．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．若分式方程有增根，则增根一定是（　　） A． B． C． D．或 11．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 12．按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程出现增根，那么的值为 ． 13．关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【题型3 分式方程应用-工程问题】 14．甲、乙二人加工同一种零件，甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，已知甲每小时比乙多加工10个零件． (1)求甲、乙每小时各加工多少个零件？ (2)现有1720个零件需要加工，要求20小时之内完成任务，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，若要在规定时间内完成任务，甲至少需要加工几小时才能离开？ 15．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 16．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 17．迎泽大街作为太原的城市主干道，它见证了太原的历史变迁和发展变化，承载着几代人的岁月记忆．某段维护工程由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天维护的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天． (1)甲、乙两个工程队每天各维护多少米？ (2)有一段长度为2530米的维护工程，因施工需要，该路段同一时间只能允许一个工程队进行维护．为了不影响市民生活，要求15天内必须完工，求至少需要安排甲工程队维护多少天． 18．随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 【题型4 分式方程应用-行程问题】 19．乙巳年正月初一，南南到离家1200米的电影院看电影《哪吒之魔童闹海》，到电影院时发现电影票落在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿电影票用了2分钟，然后骑自行车（匀速）原路返回电影院，已知南南骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，南南骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．求南南步行的速度是每分钟多少米? 20．2024年10月小米汽车征战纽北赛道成为全球最快四门车，已知赛道全长20800m，小米汽车平均圈速比斯巴鲁汽车快，小米汽车到达终点时斯巴鲁汽车还差才能到达．设斯巴鲁汽车的平均圈速为． (1)直接用含的式子表示小米汽车的全程时间为______s； (2)求小米汽车的平均圈速． 21．乐乐家距离学校2880米，他每天骑自行车上学．这学期为了提高中考体育项目中1000米跑（男）的成绩，他决定跑步上学．他跑步的速度是骑自行车速度的，若要保证与之前的到校时间一样，需要提前4分钟出发．请你计算乐乐跑步上学的平均速度． 22．请用方程解决问题：学校举办以“运动点亮生命，拼搏成就梦想”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间的刻苦训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，少用3分钟跑完全程，请问小亮训练前的平均速度是多少？ 18．太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． (1)求小明和小亮的速度分别是多少． (2)小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 【题型5 分式方程应用-销售问题】 23．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 24．某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 25．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 26．2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 27．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【题型6 分式方程应用-方案问题】 28．“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． (1)求出鸭头和兔头的单价． (2)某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 29．项目学习方案： 项目情景 某中学开展种植箱种植活动，初二级各班要购买种子、花苗、菜苗等进行种植． 素材一 初二（1）班采购小组在市场上了解到A种花苗比B种花苗每株便宜2元，用80元购买的B种花苗数量是用32元购买的A种花苗数量的2倍． 任务一 小组成员郑同学设用32元购买的A种花苗数量为x，由题意得方程：①；小组成员乙设②，由题意得方程：． 素材二 种植时，小组成员丙发现自己单位时间内可完成m株花苗或完成株菜苗种植任务，并且完成35株花苗所用时间与完成10株菜苗的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填 ，横线②处应填 ． (2)完成任务二（用方程求解作答）． 30．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人． (1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人； (2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问： ①A、B两种游船每艘分别有多少个座位； ②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 31．某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务． (1)求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？ (2)公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？ 【题型7 分式方程应用-其他问题】 32．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 33．某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额． 34．某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 35．为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． (1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价； (2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 36．1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 37．2024年3月27日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车                                 新能源车 油箱容积：50升                      电池电量：200千瓦时 油价：8元升                        电价：0.6元千瓦时 续航里程：千米                     续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.4元，请根据以上信息回答： (1)分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7200元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用） 38．某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型1 解分式方程】 【题型2 分式方程有增根问题】 【题型3 分式方程应用-工程问题】 【题型4 分式方程应用-行程问题】 【题型5 分式方程应用-销售问题】 【题型6 分式方程应用-方案问题】 【题型7 分式方程应用-其他问题】 【题型1 解分式方程】 1．解分式方程． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键． 根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】解：去分母可得：，    移项可得：，    合并同类项可得：，    系数化为1可得：，    检验：时，， 是原方程的解． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握计算步骤是解题的关键． （）分别先去分母，转化为解一元整式方程，再检验是否有增根即可； （）分别先去分母，转化为解一元整式方程，再检验是否有增根即可． 【详解】（1）解：两边同时乘以得： ， ， 经检验：是原方程的解， ∴ 分式方程的解为； （2）解：两边同时乘以得： ， 经检验：时， ∴分式方程的解为． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查解分式方程； （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解题即可； （2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解题即可． 【详解】（1）解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验：是方程的增根， ∴原方程无解． 4．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1 ）根据解分式方程的一般步骤求解即可； （2 ）根据解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 化为整式方程得， ， 去括号得， ， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得， ， 去括号得， ， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可； （2）先把分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可； 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 6．解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 【题型2 分式方程有增根问题】 7．若关于x的分式方程，无解，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得， 故选：A． 8．关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键． 先去分母，然后把分母为0的值代入整式方程，可求的值，则有增根，整式方程不成立，则没有增根． 【详解】解：， 方程两边都乘以去分母得： ， ∵关于的分式方程有增根， ∴或， 当时，， 解得， ∴当时有增根， 当时，不成立， ∴分式方程只有一个增根， 故选择：． 9．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或， 两种情况即可求的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵方程无解，可分为以下两种情况： 分式方程没有意义时，或， 此时， 整式不成立时，， ∴， ∴的值为或， 故选：． 10．若分式方程有增根，则增根一定是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据分式方程的增根解答即可． 【详解】解：根据题意可知：当时，方程出现增根， 或， 故选：D． 11．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 12．按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程出现增根，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的增根、解分式方程，先将分式方程去分母，化为整式方程，再将增根代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 将增根代入得：， 解得：， 故答案为：3． 13．关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：根据题意得：， 分式方程有增根， 最简公分母， 解得，， 将代入，得， 故答案为： 【题型3 分式方程应用-工程问题】 14．甲、乙二人加工同一种零件，甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，已知甲每小时比乙多加工10个零件． (1)求甲、乙每小时各加工多少个零件？ (2)现有1720个零件需要加工，要求20小时之内完成任务，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，若要在规定时间内完成任务，甲至少需要加工几小时才能离开？ 【答案】(1)甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件 (2)甲至少需要加工12小时才能离开 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件，根据甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲需要加工a小时才能离开，根据现有1720个零件需要加工，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，要在规定时间内完成任务，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件 根据题意，得， 解方程得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件； （2）解：设甲工作a小时离开， ， 解不等式得，， ∴甲至少需要加工12小时才能离开． 15．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 【答案】(1)单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元 (2)原计划平均每天制作20个充电桩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，根据表格数据进行出方程组，再计算，即可作答． （2）设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，再根据实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，由题意得： ， 解得： 答：单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元． （2）解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每天制作20个充电桩． 16．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 17．迎泽大街作为太原的城市主干道，它见证了太原的历史变迁和发展变化，承载着几代人的岁月记忆．某段维护工程由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天维护的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天． (1)甲、乙两个工程队每天各维护多少米？ (2)有一段长度为2530米的维护工程，因施工需要，该路段同一时间只能允许一个工程队进行维护．为了不影响市民生活，要求15天内必须完工，求至少需要安排甲工程队维护多少天． 【答案】(1)乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米； (2)至少需要安排甲工程队维护10天． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米，根据“甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天”列出分式方程，据此求解即可； （2）设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天，根据题意列出不等，据此求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米； （2）解：设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为10， 答：至少需要安排甲工程队维护10天． 18．随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 【答案】(1)一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩 (2)王伯伯至少还需要27个人同时打药 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩． （2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得： ， 解得：； 答：王伯伯至少还需要27个人同时打药． 【题型4 分式方程应用-行程问题】 19．乙巳年正月初一，南南到离家1200米的电影院看电影《哪吒之魔童闹海》，到电影院时发现电影票落在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿电影票用了2分钟，然后骑自行车（匀速）原路返回电影院，已知南南骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，南南骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．求南南步行的速度是每分钟多少米? 【答案】南南步行的速度是每分钟80米 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设南南步行的速度是x米/分钟，则南南骑自行车的速度是米/分钟，然后根据题意可得方程，进而求解即可 【详解】解：设南南步行的速度是x米/分钟，则南南骑自行车的速度是米/分钟，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：南南步行的速度是每分钟80米． 20．2024年10月小米汽车征战纽北赛道成为全球最快四门车，已知赛道全长20800m，小米汽车平均圈速比斯巴鲁汽车快，小米汽车到达终点时斯巴鲁汽车还差才能到达．设斯巴鲁汽车的平均圈速为． (1)直接用含的式子表示小米汽车的全程时间为______s； (2)求小米汽车的平均圈速． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，熟知路程、时间及速度三者之间的关系是解题的关键． （1）先用表示出小米汽车的平均圈速，再结合赛道全长即可解决问题． （2）根据题意列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 因为小米汽车平均圈速比斯巴鲁汽车快，且斯巴鲁汽车的平均圈速为， 所以小米汽车平均圈速为， 所以小米汽车的全程时间为． 故答案为：． （2）由题知， ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 故小米汽车的平均圈速 答：小米汽车的平均圈速为． 21．乐乐家距离学校2880米，他每天骑自行车上学．这学期为了提高中考体育项目中1000米跑（男）的成绩，他决定跑步上学．他跑步的速度是骑自行车速度的，若要保证与之前的到校时间一样，需要提前4分钟出发．请你计算乐乐跑步上学的平均速度． 【答案】180米/分 【分析】本题考查分式方程应用．根据题意设乐乐骑自行车的速度为x米/分，则乐乐跑步的速度为米/分，再列式计算即可． 【详解】解：设乐乐骑自行车的速度为x米/分，则乐乐跑步的速度为米/分， 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的根． ． 答：乐乐跑步上学的平均速度为180米/分． 22．请用方程解决问题：学校举办以“运动点亮生命，拼搏成就梦想”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间的刻苦训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，少用3分钟跑完全程，请问小亮训练前的平均速度是多少？ 【答案】米/分 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，可得比赛时小亮平均速度为米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．解方程并检验即可． 【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，小亮训练前的平均速度为x米/分， ∴比赛时小亮平均速度为米/分， 根据题意可得， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意． 答：小亮训练前的平均速度是米/分． 18．太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． (1)求小明和小亮的速度分别是多少． (2)小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 【答案】(1)小亮的速度为米分，小明的速度为米分 (2)小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．正确找出等量关系和建立不等式是解题的关键． （1）根据小明比小亮早到分钟列出分式方程求解即可； （2）根据两人各自的速度和到的距离，分别算出小明、小亮从点到的时间， 设小亮先出发y分钟，因为需要小亮先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B，算出小明从到的时间要大于等于小亮从到的时间，即，求解即可． 【详解】（1）解：小亮的速度为x米/分，则小明的速度为米/分， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则． 答：小亮的速度为米分，小明的速度为米分． （2）解：到的距离为（米）， 小明从点到的时间为：（分钟）， 小亮从点到的时间为：（分钟）， 设小亮需要先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 则有，解得． 故小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B． 【题型5 分式方程应用-销售问题】 23．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 24．某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)，3 (2)6 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）假设出未知数，根据农机具数量关系列出方程求解即可，注意最后要进行检验； （2）假设出未知数，找出不等关系，列出一元一次不等式，确定取值即可． 【详解】（1）解：设购买1件乙种农机具需要万元，则购买1件甲种农机具需要万元，根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴ 所以，购买1件甲种农机具需要万元，购买1件乙种农机具需要3万元； （2）解：设购买甲种农机具购买件，则乙种农机具为件，根据题意得， 解不等式得，， ∵取正整数， ∴ 所以，甲种农机具最多能购买6件． 25．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元 (2)当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查分式方程，不等式，一次函数求最值的方法，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本，则，设费用为元，则，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元， ∴设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元， ∵用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴， ∴每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元； （2）解：学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本， 设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本， ∴， 解得，， 设费用为元， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为元， ∴当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元． 26．2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． (2)由两种购买方案 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题． （1）设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，根据“12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答； （2）设购买型无人机台B款无人机模型n架，根据“用20000元购买无人机模型，决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍”列不等式，根据题意求出其正整数解，即可解答． 【详解】（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程得解且符合题意，， 答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． （2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得： ， 解得：，且为整数． 或5， 所以，由两种购买方案， 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台． 27．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； (2)，有4种购买方案； (3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元； （2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案； （3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个． 【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）解：根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ， 解得：， ， 而为整数， 可取347或348或349或350； 有4种购买方案； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：， ， 、都为非负整数， ，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 【题型6 分式方程应用-方案问题】 28．“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． (1)求出鸭头和兔头的单价． (2)某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 【答案】(1)鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元 (2)有2种购买方案：①购买鸭头25个，兔头8个；②购买鸭头10个，兔头16个 【分析】（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为元，根据用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鸭头m个，兔头n个，根据某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 本题考查了分式方程方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元； （2）解：设购买鸭头m个，兔头n个， 由题意得：， 整理得： ， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案： ①购买鸭头25个，兔头8个； ②购买鸭头10个，兔头16个． 29．项目学习方案： 项目情景 某中学开展种植箱种植活动，初二级各班要购买种子、花苗、菜苗等进行种植． 素材一 初二（1）班采购小组在市场上了解到A种花苗比B种花苗每株便宜2元，用80元购买的B种花苗数量是用32元购买的A种花苗数量的2倍． 任务一 小组成员郑同学设用32元购买的A种花苗数量为x，由题意得方程：①；小组成员乙设②，由题意得方程：． 素材二 种植时，小组成员丙发现自己单位时间内可完成m株花苗或完成株菜苗种植任务，并且完成35株花苗所用时间与完成10株菜苗的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填 ，横线②处应填 ． (2)完成任务二（用方程求解作答）． 【答案】(1)；每枝A种花卉单价为a元 (2)7 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）①根据分式方程的意义，列方程解答即可，根据方程的意义，确定横线②处应填每枝A种花卉单价为a元． （2）列出分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据分式方程的意义，列方程， 横线①处应填，横线②处应填每枝A种花卉单价为a元． 故答案为：；每枝A种花卉单价为a元． （2）解：单位时间内可完成株花苗或完成株菜苗任务， 完成花苗任务的效率为，完成菜苗任务的效率为， 完成35株花苗所用时间与完成10株菜苗的时间相同， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 30．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人． (1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人； (2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问： ①A、B两种游船每艘分别有多少个座位； ②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)七年级教师有26人，学生有274人 (2)①A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设八年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案． 【详解】（1）解：设八年级教师有x人，学生有y人， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：七年级教师有26人，学生有274人； （2）解：①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位； ②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘， 依题意，得：， ∴． 又∵a，b均为非负整数， ∴，，，，， ∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船． 31．某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务． (1)求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？ (2)公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)15 (2)3种 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式组的应用，理解题意并解方程和不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设旧型服务器每小时处理x项任务，则新型服务器每小时处理1.5x项， 小时小时， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：一台新型服务器每小时能处理的任务量是15项． （2）解：设购入y台新服务器，则购入台旧服务器， ， 解不等式组，得， ∵y为正整数， ∴，5，6， 则，5，4， 方案一：购入4台新服务器，6台旧服务器； 方案二：购入5台新服务器，5台旧服务器； 方案三：购入6台新服务器，4台旧服务器； 即共有三种方案． 【题型7 分式方程应用-其他问题】 32．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 33．某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额． 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨； (2)与的函数关系式为，最少购买金额为46.4万元． 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用； （1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，然后根据题意可列分式方程进行求解； （2）由题意可得购买型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴（吨）， 答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物为吨． （2）解：由题意可得：购买型机器人的台数为台， ∴； 由题意得：， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，即为， 即：与的函数关系式为，最少金额为万元． 34．某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 35．为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． (1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价； (2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 【答案】(1)水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元 (2)最多可购买个水基灭火器． 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，理清题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解答本题的关键． （1）设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元，根据“用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同”列出分式方程，解之即可； （2）设购买个水基灭火器，则购买个干粉灭火器，根据“学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元”列出一元一次不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解：设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 答：水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元； （2）解：设购买个水基灭火器， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 最大取， 答：最多可购买个水基灭火器． 36．1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)670元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数的应用． （1）设滑动变阻器的最大电阻是．根据“滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．”列出分式方程，求解即可； （2）设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍”列出不等式，得到．列出y关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程： ， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知： ， 解得：， 总费用 ，即， ∵ ， ∴ y随m的增大而减小． ∵ m是整数，                      ∴ 当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 37．2024年3月27日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车                                 新能源车 油箱容积：50升                      电池电量：200千瓦时 油价：8元升                        电价：0.6元千瓦时 续航里程：千米                     续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.4元，请根据以上信息回答： (1)分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7200元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】(1)燃油车：元，新能源车：元 (2)每年行驶里程超过千米时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）由“燃油车每千米行驶费用比新能源车多元”可得，解方程即可求出的值，进而可求出燃油车和新能源车的每千米行驶费用； （2）设每年行驶里程为千米时买新能源车的年费用更低，由题意得，解不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则 （元），（元）， 燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：设每年行驶里程为千米时买新能源车的年费用更低， 由题意得： ， 解得：， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 38．某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 【答案】(1)学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人 (2)参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． （1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，根据“实际的人均费用只为原来的人均费用的”列方程求解即可； （2）设参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，则“特色数字化体验”分的平均速度为y千米/时，根据参观“经典讲解”、 在“特色数字化体验”部分排队的时间、参观“特色数字化体验”的时间共小时，即可列方程求解． 【详解】（1）解：设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人； （2）解：设参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，则“特色数字化体验”分的平均速度为y千米/时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， （千米/时） 答：参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$