8.2立体图形的直观图（3知识点+8题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步（人教A版2019必修第二册）

8.2 立体图形的直观图 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 注意点：斜二测画法的“三变”与“三不变”. (1)三变. ①坐标轴的夹角改变； ②与y轴平行的线段的长度改变； ③图形的形状改变. (2)三不变. ①线段的平行关系不变； ②与x轴平行或重合的线段的长度不变； ③点的相对位置不变. 知识点2 空间几何体的直观图的画法 1.立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 2.圆柱的直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=90°. (2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面：在Oz上截取点O'，使OO'等于侧面母线长，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似于下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A'，B'. (4)成图：连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图. 3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线. 4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆. 知识点3 直观图的还原与计算 1.直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 思路方法总结 1.水平放置的平面图形的直观图画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，(1)一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.(2)原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.(3)确定多边形顶点的位置.(4)借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 2.空间几何体的直观图画法 画空间几何体的直观图应遵循的原则 (1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致. (4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴.此例题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定. 3.直观图的还原 (1)直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. (2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 典例·举一反三 题型一 画平面图形的直观图 1．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 2．用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 3．用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 4．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图. 5．画出图中水平放置的四边形的直观图. 题型二 平面直观图的还原 6．如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 7．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.    8．如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 9．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 10．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 题型三 空间几何体的直观图 11．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 12．有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 13．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 14．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为5cm的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； (3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体． 15．画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 题型四 已知直观图求原图的面积 16．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 17．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（    ）    A． B．4 C． D． 18．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 19．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 20．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 题型五 已知直观图求原图边长和周长 21．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 22．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 23．如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 24．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 25．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型六 已知直观图求原图的“三线” 26．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 27．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 28．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 29．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（    ） A． B．4 C． D． 30．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 题型七 根据原图求直观图的相关量 31．已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△的面积为 A． B． C． D． 32．如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为（    ）    A．10 B．8 C．7 D．5 33．水平放置的长方形在直角坐标系中的位置如图所示．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 34．已知正的边长为a，那么的平面直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 35．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    题型八 直观图的相关量的综合计算 36．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 37．将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 38．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则下列叙述正确的是（    ） A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形 C．原图形的面积是 D．原图形的面积是 39．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 40．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 立体图形的直观图 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 注意点：斜二测画法的“三变”与“三不变”. (1)三变. ①坐标轴的夹角改变； ②与y轴平行的线段的长度改变； ③图形的形状改变. (2)三不变. ①线段的平行关系不变； ②与x轴平行或重合的线段的长度不变； ③点的相对位置不变. 知识点2 空间几何体的直观图的画法 1.立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 2.圆柱的直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=90°. (2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面：在Oz上截取点O'，使OO'等于侧面母线长，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似于下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A'，B'. (4)成图：连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图. 3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线. 4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆. 知识点3 直观图的还原与计算 1.直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 思路方法总结 1.水平放置的平面图形的直观图画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，(1)一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.(2)原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.(3)确定多边形顶点的位置.(4)借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 2.空间几何体的直观图画法 画空间几何体的直观图应遵循的原则 (1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致. (4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴.此例题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定. 3.直观图的还原 (1)直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. (2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 典例·举一反三 题型一 画平面图形的直观图 1．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成，沿轴方向长度不变，轴方向是原图形长度的一半，即可做出直观图． 【详解】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 2．用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【详解】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 3．用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 (4)图象见解析 【分析】根据斜二测画法规则作图. 【详解】（1）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． （2）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为梯形的直观图． （3）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设中点为，连接， 取中点，作轴，使得， ③连接，， ④去掉轴，轴，得三角形，下右图，为三角形的直观图． （4）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设轴，为垂足，在上取，使得，作轴，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． 4．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】在原平面直角坐标系中分别找出两个图形顶点的坐标，画，轴，使，按照在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度不变，在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度为原来的一半，找出对应顶点的坐标，连接顶点，即可得到（1）（2）两个平面图形的直观图． 【详解】解：（1） 画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取． 过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，， 则四边形的直观图即为四边形； （2） 画，轴，使，在轴上截取， 在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，． 则四边形的直观图即为四边形． 5．画出图中水平放置的四边形的直观图. 【答案】图见解析. 【分析】在四边形中，过作出轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图. 【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示： 题型二 平面直观图的还原 6．如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【答案】作图见解析 【分析】利用直观图的画法规则画出平面图. 【详解】如图： （1）在平面直角坐标系中，在轴上截取，； （2）在轴上截取； （3）过作直线平行于轴，如图截取; （4）连接. 则四边形即为所求. 7．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.    【答案】原图形见解析，原图形面积为，直观图的面积为 【分析】根据斜二测画法可得原图形，再分别求其原图形面积和直观图的面积. 【详解】如下图示，根据斜二测画法可得原图形，是纵向、横向直角边长分别为的直角三角形， 所以，原图面积为，直观图的面积为.    8．如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出原图形. 【详解】如图（1）所示，设直观图四边形与轴交于点，可得， 如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得， 过点作，取且，得到四边形， 即直观图四边形对应的原图形为. 9．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，，轴，的位置不变，，的位置不变，，画出图形即可. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． 10．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）3 【分析】（1）根据斜二测画法的规则进行作图即可； （2）根据斜二测画法的规则：平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度减半，由此可求出原的面积. 【详解】（1）画法：①画直角坐标系，在x轴上取，即； ②在题图中，过作轴，交轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使； ③连接，则即为原来的图形，如图． （2）∵，∴. 又且， ∴,, ∴. 题型三 空间几何体的直观图 11．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可. 【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 12．有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【分析】借助直观图的画法逐步画出即可得. 【详解】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 13．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【答案】直观图见解析 【分析】根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解. 【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：      14．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为5cm的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； (3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据斜二测画法的特点求解即可. 【详解】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴（如图1（1））， 画出对应的，轴，使，，（如图1（2））， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）仿照正方形的直观图的画法： 水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），    水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），      （3）先画出水平放置的长、宽分别为5cm，2cm的长方形的直观图，其中，， 再作垂直于平面，在轴上截取，进而补充出长方体即为直观图.    15．画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【答案】详见解析 【分析】利用斜二测画法求解. 【详解】如图所示： 题型四 已知直观图求原图的面积 16．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，    故的面积为， 故选：B． 17．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】    如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 18．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以. 故选：C 19．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B 20．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 题型五 已知直观图求原图边长和周长 21．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案. 【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 22．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解. 【详解】解：还原四边形，如图所示： 依题意可得：． 取的中点，连接， 则，且， 故. 故选：B. 23．如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 24．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果. 【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图. 按照斜二测画法规则，由， 得直角梯形中，，. 过作，交于， 则， 所以直角梯形边的长度为， 故选：B. 25．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 题型六 已知直观图求原图的“三线” 26．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜二测画法规则知为直角三角形，且，，由勾股定理求出的长，即得答案. 【详解】解：由斜二测画法规则知， 即为直角三角形，其中， 所以， 边上的中线长度为. 故选：A. 27．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 28．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由斜二测画法将直观图还原三角形，再分别求得与，且，由此在利用勾股定理可求得. 【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，， 又由轴得轴，故， 不妨设是的中点，则， 所以在中，，即中边上的中线的长度为. 故选：A. . 29．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为直角梯形，如图，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】在直角梯形中，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ，，，， 所以该平面图形的高为． 故选：C． 30．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 题型七根据原图求直观图的相关量 31．已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1： 由于原图为边长为a的正三角形ABC，则S△ABC= 故直观图的面积为× = ，故选D 32．如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为（    ）    A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】C 【分析】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，得出边长，计算周长即可. 【详解】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，    由斜二测画法，四边形是平行四边形，， 所以四边形的周长为． 故选：C. 33．水平放置的长方形在直角坐标系中的位置如图所示．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由斜二测画法作出直观图，然后直接求解可得. 【详解】由斜二测画法可知，四边形为边长为2的菱形，其中， 所以四边形的面积为. 故选：C 34．已知正的边长为a，那么的平面直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出的直观图进行求解. 【详解】如图，平面直观图， 由题意可知，则， 过作于，则， 所以的面积为. 故选：D 35．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 题型八 直观图的相关量的综合计算 36．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 37．将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据斜二测画法得出相应边的长度和角的大小；再利用余弦定理分别求出和，进而可求出 【详解】设正三角形的边长为， 则. 根据斜二测画法可得：；；；. 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得： ； 故选：A 38．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则下列叙述正确的是（    ） A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形 C．原图形的面积是 D．原图形的面积是 【答案】C 【分析】将直观图还原为平面图形,可以发现其不是菱形,再根据直观图与原图的面积关系得出结论. 【详解】过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D,将DC'绕 D逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C,将C沿O'A'方向和长度平移得到 B,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示: , , 故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误, 又直观图的面积, 所以原图的面积, 故选:C. 【点睛】本题考查平面图形与其直观图之间的相关关系,属于简单题. 39．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 40．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$