精品解析：内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗杭锦后旗陕坝中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

陕坝中学2024-2025学年第一学期九年级数学 第二次教学质量阶段性测试 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 根据半径和点到圆心的距离确定点与圆的位置关系，利用时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内判断出即可． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为， ∴， ∴点A与的位置关系是：点A在圆内， 故选：C． 2. 如图，在⊙O中，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得，再利用圆周角定理可以得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 3. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ） A. 20° B. 25° C. 40° D. 50° 【答案】D 【解析】 【详解】如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=20°， ∴∠AOC=40°， ∴∠C=50°． 故选D． 考点：切线的性质. 4. 如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．由垂径定理，即；由等腰三角形的性质可得，即，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵弦， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴． 故选：B． 5. 如图，是的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线与相交于、两点，若，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．连接，设和交于点，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果． 【详解】解：连接， 设和交于点， 由作图可知：垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：． 6. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 7. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为，M是第三象限内上一点，，则的半径为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点，能根据圆内接四边形性质求出的度数是解此题的关键．根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为3， 故选：C． 8. 如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】连接IE、IF，根据切线的性质可得∠AEI＝∠AFI＝90°，从而得到∠A＝180°﹣∠EIF，再由圆周角定理可得∠EDF＝90°﹣∠A，即可求解． 【详解】解：连接IE、IF，如图， ∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F， ∴IE⊥AC，IF⊥AB， ∴∠AEI＝∠AFI＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠EIF， ∵∠EDF＝∠EIF， ∴∠EDF＝90°﹣∠A， ∵∠B＝55°，∠C＝75°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°， ∴∠EDF＝90°﹣×50°＝65°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质． 9. 如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 8 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由可得是的直径，从而得到，由是的角平分线可得，则，进而得到是等腰直角三角形，最后由勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， 是的角平分线， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质，是解题的关键． 10. 如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质计算出的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积之和，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两个扇形面积之和， ∴． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 如果圆锥底面圆的半径为，它的侧面积为，那么它的母线长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意知， 解得，即圆锥的母线长为， 故答案为：． 12. 已知的直径为，圆心O到弦AB的距离为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后连接，根据垂径定理得到平分，即，而在中，根据勾股数得到，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 13. 如图，点，，，在上，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含的直角边是斜边的一半，连接，可 得是直角三角形，利用圆周角定理可得，利用含的直角边是斜边的一半得出，在中利用勾股定理即可求出的长，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】连接， 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中由勾股定理得：， 故答案为：． 14. 如图，的半径为，正五边形内接于，则劣弧的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，正五边形内接于，可求出的度数，根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与多边形的综合，掌握正多边形的性质，圆的基础知识，弧长的计算方法是解题的关键． 15. 如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，连接，可得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，，进而根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是外的一点，分别与相切于点是劣弧上的任意一点，过点的切线分别交于点．若，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理．由、分别与相切于点、，根据切线长定理得到，同理得，再根据三角形周长的定义得到的周长，然后利用等相等代换得到的周长． 【详解】解：∵、分别与相切于点、， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴的周长 ， 故答案为：8． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 18. 如图，为的直径，弦交于点E，，，，则的长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，先证，，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半及垂径定理得到线段关系，再利用勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴弧弧， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 设的半径为r，则， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， ∴． 19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 20. 如图，在中，以为直径的交于点M，弦交于点E，且． （1）是的切线； （2）若，求的直径的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键． （1）先由垂径定理得，再由得，然后由切线的判定定理证明即可． （2）连接，设的半径是r，在中，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接，如图，设的半径是r， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 21. 2021年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3）销售单价定为55元时，销售该商品每天的利润最大，最大利润1250元； 【解析】 【分析】（1）设该商品每天的销售量为（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可． （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可以得到符合题意的答案． （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为： 将点、代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：由题意得 解得：， 销售单价不低于成本价，且不高于60元 不合题意，舍去， 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵，抛物线开口向下， 当时，w有最大值，此时，， 故销售单价定为55元时，销售该商品每天的利润最大，最大利润1250元； 【点睛】本题考查了二次函数，和一元二次方程在销售问题中应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 22. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕坝中学2024-2025学年第一学期九年级数学 第二次教学质量阶段性测试 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 2. 如图，在⊙O中，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ） A. 20° B. 25° C. 40° D. 50° 4. 如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为（　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线与相交于、两点，若，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为，M是第三象限内上一点，，则的半径为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 8. 如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 9. 如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 8 C. 10 D. 10. 如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 如果圆锥底面圆的半径为，它的侧面积为，那么它的母线长为_______． 12. 已知的直径为，圆心O到弦AB的距离为，则____________． 13. 如图，点，，，在上，，，，则的长为_____． 14. 如图，的半径为，正五边形内接于，则劣弧的长度为_______． 15. 如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为______． 16. 如图，是外的一点，分别与相切于点是劣弧上的任意一点，过点的切线分别交于点．若，则的周长为______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，为的直径，弦交于点E，，，，则的长是多少？ 19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 20. 如图，在中，以为直径的交于点M，弦交于点E，且． （1）是的切线； （2）若，求的直径的长度． 21. 2021年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 22. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $