2.6.1 余弦定理与正弦定理（4知识点+8题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.6.1 余弦定理与正弦定理 课程标准 学习目标 （1）借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理； （2）掌握正弦定理,能用正弦定理解决简单的解三角形问题； （3）能利用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． （1）了解余弦定理、正弦定理在解三角形中适合的边角类型； （2）利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状； （3）掌握余弦定理、正弦定理的简单应用． 知识点01 余弦定理 1、余弦定理及其变形 公式表达 语言叙述 推论 a2＝b2＋c2－2bccos_A 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 b2＝a2＋c2－2accos_B c2＝a2＋b2－2abcos_C cos A＝ cos B＝ cos C＝ 2、余弦定理的要点注释 （1）余弦定理及其推论对任意的三角形都成立． （2）在余弦定理中，共有4个量，知三求一． （3）在余弦定理中，若A＝，则a2＝b2＋c2，说明余弦定理是勾股定理的推广； 若角A为锐角时，a2<c2＋b2；若角A为钝角时，a2>c2＋b2． 【即学即练1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，已知，则角（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（24-25高一下·四川广元·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 正弦定理 1、正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中，若内角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，则 （1），，； （2）； （3）（比例性质）； （4），，（可以实现边到角的转化）； （5），，（可以实现角到边的转化）． 【即学即练3】（24-25高一下·广西南宁·月考）在中，若，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【即学即练4】（24-25高一下·广东江门·月考）在中，已知，则角A的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 知识点03 三角形的面积公式 1、三角形的面积公式 （1）公式：在中，三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为S， 则． （2）文字叙述：任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． 2、三角形的其他面积公式 （1） （2）（证明：） （3）（证明：） 【即学即练5】（24-25高一下·广西南宁·月考）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A． B．12 C． D． 【即学即练6】（24-25高一下·广西来宾·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则的面积是（    ） A． B．7 C． D． 知识点04 解三角形的实际应用问题 1、测量距离问题的常见类型 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACD，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 2、测量高度问题的常见类型 类型 图形 方法 底部可达 测量BC和∠BCA，解直角三角形求AB 底部不可达 点B与C，D共线 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 3、实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线所形成的角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【即学即练7】（24-25高一下·山西·月考）如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【即学即练8】（24-25高一下·广东广州·月考）如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 难点1：已知两边及一边的对角判断三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 【示例1】（24-25高一下·河北辛集·月考）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【示例2】（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 难点2：正、余弦定理在几何图形中的应用 正、余弦定理本身时研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程． 【示例1】（24-25高一下·安徽·月考）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【示例2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 【题型1：利用余弦定理解三角形】 例1．（24-25高一下·北京·月考）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D．120° 变式1-1．（24-25高一下·河南·月考）在中，，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 变式1-2．（24-25高一下·广东佛山·月考）在中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知是的重心，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 2、已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 【题型2：利用正弦定理解三角形】 例2．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的三个内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一下·山西·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C．或 D．或 变式2-3．（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，，则（    ） A． B． C．或 D． 【方法技巧与总结】 1、已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路： （1）由三角形的内角和定理求出第三个角； （2）由正弦定理公式的变形求另外的两条边。 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°=45°+30°），再根据上述思路求解． 2、已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． 【题型3：利用边角互化解三角形】 例3．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，设，，则角等于（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高一下·天津·月考）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 变式3-3．（23-24高一下·河南三门峡·期末）在中，已知分别为角的对边．若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【方法技巧与总结】 边角互化时利用正、余弦定理解三角形的重要途径．一般地，当条件式含有角的余弦或角的正弦齐次式时，可利用余弦定理或正弦定理化角为边；当条件式含有边的二次式或条件式的等号两边为齐次式时，可利用余弦定理或正弦定理化边为角．通过边角互化，可使边角关系具体化． 【题型4：判断三角形的形状】 例4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 变式4-1．（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 变式4-2．（24-25高一下·重庆江津·月考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 变式4-3．（24-25高一下·广东广州·月考）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【方法技巧与总结】 1、利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： （1）先化边为角，再进行变换，求出三个角之间的数量关系； （2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的数量关系． 2、判断三角形的形状时，经常用到以下结论： （1）△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； （2）△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2； （3）△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； （4）若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝． 【题型5：三角形的面积问题】 例5．（24-25高一下·广东茂名·月考）在中，，则的面积等于（    ） A． B．2 C． D． 变式5-1．（24-25高一下·新疆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高一下·湖北随州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．3 变式5-3．（23-24高一下·江苏南京·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，，，其面积为，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 与三角形面积有关的问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解．求解平面几何中的面积问题时，常利用割补法将非三角形的几何图形化为三角形，再选择恰当的三角形的面积公式计算．在计算面积时往往需借助正、余弦定理计算相关的边和角． 【题型6：测量距离问题】 例6．（24-25高一下·天津西青·月考）如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 变式6-2．（24-25高一下·广西南宁·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（    ）nmile A． B．8 C． D． 变式6-3．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（    ）恰好能抓获毒贩. A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 求两个不可到达的点之间距离 一般是把问题转化为求三角形的边长问题． （1）认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形； （2）把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正弦定理、余弦定理求解． 【题型7：测量高度问题】 例7．（24-25高一下·河北·月考）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）     A． B． C． D． 变式7-1．（24-25高一下·北京·月考）如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（    ）米. A． B． C．40 D． 变式7-2．（24-25高一下·重庆·月考）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式7-3．（24-25高一下·河北唐山·月考）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 测量高度问题的解题策略 1、“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． 2、“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． 【题型8：测量角度问题】 例8．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 变式8-1．（24-25高一下·河南·月考）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（    ） A． B． C．－1 D．－1 变式8-2．（23-24高三上·山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 变式8-3．（24-25高一下·四川德阳·月考）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 测量角度问题的基本思路：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东惠州·月考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 4．（24-25高一下·广西南宁·月考）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·新疆昌吉·月考）三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 6．（24-25高一下·重庆·月考）在中，，则最大角余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 9．（24-25高一下·江苏无锡·月考）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·湖北孝感·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则为直角三角形 B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 11．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）如图，在梯形中，，. (1)若，求； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，且，证明：只有一解. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.1 余弦定理与正弦定理 课程标准 学习目标 （1）借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理； （2）掌握正弦定理,能用正弦定理解决简单的解三角形问题； （3）能利用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． （1）了解余弦定理、正弦定理在解三角形中适合的边角类型； （2）利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状； （3）掌握余弦定理、正弦定理的简单应用． 知识点01 余弦定理 1、余弦定理及其变形 公式表达 语言叙述 推论 a2＝b2＋c2－2bccos_A 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 b2＝a2＋c2－2accos_B c2＝a2＋b2－2abcos_C cos A＝ cos B＝ cos C＝ 2、余弦定理的要点注释 （1）余弦定理及其推论对任意的三角形都成立． （2）在余弦定理中，共有4个量，知三求一． （3）在余弦定理中，若A＝，则a2＝b2＋c2，说明余弦定理是勾股定理的推广； 若角A为锐角时，a2<c2＋b2；若角A为钝角时，a2>c2＋b2． 【即学即练1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，已知，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，∵， ， ∴由余弦定理可得：. ，.故选：C. 【即学即练2】（24-25高一下·四川广元·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，由余弦定理可得， 整理可得，因为，解得.故选：B. 知识点02 正弦定理 1、正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中，若内角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，则 （1），，； （2）； （3）（比例性质）； （4），，（可以实现边到角的转化）； （5），，（可以实现角到边的转化）． 【即学即练3】（24-25高一下·广西南宁·月考）在中，若，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为，，，结合正弦定理得， 所以，解得.故选：D. 【即学即练4】（24-25高一下·广东江门·月考）在中，已知，则角A的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理可得可得，可得， 由于，故或，故选：B 知识点03 三角形的面积公式 1、三角形的面积公式 （1）公式：在中，三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为S， 则． （2）文字叙述：任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． 2、三角形的其他面积公式 （1） （2）（证明：） （3）（证明：） 【即学即练5】（24-25高一下·广西南宁·月考）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【解析】由三角形面积公式有.故选：D 【即学即练6】（24-25高一下·广西来宾·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则的面积是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【解析】在中，根据余弦定理，可得：， 又因为，且，所以. 将代入得：，解得. 因为是三角形内角，即，所以. 已知，则. 可得： .故选：C. 知识点04 解三角形的实际应用问题 1、测量距离问题的常见类型 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACD，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 2、测量高度问题的常见类型 类型 图形 方法 底部可达 测量BC和∠BCA，解直角三角形求AB 底部不可达 点B与C，D共线 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 3、实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线所形成的角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【即学即练7】（24-25高一下·山西·月考）如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】由，得，而，， 由余弦定理得（米）.故选：C 【即学即练8】（24-25高一下·广东广州·月考）如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 【答案】B 【解析】设米，在中，，则， 在中，，则， 因为，所以由余弦定理得：， 整理得：，解得（米）.故选：B 难点1：已知两边及一边的对角判断三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 【示例1】（24-25高一下·河北辛集·月考）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴， 由于，故为锐角，故三角形有唯一解．故选：C． 【示例2】（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【解析】对于A，由正弦定理，可得，三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在，故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时，三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解，故D错误；故选：A 难点2：正、余弦定理在几何图形中的应用 正、余弦定理本身时研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程． 【示例1】（24-25高一下·安徽·月考）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解得， 在中，， 所以， 所以，解得.故选：D. 【示例2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），， ，， 在中，由余弦定理得： ，； （2）在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ，. 【题型1：利用余弦定理解三角形】 例1．（24-25高一下·北京·月考）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D．120° 【答案】B 【解析】由，令， ， 又，则， 所以这个三角形的最大角的弧度数为.故选：B. 变式1-1．（24-25高一下·河南·月考）在中，，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，解得.故选：B. 变式1-2．（24-25高一下·广东佛山·月考）在中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设边上的高为，因为边上的高等于，， 所以，，， 所以由勾股定理可得， 所以由余弦定理得.故选：B. 变式1-3．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知是的重心，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，根据三角形重心定义可知：为各边中点，重心为各中线的三等分点， 所以有，， 由余弦定理得：， ， 则，-------① 再由余弦定理得：， ， 则，-------② 由①②得：， 所以， 又因为，所以，故选： D. 【方法技巧与总结】 1、已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 2、已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 【题型2：利用正弦定理解三角形】 例2．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的三个内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则， 由正弦定理得 .故选：C. 变式2-1．（24-25高一下·山西·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由，得， 由正弦定理得，所以.故选：A 变式2-2．（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理，得，所以，又，所以．故选：A 变式2-3．（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，即， 所以，又因为， 所以角，所以，故或， 当时，，当时，，故选：C 【方法技巧与总结】 1、已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路： （1）由三角形的内角和定理求出第三个角； （2）由正弦定理公式的变形求另外的两条边。 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°=45°+30°），再根据上述思路求解． 2、已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． 【题型3：利用边角互化解三角形】 例3．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由余弦定理得， 所以，所以，所以.故选：A. 变式3-1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，设，，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理， 又，所以，所以，得， 又，所以或（，舍去）故选：A. 变式3-2．（24-25高一下·天津·月考）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确.故选：B 变式3-3．（23-24高一下·河南三门峡·期末）在中，已知分别为角的对边．若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为， 由余弦定理得，整理得， 由正弦定理得 ， 又因， 所以，解得或， 而，且， 所以，所以.故选：C. 【方法技巧与总结】 边角互化时利用正、余弦定理解三角形的重要途径．一般地，当条件式含有角的余弦或角的正弦齐次式时，可利用余弦定理或正弦定理化角为边；当条件式含有边的二次式或条件式的等号两边为齐次式时，可利用余弦定理或正弦定理化边为角．通过边角互化，可使边角关系具体化． 【题型4：判断三角形的形状】 例4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】在中，因为，，，则，所以， 由余弦定理可知：， 所以角为钝角，则是钝角三角形.故选：C. 变式4-1．（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形．故选：D 变式4-2．（24-25高一下·重庆江津·月考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形.故选：A 变式4-3．（24-25高一下·广东广州·月考）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由. 所以，又，所以. 由， 所以, 又为三角形内角，所以，故，即. 综上可知：为等边三角形.故选：C 【方法技巧与总结】 1、利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： （1）先化边为角，再进行变换，求出三个角之间的数量关系； （2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的数量关系． 2、判断三角形的形状时，经常用到以下结论： （1）△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； （2）△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2； （3）△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； （4）若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝． 【题型5：三角形的面积问题】 例5．（24-25高一下·广东茂名·月考）在中，，则的面积等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】， ， 即，解得或（舍）， ，， .故选：C 变式5-1．（24-25高一下·新疆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 可得：， 由，可得：， 所以，解得：， 所以的面积为，故选：C 变式5-2．（24-25高一下·湖北随州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【解析】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以.故选：C. 变式5-3．（23-24高一下·江苏南京·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，，，其面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，其面积为，所以，所以， 由余弦定理知，，所以， 由正弦定理可得，．故选：C. 【方法技巧与总结】 与三角形面积有关的问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解．求解平面几何中的面积问题时，常利用割补法将非三角形的几何图形化为三角形，再选择恰当的三角形的面积公式计算．在计算面积时往往需借助正、余弦定理计算相关的边和角． 【题型6：测量距离问题】 例6．（24-25高一下·天津西青·月考）如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 根据海伦公式有, 解得.故选：C 变式6-1．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【解析】因为，可得是等边三角形，千米. 记直线与直线的交点为， 所以为的中点，所以为等腰三角形， ， 又， 所以千米，故选：A. 变式6-2．（24-25高一下·广西南宁·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（    ）nmile A． B．8 C． D． 【答案】D 【解析】在中，， 由正弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以.故选：D. 变式6-3．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（    ）恰好能抓获毒贩. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设缉毒船经过恰好能抓获毒贩， 由题意知， 由余弦定理可得， 即， 整理得，解得（负值舍去）.故选：C 【方法技巧与总结】 求两个不可到达的点之间距离 一般是把问题转化为求三角形的边长问题． （1）认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形； （2）把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正弦定理、余弦定理求解． 【题型7：测量高度问题】 例7．（24-25高一下·河北·月考）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）     A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m.故选：A. 变式7-1．（24-25高一下·北京·月考）如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（    ）米. A． B． C．40 D． 【答案】A 【解析】在中，，，， 由正弦定理得，， 所以，得， ， 在中，因为， 所以， 所以.故选：A 变式7-2．（24-25高一下·重庆·月考）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得：解得：故选：A 变式7-3．（24-25高一下·河北唐山·月考）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以.故选：A 【方法技巧与总结】 测量高度问题的解题策略 1、“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． 2、“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． 【题型8：测量角度问题】 例8．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 由正弦定理得，所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得，所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向.故选：D. 变式8-1．（24-25高一下·河南·月考）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（    ） A． B． C．－1 D．－1 【答案】C 【解析】在ABC中，由正弦定理得，∴． 在ADC中，， ∴.故选：C 变式8-2．（23-24高三上·山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则.故选：A. 变式8-3．（24-25高一下·四川德阳·月考）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结， 则，设，则， 在中，，，所以， 则，可得， 所以， 当，即时，取得最大值为.故选：D. 【方法技巧与总结】 测量角度问题的基本思路：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，且为三角形的最大角， 所以，则的面积为.故选：D 2．（24-25高一下·河南·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，，由正弦定理，.故选：A. 3．（24-25高一下·广东惠州·月考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理可得，化简得， 由勾股定理的逆定理可知是以角为直角的直角三角形.故选：B. 4．（24-25高一下·广西南宁·月考）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得.故选：C. 5．（24-25高一下·新疆昌吉·月考）三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】C 【解析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、， 由题意可知，公里，公里，， 由余弦定理可得 公里， （天），故谋臣大约需要天才能到达目的地.故选：C. 6．（24-25高一下·重庆·月考）在中，，则最大角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， ，. ，即， ，∴角即为的最大角. 由正弦定理可得，不妨设，，，， 再由余弦定理可得.故选：A. 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由射影定理得，而 则，解得，而，因此， 由余弦定理，得， 则，，所以.故选：A 8．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】在中，已知，，，即. 所以，同时. 在中，， 根据余弦定可得：， 即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值.故选：B. 9．（24-25高一下·江苏无锡·月考）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，则， 所以，即， 设，又，由题意， 所以，故， 又，故，则， 所以， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为.故选：C 10．（24-25高一下·湖北孝感·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则为直角三角形 B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】BCD 【解析】对于A，因为分别为单位向量， 所以的角平分线与垂直，所以． 又因为，即，因为，所以， 故，所以为等边三角形，故A错误； 对于B，因为，所以O为的重心， 由知O为的外心，故为等边三角形，故B正确； 对于C，由，可得，由正弦定理可得， 所以，因为，所以，则为钝角三角形，故C正确； 对于D，由， 所以，而，故都为锐角，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）如图，在梯形中，，. (1)若，求； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，且，证明：只有一解. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）在中由正弦定理，即， 所以； （2）因为，所以， 又，设外接圆的半径为，则， 所以，即外接圆的半径为； （3）因为，，且， 在中由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以， 在中由余弦定理， 所以，所以只有一解. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$