专题01《平行四边形的判定与性质的综合》（挑战压轴题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下册专题培优满分特训卷

2024-2025学年苏科版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题01《平行四边形的判定与性质的综合》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.35（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 本卷聚焦平行四边形的核心性质与判定方法，以28题百分制梯度训练系统覆盖教材重难点，题目精选自全国地区名校期中期末及原创模拟题。 内容分层设计： 🔹基础速通：基础判定定理应用（对边平行、对角相等、对角线互相平分）、简单性质推导训练，直击“符号混淆”“判定条件遗漏”“对角线性质误用”等高频易错点 🔹能力进阶：动态平行四边形构造（含动点轨迹分析）、复杂图形综合应用（如与三角形中位线结合）、跨章节融合题型（与中心对称图形、坐标系结合的综合推理） 🔹压轴突破：多条件联动判定模型（含速度参数）、实际场景建模（如工程支架稳定性分析、资源最优路径规划）、反证法与逆向思维训练（矛盾解排除）。 特训核心优势： ✅高频痛点突破：对角线性质理解偏差、动点问题多解遗漏、实际场景几何抽象错误等失分重灾区专项攻克； ✅名校真题驱动：融入“动点平行四边形构造题”、“对角线反向推理题”等经典题型，紧扣苏科版教材特色； ✅思维建模引擎：通过“一题三构”（改动点参数、增对称约束、换生活背景），强化几何直观与逻辑严密性。 掌握“判定→性质→建模”的解题闭环，突破动态构造与复杂推理瓶颈，显著提升空间思维与实战应变能力！ 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 2．（本题2分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将折叠，使点A恰好落在上的点F，若的周长为14，的长为3，则的周长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④． 正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（本题2分）（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．（本题2分）（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（本题2分）（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 8．（本题2分）（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，过点A作使得，连接交于点E，在上取一点F使得，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 9．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 10．（本题2分）（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    12．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则 ． 13．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 14．（本题2分）（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为 ． 15．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是 ． 16．（本题2分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列所有正确结论的序号是 ①平分；②；③；④． 17．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，，与交于点，如果四边形面积是，四边形的面积是，则的面积是 ． 18．（本题2分）（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，正确的序号是 ． 19．（本题2分）（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别与边交于点分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若点为射线上一动点，连接，直线交边于点，取线段的中点，连接，若，，，则边的长为 ． 20．（本题2分）（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG－DG的最大值为 ． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在方格网中已知和点，且的三个顶点、、和点都在方格点上，请完成以下作图． (1)请在左图的方格网中画出，使得和关于点成中心对称； (2)请在右图的方格网中标出所有使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点． 22．（本题6分）（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，且，，求的长． 23．（本题8分）（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）在平行四边形中，，点分别在边上，，，． (1)如图1，求证； (2)如图1，求的值；（用含的式子表示） (3)如图2，连接，点是的中点，若，，求的长． 24．（本题8分）（2025八年级下·吉林·专题练习）【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________． 25．（本题8分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的中线，，且， 连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，、交于点， 过作交于点，的平分线与交于点，请写出线段、、之间的数量关系　　　； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 26．（本题8分）（2025八年级下·浙江·专题练习）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 27．（本题8分）（23-24八年级下·广东揭阳·期中） 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3） 如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接HK，HB，请问CD和HK存在何种关系？并说明理由． 28．（本题8分）（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下册专题培优满分特训卷-挑战压轴题 专题01《平行四边形的判定与性质的综合》 试题满分：100分 检测时间：120分钟 难度系数：0.35（难度较大） 班级： 姓名： 学号： 本卷聚焦平行四边形的核心性质与判定方法，以28题百分制梯度训练系统覆盖教材重难点，题目精选自全国地区名校期中期末及原创模拟题。 内容分层设计： 🔹基础速通：基础判定定理应用（对边平行、对角相等、对角线互相平分）、简单性质推导训练，直击“符号混淆”“判定条件遗漏”“对角线性质误用”等高频易错点 🔹能力进阶：动态平行四边形构造（含动点轨迹分析）、复杂图形综合应用（如与三角形中位线结合）、跨章节融合题型（与中心对称图形、坐标系结合的综合推理） 🔹压轴突破：多条件联动判定模型（含速度参数）、实际场景建模（如工程支架稳定性分析、资源最优路径规划）、反证法与逆向思维训练（矛盾解排除）。 特训核心优势： ✅高频痛点突破：对角线性质理解偏差、动点问题多解遗漏、实际场景几何抽象错误等失分重灾区专项攻克； ✅名校真题驱动：融入“动点平行四边形构造题”、“对角线反向推理题”等经典题型，紧扣苏科版教材特色； ✅思维建模引擎：通过“一题三构”（改动点参数、增对称约束、换生活背景），强化几何直观与逻辑严密性。 掌握“判定→性质→建模”的解题闭环，突破动态构造与复杂推理瓶颈，显著提升空间思维与实战应变能力！ 一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】B 【思路点拨】根据折叠的性质得，再利用平行四边形的性质得到，则可判断为等边三角形，作于，利用含度的直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：四边形沿翻折，得到， ， 四边形为平行四边形， ， ， 为等边三角形， 如图，作于， 在中，， ， ， 即的高是． 故选：B． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 2．（本题2分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，推出，利用等面积法得到，由，，推出，得到，结合，即可求解． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， , 故选：B． 3．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将折叠，使点A恰好落在上的点F，若的周长为14，的长为3，则的周长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【思路点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由折叠的性质得出，，由的周长得出，即可求出的周长． 【规范解答】解：由折叠的性质得：， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长为14， ∴， ∴， ∴的周长； 故选：A． 4．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④． 正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理证得，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴，故①正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴，故③正确； 过A作于G，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴，故④错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 【考点评析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 5．（本题2分）（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【规范解答】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 故选：C． 6．（本题2分）（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案． 【规范解答】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 【考点评析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 7．（本题2分）（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练平行四边形的判定条件是解题的关键．根据题意，对题目中的条件任取两个组合，分类讨论所有情况，再结合平行四边形的判定条件，找出符合题意的情况即可． 【规范解答】解：如图， 当①②组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①③组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①④组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当①⑤组合时， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑦组合时， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②③组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当②④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑤组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑦组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑥组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑤⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑧组合时， ， 将绕点旋转，则点的对应点为点，点的对应点为点， 设点的对应点为点，则有， 、、在同一直线上， 由旋转的性质得，点可能落在线段上，落在延长线上，或者与点重合， 假设点落在线段上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 假设点落在延长线上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 综上所述，点只能与点重合，即， 四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑦组合时，同理⑤⑧组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑦⑧组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 综上所述，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有16种． 故选：D． 8．（本题2分）（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，过点A作使得，连接交于点E，在上取一点F使得，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理可求出,证明四边形是平行四边形得,进而得,则,然后可求出的度数，进而可对①进行判断；②过点作交的延长线于,则四边形是正方形，从而得,根据在中，得,由此可对进行判断；根据得,由此可对进行判断；证明和全等得,由此可对进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：为等腰直角三角形， ,,, , , , , , , , , , , , ,, 四边形是平行四边形， , , , , ,故正确，符合题意； 过点作交的延长线于,如图所示， , , 四边形是矩形， 又, 矩形是正方形， , 又, , 在中，, , ,故不正确，不符合题意； , , , ,故正确，符合题意； , , , 在和中, , , , 故正确，符合题意； 综上所述：正确的是：， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和及外角性质等知识点，熟练掌握掌握全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键． 9．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路点拨】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交与， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的个数有个， 故选：． 【考点评析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 10．（本题2分）（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【思路点拨】根据正方形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理依次判定选项即可． 【规范解答】解：∵和是一对全等的等腰直角三角形， ∴，四边形是正方形， ∵，，， ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，故③错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，选项①②④正确， 故选：D． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分． 11．（本题2分）（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    【答案】 【思路点拨】先由折叠的性质得，，，，，据此可求出，再根据得，进而得，在中可求出，然后中再根据点为斜边的中点可得出的长．此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换和性质，理解在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【规范解答】解：由折叠的性质得：，，，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即为直角三角形， 在中，，， 解得， ，，， ， 即点为的中点， 在中，点为斜边的中点， ． 故答案为：． 12．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长到Q，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【规范解答】解：延长到Q，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 14．（本题2分）（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点N，连接，，易得四边形是平行四边形，进而得到C，M，N三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出长，即可解答． 【规范解答】解：延长交于点N，连接，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点M为中点， ∴C，M，N三点共线， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】如图，过点作轴，过点作轴，根据题意，可得、、，设，通过勾股定理得，解方程，推得，设、，再利用勾股定理得，解方程即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作轴，过点作轴， 四边形是平行四边形，且顶点的坐标为， ，， ，， 沿翻折得， ， ， 在中，， ， 在中，， 设，，， ， 解得：， ， ， 设，则， ，，， 在中，， ， 解得：， ． 【考点评析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折图形的性质，平面直角坐标系中坐标的特点，勾股定理，根据题意添加适合的辅助线是解题关键． 16．（本题2分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列所有正确结论的序号是 ①平分；②；③；④． 【答案】①②④ 【思路点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得， ，进而得到，即可得到，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述：所有正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 17．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，，与交于点，如果四边形面积是，四边形的面积是，则的面积是 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，过作，延长交于，延长交于，延长交于，由平行四边形的性质推出平行四边形的面积平行四边形的面积，平行四边形的面积平行四边形的面积，得到平行四边形的的面积，即可求出的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作，延长交于，延长交于，延长交于， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵分别是线段上的点，且， ∴ ， ∴，， ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， ∴平行四边形的面积平行四边形的面积， ∵，，， ∴， ∴平行四边形的面积平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴的面积， 故答案为：． 18．（本题2分）（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【思路点拨】由，，，得，则，所以，可判断①正确；由等边三角形的性质得，，，，推导出，，即可根据“”证明，可判断②正确；再证明，由，，证明四边形是平行四边形，可判断③正确；由，，求得，可判断④错误；作于点，可求得，，，则，所以，可判断⑤错误，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 在和中， ， ， 故②正确； ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 故③正确； ，， ， 故④错误； 作于点，则， ， ， ，， ， ， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、全等三角形的定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明及是解题的关键． 19．（本题2分）（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别与边交于点分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若点为射线上一动点，连接，直线交边于点，取线段的中点，连接，若，，，则边的长为 ． 【答案】13或7 【思路点拨】分两种情况：当点在线段上时，延长交的延长线于点，由作图可得：平分，由角平分线的定义和平行线的性质可得，从而得到，由直角三角形的性质可得，由平分，，可得，从而得到，设，则，，，得到方程，解方程即可得到答案；当点在的延长线上时，延长交的延长线于点，同理进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：当点在线段上时，如图，延长交的延长线于点， ， 由作图可得：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ，点为的中点，， ， 平分，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 解得：， ， 当点在的延长线上时，如图，延长交的延长线于点， ， 同理可得：，，，， 设，则，，， ， 解得：， ， 综上所述：则边的长为：13或7， 故答案为：13或7． 【考点评析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、尺规作图—作角平分线，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 20．（本题2分）（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG－DG的最大值为 ． 【答案】1 【思路点拨】如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN， 可证明△AEN是等边三角形，∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，从而可证明△AEF≌△NEG得到∠ENG=∠A=60°，进而推出∠GNB=60°，则点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，先求出，证明四边形ANTD是平行四边形，得到NT=AD=3，DT=AN=2，然后证明△MKT≌△BKN得到MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，进而推出当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM． 【规范解答】解：如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN， 由旋转的性质可知EF=EG，∠FEG=60°， ∵AE=2DE，AD=3 ∴AE=2，DE=1， ∵AE=AN， ∵∠A=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN， ∴∠AEF=∠NEG， ∵EA=EN，EF=EG， ∴△AEF≌△NEG（SAS）， ∴∠ENG=∠A=60°， ∵∠ANE=60°， ∴∠GNB=180°-60°-60°=60°， ∴点G的运动轨迹是射线NG， 过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG， ∴∠BKN=90°， ∵∠BNK=60°， ∴∠NBK=30°， ∵AB=5，AN=AE=2， ∴BN=3， ∴， ∵∠BNK=∠A=60°， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形ANTD是平行四边形，∠M=∠KBN， ∴NT=AD=3，DT=AN=2， ∴， ∴NK=TK， 又∵∠MKT=∠BKN， ∴△MKT≌△BKN（AAS）， ∴MK=BK，MT=BN=3， ∴MD=1，NT垂直平分BM， ∴BG=MG， ∵MG-DG≤MD， ∴BG-DG≤MD， ∴当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM， ∴MG-DG的最大值为1， 故答案为1． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共60分． 21．（本题6分）（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在方格网中已知和点，且的三个顶点、、和点都在方格点上，请完成以下作图． (1)请在左图的方格网中画出，使得和关于点成中心对称； (2)请在右图的方格网中标出所有使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）分以，为对角线两种情况，结合平行四边形的判定确定点即可． 【规范解答】（1）解：如图， 即为所求． ． （2）解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形； 当以为对角线时，四边形为平行四边形． 则点和均为满足题意的点． 22．（本题6分）（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，且，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定可得，，再根据平行四边形的性质，可得，由此即可求证； （2）根据题意可得，根据垂直可得平行四边形是矩形，设，在和中，运用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，且四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，则， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 【考点评析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 23．（本题8分）（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）在平行四边形中，，点分别在边上，，，． (1)如图1，求证； (2)如图1，求的值；（用含的式子表示） (3)如图2，连接，点是的中点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据平行四边形得和，则有和，得到即可判定垂直； （2）设，则，，进一步求得，则，结合平行四边形的性质得，利用勾股定理得即可求得答案； （3）过作的垂线，垂足为，交延长线于点，与的延长线交于，求得、和，结合平行线的性质得，则有，根据平行线的性质，证明，有和，利用勾股定理求得即可． 【规范解答】（1）证明：如图1， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ； （3）解：如图2，过作的垂线，垂足为，交延长线于点，与的延长线交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （平行四边形高相等）， ， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解得关键是熟悉平行四边形的性质和全等三角形的性质． 24．（本题8分）（2025八年级下·吉林·专题练习）【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________． 【答案】探究：见详解， 应用：12 【思路点拨】本题考查行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． [探究]由平行四边形的性质得到，所以，从而判定，得证； [应用]因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则． 【规范解答】解：探究：证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中 ， ， 应用：解：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理，， ． 故答案为：． 25．（本题8分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的中线，，且， 连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，、交于点， 过作交于点，的平分线与交于点，请写出线段、、之间的数量关系　　　； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据三角形中线的性质可得，结合已知可得，进而根据一组对比平行且相等即可得证； （2）连接，过点作交于点，过点作垂直分别为，根据平行四边形的性质可得，进而可得，根据角平分线的性质可得，即可证明，进而得出，证明是等边三角形，进而证明得出， 即可得出结论； （3）过点作于点，由（2）可得得出，设，勾股定理解，，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是的中线， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 理由如下， 如图所示，连接，过点作交于点，过点作垂直分别为， . ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴, ∵ ∴ ∵的平分线与交于点， ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵，的平分线与交于点， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴，则 ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，过点作于点， ∵垂直平分 ∴ 设，则， 由（2）可得，又 ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： 即． 【考点评析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（本题8分）（2025八年级下·浙江·专题练习）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8或8或9.6 (3)的长为8 (4) 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； （3）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为8； （4）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 27．（本题8分）（23-24八年级下·广东揭阳·期中） 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接HK，HB，请问CD和HK存在何种关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【思路点拨】（1）根据证明得，进而可求出的度数； （2）作交于点T，由折叠的性质得，．求出得，设，则，，由勾股定理求出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，延长交于点T，证明得，，由旋转得，从而有．证明得，可证四边形是平行四边形，从而． 【规范解答】解：（1）∵在中，，， ∴， ∴． ∵将绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作交于点T， ∵将沿折叠至， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长交于点T， ∵点G绕B顺时针旋转至点K， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵作点G关于直线的对称点H， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质． 28．（本题8分）（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)4或或． 【思路点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理． （1）先证，再由已知平行四边形即可； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，结合勾股定理即可计算； （3）分情况：当点落在边上时，如图2；当点落在边上时，如图3，连结交于点；当点落在边上时，如图4，连结交于点，分别求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点， 连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，    在中， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 由平行四边形的中心对称性，得; （3）当点落在边上时，如图2，    由折叠可知，，， ∵ ∴ 在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中， ∴ ∴ 当点落在边上时，如图3，连结交于点 由平行四边形的中心对称性，得， 由翻折，得， ∴， ∴， 在中， ∴ 由勾股定理，得 当点落在边上时，如图4，连结交于点， 由折叠可知，则垂直平分， 由轴对称性可知垂直平分，    ∴点与点重合 过点作的垂线交于点， 在中，，， 由勾股定理，得． 综上所述，点之间的距离为4或或． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$