精品解析：福建省泉州市泉州师范学院附属中学，泉州台商投资区玉埕2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

泉州师院附中、玉埕中学2025春季校本作业专项综合训练 初三年数学学科 试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（　　） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数定义，熟知倒数的定义是解决本题的关键． 根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：根据倒数的定义得的倒数为， 故选：B． 2. 如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 六棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，熟记几种几何体的展开图是解题的关键． 根据简单几何体的展开图求解即可． 【详解】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确． 故选：C． 3. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解． 【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意； B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意； C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意； D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：A． 6. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 7. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线， ∴，是的平分线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 8. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将3550000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 写出满足不等式组的一个整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 13. 在将标有“最”“美”“福”“建”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 最 美 福 建 最 （最，美） （最，福） （最，建） 美 （美，最） （美，福） （美，建） 福 （福，最） （福，美） （福，建） 建 （建，最） （建，美） （建，福） 共有种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果有：（福，建），（建，福），共种， ∴摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率为． 故答案为：． 14. 小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼成了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义；无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，即可求解；理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键． 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案：． 15. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．理解题目中的计算步骤，根据计算步骤进行求解即可． 【详解】解：， 故的算术平方根是． 故答案为：． 16. 如图，矩形的对角线，相交于点，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．连接，设，证明，根据相似三角形的性质得到比例线段，求出的长即可得到答案． 【详解】解：连接，设， 在矩形中，， 则， ， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共86分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段的中点得出，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵点C是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】（1）8，8，8，10 （2）2， （3）推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数、方差等知识点，掌握方差的定义是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义即可解答． 【小问1详解】 解：甲平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，8，8，10． 【小问2详解】 解：； ． 【小问3详解】 解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法画图即可； （2）证明是等腰直角三角形，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 的周长． 22. 中，，点O在上，以为半径的圆交于点D，交于点E，且． （1）求证：是的切线． （2）连接交于点F，若，，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算，熟知切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算公式是解题的关键． （1）连接，利用全等三角形的性质得出即可解决问题． （2）利用勾股定理求出的半径，再求出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【小问1详解】 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵点D在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：令的半径为r， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴弧的长为：． 23. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 24. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解； [深入研究] 【解析】 【分析】[操作判断] 根据正方形性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 若点满足，则称点为“系点”，例如：满足，则称为“3系点”． （1）下列属于“3系点”的有___________．（填写序号） ① ② ③ ④ （2）关于的函数与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3系点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，求的值； （3）已知关于的二次函数的图象上存在2个不同的“3系点”，且对于该二次函数有当时，相应的函数值，总满足，请求出线段长度的取值范围． 【答案】（1）①④ （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据“系点”的定义进行判段即可； （2）先求出“3系点”为，将代入，求出，分类讨论即可． （3）先求出的取值范围，设抛物线上的点为，设，根据韦达定理以及两点间的坐标公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①，故①符合题意； ②，故②不符合题意； ③，故③不符合题意； 时，故④符合题意； 故答案为：①④； 【小问2详解】 解：关于的函数与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3系点”， 设“3系点”为， 将代入， ， 解得或， 经检验，均是方程的根， 但不满足图像在第二象限，故舍去， “3系点”为， 将代入， 得： 此时函数解析式为 函数的图象与坐标轴只有2个交点， 分两种情况讨论： 当时， ①当抛物线与轴只有个交点时，则令， 此时， ， 解得， 此时抛物线为， 当时，， 故与轴交于， 当时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点； ②当抛物线与轴只有个交点时， 则必过， ， 解得， 此时抛物线为， 当时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点； 当时， 此时，符合题意， 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：由于关于的二次函数的图象上存在2个不同的“3系点”，且对于该二次函数有当时，相应的函数值，总满足， 对称轴为， 令， 则， ， ， 依题意得：， ，即点在对称轴的左侧， ， 在直线左侧，随着的增大而减小， ， ， ， ， 整理得：， 或， 解得或（舍去）， ， 设抛物线上的点为， 由“3系点”定义可得：， ， 由于函数的图象上存在2个不同的“3系点”， ， 解得或（舍去）， 设， 则是方程的两个根， ， ， 为“3系点” ， ， 令， 对称轴为：直线， ， 当时，随着的增大而增大， 而， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州师院附中、玉埕中学2025春季校本作业专项综合训练 初三年数学学科 试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（　　） A. 2025 B. C. D. 2. 如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 六棱锥 3. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ） A 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 6. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A B. C. D. 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为______． 12. 写出满足不等式组的一个整数解________． 13. 在将标有“最”“美”“福”“建”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率是___________． 14. 小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼成了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则________． 15. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是___________ 16. 如图，矩形的对角线，相交于点，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，若，，则的长为___________． 三、解答题（共9题，共86分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 18 先化简，再求值： ，其中． 19. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 20. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的周长． 22. 中，，点O在上，以为半径的圆交于点D，交于点E，且． （1）求证：是切线． （2）连接交于点F，若，，求弧的长． 23. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 24. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 25. 若点满足，则称点为“系点”，例如：满足，则称为“3系点”． （1）下列属于“3系点”的有___________．（填写序号） ① ② ③ ④ （2）关于的函数与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3系点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，求的值； （3）已知关于的二次函数的图象上存在2个不同的“3系点”，且对于该二次函数有当时，相应的函数值，总满足，请求出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$