8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（3知识点+7题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步（人教A版2019必修第二册）

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积 棱柱 S棱柱表=S棱柱侧+2S底 棱锥 S棱锥表=S棱锥侧+S底 棱台 S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台=h(S'++S) S'，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 知识点3 简单组合体的表面积和体积 1.求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减. 2.常见的几何体体积求法. 思路方法总结 1.棱锥和棱台的表面积 (1)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意由它们组成的直角三角形的应用. (2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形. 2.棱台的体积计算 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面的边长、高、斜高、侧棱长). 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥 的有关知识及相似性来解决问题. 3.组合体的表面积和体积 (1)求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减. (2)常见的几何体体积求法. 典例·举一反三 题型一 棱柱的表面积 1．如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解. 【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面， 由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为， 所以拼成的几何体的表面积为. 故选：C. 2．已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面边长为，根据其体对角线长为，求得a，再利用侧面积公式求解. 【详解】解：设底面边长为， 由题意得， 解得， 所以侧面积为． 故选：B 3．将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了 ． 【答案】 【分析】分别计算出小正方体表面积总和与原正方体的表面积作差即可得. 【详解】，则这27个全等的小正方体的棱长均为， 小正方体表面积总和为， 原正方体的表面积为， 故表面积增加了. 故答案为：. 4．三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【答案】 【分析】如图，由已知条件可知，侧面是平行四边形，也是平行四边形，为矩形，计算可得. 【详解】 由题意知为直角等腰三角形，，， 所以，侧棱长为b，则， ，侧棱长为b， 则从点A到距离为， 从点A到距离为距离为， 所以. . 5．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】（1）先确定该三棱柱的侧面展开图的形状，再求其面积即可； （2）利用平面内两点之间线段最短列方程即可求得的长，利用三角形相似比即可求得的长； （3）利用棱柱全面积求法去求此三棱柱的表面积即可解决． 【详解】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形， 其对角线长为． （2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到 点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线． 设，即， 在Rt中，由勾股定理得， 解得，或（舍） 所以，又因为， 所以． （3）此三棱柱的表面积． 题型二 棱锥的表面积 6．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 7．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为.    故选：. 8．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 9．如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成，从而可求出其表面积. 【详解】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成， 则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和． 又四棱锥的侧棱长为， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 故答案为： 10．正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求： (1)求棱锥的侧棱长和斜高； (2)求棱锥的表面积. 【答案】(1)侧棱长为3，斜高为 (2) 【分析】（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，作OM⊥BC，则M为BC 中点，连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高. （2）棱锥的表面积，由此能求出结果. 【详解】（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1， 作OM⊥BC于M，则M为BC 中点， 连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM， BC＝4，BM＝2，则OM＝2，OB＝， 在Rt△SOB中，， 在Rt△SOM中，， ∴棱锥的侧棱长为3，斜高为. （2）棱锥的表面积： . 题型三 棱台的表面积 11．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【答案】D 【分析】根据题意求出正四棱台的斜高，从而可求出棱台的侧面积，进而可求出其表面积. 【详解】由题意可知，正四棱台的斜高为， 故侧面积等于， 所以表面积为． 故选：D 12．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，分别是上、下底面中心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，求出棱台的斜高，从而求出其侧面积. 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以． 故选：B 13．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．      【答案】 【分析】首先根据正棱台的侧面积得到斜高为1，再计算正棱台的高即可. 【详解】如图所示：      设正四棱台的侧高为，高为， 棱台的侧面积，所以. 所以. 故答案为： 14．如图是一个正四棱台形的石墩．已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高为30cm．在不计下底面所占面积的情况下，试计算这个物体的表面积（结果单位为）．      【答案】 【分析】根据棱台表面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，上底面周长为， 下底面周长为， 则． 又上底面积为，所以表面积为． 又， 因此，在不计下底面所占面积的情况下，这个物体的表面积为． 15．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 【答案】(1) (2)侧面积为，全面积为 【分析】（1）根据棱锥和棱台的侧面积公式，结合平行线的性质进行求解即可； （2）根据棱台的侧面积和全面积公式，结合三角形面积公式、平行线的性质进行求解即可. 【详解】（1）设正六棱锥的高，底面边长， 因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥， 所以小棱锥的高为，底面边长， 在中，因为，所以， 于是有：， 因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为；    （2）由（1）可知：， 已知大棱锥的侧棱， 显然在中，上的高长为， 所以， 所以， 由（1）可知：截得的棱台的侧面积为， 截得的棱台的全面积为. 题型四 棱柱的体积 16．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则①，即②， ①②得，，即或， 当时，解得，体积， 当时，解得，体积， 故选：D 17．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（    ）    A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】设六棱柱的底面边长为，高为，根据面积公式得到，，计算体积即可. 【详解】设六棱柱的底面边长为，高为. 则，，，故， . 故选：B. 18．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ）. A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出和，分析即可得答案. 【详解】设底面面积为S，底面周长为C， 则，，所以， 设斜棱柱的高为，则， , 所以. 故选：A 19．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度. 【详解】在图2中，水中部分是四棱柱， 四棱柱底面积为，高为2， ∴四棱柱的体积为， 设图1中容器内水面高度为h， 则V，解得h. ∴图1中容器内水面的高度是. 故选：D. 20．在修建铁路时，路基需要用碎石铺垫．已知路基的形状及尺寸如图所示（单位：m），每修建1km铁路需要碎石多少？ 【答案】 【分析】根据柱体的体积公式计算可得. 【详解】由题意，路基是四棱柱，其体积为：. 所以每修建铁路需要碎石. 题型五 棱锥的体积 21．如图所示，在正方体中，点为棱上一动点，四棱锥的体积占正方体体积的（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】分别计算几何体的体积即可． 【详解】不妨设正方体的棱长为1， 则正方体的体积为：， 四棱锥的体积为：， 则四棱锥的体积占正方体体积的， 故选：B 22．如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】棱锥与棱柱同底同高，由棱柱的体积和棱锥的体积，可求出四棱锥的体积． 【详解】因为棱锥与棱柱同底同高， 棱柱体积为1，则棱锥的体积， 故四棱锥的体积 故选：C. 23．（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据棱锥，棱柱的体积计算公式，结合题意求解即可. 【详解】设长方体的长宽高分别为，， 则，，， 故，，，，则B错误，ACD正确； 故选：ACD. 24．如图，已知是棱长为a的正方体，E为的中点，F为上一点，则三棱锥的体积为 【答案】/ 【分析】根据锥体体积公式求解. 【详解】由已知, 所以, 三棱锥的高等于,, 所以, 又因为, 所以. 故答案为:. 25．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 【答案】(1)； (2)时，V最大，最大值为立方米. 【详解】（1）连接AC，BD，交点为O，则PO即为正四棱锥的高， 取CD的中点E，连接OE，PE，则， 由勾股定理得：， 由题意得：， 整理得：，即. （2）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即棱锥的高为1米，底面边长为米时，V的最大值为立方米. 题型六 棱台的体积 26．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件算出上下底面的面积和棱台的高，再由体积公式计算. 【详解】由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为4和6的等边三角形，如图所示， 为两底面的中心，则为的中点，过作下底面垂线，垂足为，    ，，， 棱台的高， 该正三棱台的上底面的面积为，下底面的面积为， 所以正三棱台的体积． 故选：D 27．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算高，由体积公式得出答案. 【详解】上下底面对角线的长度分别为，则高. 上底面的面积，下底面的面积. 则. 故选：C 28．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装 mL的粮食．（结果保留整数） 【答案】1167 【分析】根据题意求出侧棱长，即可得出棱台的高，再代入棱台的体积计算公式得出答案. 【详解】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20cm的正方形，底面是边长为10cm的正方形，侧面等腰梯形的高cm，记底面ABCD和底面的中心分别为与，则是正四棱台的高，    过作平面的垂线，垂足为，则，且,, 则,, 则, 侧面是等腰梯形， ,则, 则棱台的高, 则由棱台的体积公式得mL, 故答案为：1167. 29．已知侧棱长为5，高为4的正四棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个高为2的正四棱锥，所得的棱台的体积为 ． 【答案】21 【分析】根据相似求出台体的上底面边长与高，根据台体体积计算公式即可求得答案. 【详解】 如图正四棱锥，其中底面于， 侧棱，高，所以， 所以下底面边长， 因为平面平行于底面，且，, 所以在与相似，且， 所以， 则正方形面积，正方形面积， 所得的棱台体积为. 故答案为：21 30．在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 题型七 简单组合体的表面积和体积 31．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 32．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为 ． 【答案】/// 【分析】该多面体可以看作为正方体截取一部分构成，把复杂的几何体转化为简单几何体构成即可. 【详解】 如图，该多面体可以看做由一个棱长为的正方体截去8个如①三棱柱和8个如②四棱锥和12个如③三棱柱构成， ①为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为： ②为底面为以棱长为和1的矩形，高为的四棱锥其体积为： ③为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为： 所求多面体体积为： 故答案为：. 33．如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【答案】 【分析】将上面六棱锥的侧面积求出来，底面六棱柱的侧面积求出来，求和即可. 【详解】解：连接．因为，， 所以． 取的中点为Q，连接、PQ， 易得，， ． 设帐篷上部的侧面积为，下部的侧面积为， 所以， ，所以搭建帐篷的表面积为． 34．在如图所示的多面体中，已知ABCD为矩形，和为全等的等腰梯形，，．求此多面体的表面积与体积．    【答案】表面积为，体积为 【分析】结合已知条件，分别求几何体各个面的面积，然后再求面积之和即可得几何体表面积，利用割补法纪即可求得几何体体积. 【详解】由题意可知，和都是边长为2的等边三角形， 故， ∵，∴， 分别过、向作垂线，垂足为、，如下图所示：    结合等腰梯形性质可知，，， 从而， 故， 故多面体的表面积； 将五面体补全为直三棱柱，如下图所示：    则多面体的体积， 由几何体特征可知，，， 由余弦定理可知，，故， 从而易知， 故，， 从而几何体的体积． 35．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：    (1)该几何体的体积； (2)若要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），求需要刷涂料的表面积. 【答案】(1)256 (2)96 【分析】（1）求出长方体的体积和四棱锥体积，相加后得到答案； （2）求出几何体下部分侧面积，得到答案. 【详解】（1）长方体的体积为，四棱锥的体积为， 故该几何体的体积为； （2）长方体侧面面积为， 故要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），需要刷涂料的表面积为96. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积 棱柱 S棱柱表=S棱柱侧+2S底 棱锥 S棱锥表=S棱锥侧+S底 棱台 S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台=h(S'++S) S'，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 知识点3 简单组合体的表面积和体积 1.求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减. 2.常见的几何体体积求法. 思路方法总结 1.棱锥和棱台的表面积 (1)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意由它们组成的直角三角形的应用. (2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形. 2.棱台的体积计算 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面的边长、高、斜高、侧棱长). 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥 的有关知识及相似性来解决问题. 3.组合体的表面积和体积 (1)求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减. (2)常见的几何体体积求法. 典例·举一反三 题型一 棱柱的表面积 1．如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了 ． 4．三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 5．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 题型二 棱锥的表面积 6．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 7．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 9．如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 10．正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求： (1)求棱锥的侧棱长和斜高； (2)求棱锥的表面积. 题型三 棱台的表面积 11．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 12．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 13．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．      14．如图是一个正四棱台形的石墩．已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高为30cm．在不计下底面所占面积的情况下，试计算这个物体的表面积（结果单位为）．      15．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 题型四 棱柱的体积 16．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 17．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（    ）    A． B． C． D．以上都不对 18．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ）. A． B． C． D．与的大小关系无法确定 19．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 20．在修建铁路时，路基需要用碎石铺垫．已知路基的形状及尺寸如图所示（单位：m），每修建1km铁路需要碎石多少？ 题型五 棱锥的体积 21．如图所示，在正方体中，点为棱上一动点，四棱锥的体积占正方体体积的（    ） A． B． C． D．不确定 22．如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 23．（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 24．如图，已知是棱长为a的正方体，E为的中点，F为上一点，则三棱锥的体积为 25．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 题型六 棱台的体积 26．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 27．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 28．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装 mL的粮食．（结果保留整数） 29．已知侧棱长为5，高为4的正四棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个高为2的正四棱锥，所得的棱台的体积为 ． 30．在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 题型七 简单组合体的表面积和体积 31．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 32．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为 ． 33．如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 34．在如图所示的多面体中，已知ABCD为矩形，和为全等的等腰梯形，，．求此多面体的表面积与体积．    35．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：    (1)该几何体的体积； (2)若要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），求需要刷涂料的表面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$