8.1基本立体图形（第1课时棱柱、棱锥、棱台）（3知识点+9题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步（人教A版2019必修第二册）

8.1基本立体图形 （第1课时 棱柱、棱锥、棱台） 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间几何体的相关概念 1.空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 2.空间几何体的分类及相关概念 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形及表示 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识点2 棱柱的结构特征 1.棱柱的定义、图形及相关概念 棱柱 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图形及表示 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 相关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类及特殊棱柱 (1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.(如图①③) (3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.(如图②④) (4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.(如图③) (5)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.(如图④) 知识点3 棱锥、棱台的结构特征 1.(1)棱锥的定义、图形及相关概念 棱锥 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图形及表示 如图可记作：棱锥S—ABCD 相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 (2)棱台的定义、图形及相关概念 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图形及表示 如图可记作：棱台ABCD—A'B'C'D' 相关概念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.棱锥、棱台的分类 (1)按底面多边形的边数，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特殊地，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. (2)棱台的分类 依据：由几棱锥截得. 举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… 3.空间四边形、四面体、正四面体的概念 (1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形. (2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥. (3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体. 注意点：正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥未必是正四面体. 思路方法总结 1.棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 2.判断棱锥、棱台形状的两种方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 多边形面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 3.空间几何体的展开图 (1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力. (2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面. (3)若是给出表面展开图还原原几何体，则按上述过程逆推. 典例·举一反三 题型一 棱柱的结构特征 1．下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3．四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件是（    ） A．底面是矩形 B．侧面是正方形 C．底面是菱形 D．侧面与底面都是矩形 【答案】A 【分析】利用长方体的结构特征，必要不充分条件的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，长方体的底面是矩形，而底面是矩形的四棱柱不一定是长方体（侧棱不垂直于底面）， 则“底面是矩形”是四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件，A是； 对于B，长方体的侧面是矩形，不一定是正方形，即“侧面是正方形”不是四棱柱成为长方体的必要条件，B不是； 对于C，长方体的底面是矩形，不能推出底面是菱形，即“底面是菱形”不是四棱柱成为长方体的必要条件，C不是； 对于D，长方体的侧面与底面都是矩形，反之侧面与底面都是矩形的四棱柱是长方体， 因此“侧面与底面都是矩形”是四棱柱成为长方体的充要条件，D不是. 故选：A 4．设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各几何体的特点得到集合之间的关系. 【详解】根据几何体的特点可知，长方体是底面为矩形的直四棱柱，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，正方体是侧面均为正方形的正四棱柱可以得到这些集合的关系， 故选：B. 5．下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A 【分析】根据棱柱的几何特征得到A正确；举出反例，得到BCD错误； 【详解】A选项，棱柱的面中，上下底面必平行，侧面可能平行，故至少有两个面互相平行，A正确； B选项，棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面，也可能是侧面，比如正方体，B错误； C选项，若棱柱为斜棱柱，此时棱柱中侧棱不是棱柱的高，C错误； D选项，棱柱的侧面一定是平行四边形，它的底面可能是平行四边形，比如长方体，D错误. 故选：A 题型二 棱锥的结构特征 6．下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合相应几何体的结构特征逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直平行六面体的底面是非矩形的平行四边形，该直平行六面体不是长方体，①错误； 对于②，有两个相邻的侧面都是矩形，则这两个矩形的公共边垂直于底面， 因此有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱，②正确； 对于③，由棱锥的定义知，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，③错误； 对于④，底面是正方形的斜棱柱不是正棱柱，④错误， 所以正确的命题个数是1. 故选：D 7．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 8．一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】A 【分析】根据正棱锥性质分别求得正三棱锥、正四棱锥的侧棱长至少需是底面边长的倍数，即可得出结论. 【详解】设正三角形的边长为，由正三角形性质可得顶点到三角形中心的距离为， 因此正三棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，因此可能是正三棱锥，即A正确； 设正方形的边长为，易知正方形对角线的一半为， 因此正四棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，所以B错误； 以此类推可知正五棱锥、正六棱锥的侧棱长都大于底面边长的倍，即CD不合题意. 故选：A 9．若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【分析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 10．下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】BCD 【分析】根据柱体和锥体的体结构特征和基本性质对每一题进行逐一分析判断. 【详解】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误； 对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确； 对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 题型三 棱台的结构特征 11．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【答案】B 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥， 剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B 12．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD. 【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误． 故选：D. 13．下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 14．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【答案】AB 【分析】如图，根据“刍甍”的定义，结合选项，依次判断即可. 【详解】如图，，四边形为矩形， A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形. 在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱， 所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确； B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形. 所以“刍甍”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确； C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形. 所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误； D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误. 故选：AB. 15．一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【答案】D 【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的顶点个数，结合选项得出答案即可. 【详解】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于C，五棱锥有6个顶点，不满足题意； 对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，满足题意. 故选：D. 题型四 棱柱的展开图 16．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】由各个面图像相对位置来排出错误选项. 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 17．下面的四个长方体中，是由上边的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方体的展开图确定即可得答案. 【详解】由长方体的展开图可得符合的长方体为D. 故选：D. 18．如图，这是正方体外表面展开图，则该正方体可能为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征，利用排除法判断即可. 【详解】由正方体外表面展开图可知，圆与月亮是相对面，“”和“V”是相对面，可排除A、D， “V”的尖角对着“”，故C错误． 故选：B 19．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是 A． B． C．快 D．乐 【答案】A 【分析】将展开图还原成正方体，即得答案. 【详解】将展开图还原成正方体，如图所示 所以“”在正方体中所在的面的对面上的是“0”. 故选：. 【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题. 20．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】依据棱柱展开图的特征对各个选项恢复成相应棱柱，即可得到所给图形中经过折叠不能围成一个棱柱的为选项B. 【详解】选项AD经过折叠可以围成四棱柱，选项C经过折叠可以围成三棱柱， 选项B经过折叠后有四个侧面，而上下底面为五边形，故不能围成棱柱. 故选：B 题型五 棱柱展开图的最短距离问题 21．小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（    ）    A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米 【答案】B 【分析】在捆扎方案一中，把点心盒各个面依次展开，则两点间线段最短可算出此时所需丝带的最短长度；在捆扎方案二中，所需丝带长度为两个矩形的周长之和，算出长度与方案一中所需丝带的最短长度比较即得结果. 【详解】在捆扎方案一中，设点心盒是长方体，如图：    丝带从棱上的点出发，沿着长方体的各个表面绕行一圈回到点进行捆扎，现把长方体从面开始，按照丝带绕行的顺序把长方体的各个面展开，如图所示：    则线段即为最短路径，即为所需丝带的最短长度， 易知，，所以， 所以在捆扎方案一中，丝带长度最短为100厘米； 在捆扎方案二中，所需丝带长度为矩形和矩形的周长之和， 易得矩形和矩形的周长之和为厘米， 即在捆扎方案二中，所需丝带长度最短为140厘米； 由上可知，小李需要购买的丝带长度至少是100厘米. 故选：B 22．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 23．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 24．如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    【答案】 【分析】利用三棱柱平面展开图可3种情况，画出图形利用平面上两点间距离最短，可计算比较得解. 【详解】      如图1，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接， 是中点，和是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得：. 如图2，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接， 过点作于点，交于点，则四边形是矩形，， 在中，， ，， ，， 在中，由勾股定理可得，. 如图3，连接,交于点，则，， 在中，，，. ， 小虫爬行的最短路程为. 故答案为：. 25．已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，即可得周长的最小值. 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于空间中线段和最值问题，常常把两个平面折叠成一个平面，再结合平面的性质运算求解. 题型六 棱柱的截面问题 26．若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】由题意分析得截面与棱的交点应在相邻的三条棱上，作出可能的图后逐个分析，特殊①恰好经过三个顶点；②恰好经过两个顶点；③与三条棱都交于任意点，设交点到顶点的距离分别为，由勾股定理定理表示出三角形三边，然后利用余弦定理得到三角形内角的范围. 【详解】一个平面截正方体要使其截面为三角形，则与棱的交点应在相邻的三条棱上． ①如图1，当三个交点恰好在正方体的顶点处，则为等边三角形； ②如图2，在①基础上将其中一个顶点沿棱平移，则可能产生等腰三角形； ③如图3，一般情形下，设交点到同一个顶点的距离分别为， 利用勾股定理可知截面三角形的三边长分别为，，， 利用余弦定理知其中一个角的余弦值大小为， 所以该角为锐角，同理其余角也为锐角，所以该三角形为锐角三角形， 不可能为直角三角形． 故选：C． 27．如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 【答案】ABD 【分析】根据正方体的截面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，经过点，则截面为等边三角形， 面积为，A选项正确. B选项，经过点，则截面为菱形， ，设，则， ，所以菱形的面积为，B选项正确. C选项，经过点，设分别是的中点， 则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误. D选项，经过点， 延长，交的延长线于，交的延长线于， 连接，交于，连接，交于，则截面为， 由于是的中点，是的中点， 所以，则，所以， 所以是的三等分点，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 解决正方体截面问题，关键是要根据已知的点的位置准确想象出截面的形状，然后利用平面几何知识（如三角形、菱形面积公式，相似三角形性质等）进行计算和推理. 对于判断点是否在截面上或点之间的位置关系，常通过延长线、连线等方法构建几何图形，利用中点、平行等条件得出结论. 28．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 【答案】 【分析】由，，从而截面为梯形求解. 【详解】解：如图所示： 因为，所以，所以截面为梯形， 因为正方体的棱长为2，则， 梯形的高为， 所以梯形的面积为：， 故答案为： 29．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 . 【答案】/ 【分析】延长，与的延长线交于点，得到的四边形是平面截“堑堵”所得截面图形，根据图形特征，将四边形分为和，可得所求面积. 【详解】延长，与的延长线交于点，则∈平面，连接，与交于点，连接，得到的四边形是平面截“堑堵”所得截面图形， 由题意解三角形可得， ，， ∴中边上的高， 中边上的高. ∴截“堑堵”所得截面图形的面积 . 故答案为： 30．如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．    【答案】 ； . 【分析】将侧面展开即求得第一空；记的中点为，先判断所求截面为四边形，然后根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得第二空. 【详解】将侧面绕着旋转，使得侧面和侧面在同一平面内，如图， 易知，当三点共线时，取得最小值.    当M为线段中点时，记的中点为，的中点为， 由正方体性质可知，， 所以为平行四边形，所以， 易知，所以为平行四边形，所以， 所以四点共面，即平面截正方体所得的截面为四边形， 因为，所以四边形为菱形， 所以. 故答案为：；.    题型七 棱锥的展开图及最短距离问题 31．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 32．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 【答案】C 【分析】利用空间想象能力来进行判断. 【详解】可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体， ③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体． 故选：C． 33．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 34．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【答案】/ 【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形即可求得答案. 【详解】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得， 所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 35．如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 题型八 棱锥的截面问题 36．刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，即可得到过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，求出其周长即可得解． 【详解】如图，延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点， ∴，∵，∴，即过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形， ∵，， ∴过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为．    故选：A 37．已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（    ） A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 【答案】AD 【分析】根据题意，结合正四面体的几何特征，以及余弦定理和三角形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，设过点的截面交底面于点，且， 因为过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积， 可设正四面体的棱长为， 可得，解得，且， 对于A中，在中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 则，即， 同理可得，， 即在中，任意的两边的平方和大于第三边，所以为锐角三角形，所以A正确； 对于B中，若截面为等边三角形，则满足， 若，即，可得， 此时，可得， 所以截面不是等边三角形，所以B错误； 对于C中，当点与点重合时，要使得平面平分三棱锥的体积， 即平分的面积，此时为的中点，此时， 则中，边取得最小值，且，且， 可得，此时的最大角为锐角， 所以不能为直角三角形，所以C错误； 对于D中，当过点截面过底面的一个顶点和对边的中点时， 如图（1）所示，得到截面，,，此时， 此时三个三角形都为等腰三角形，且满足把正四面体的体积平分； 如图（2）所示，在的边长上分别取， 使得，连接， 使得恰好平分的面积，此时截面恰好平分正四面体的体积，且为等腰三角形， 综上可得，截面为等腰三角形的有6个，所以D正确. 故选：AD.     38．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    【答案】 【分析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可. 【详解】如图，    沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 39．如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值 . 【答案】 【分析】作出正三棱锥侧面展开图，可知所求周长最小值即为，根据平行关系、相似可推导得到的长，加和可得结果. 【详解】正三棱锥侧面展开图如下图所示： 若截面周长最小，则共线，即周长最小值为； 由对称性可知：，，， 同理可得：， ，，， ，，， 又，，， . 故答案为：. 40．（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五． 【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长；（2）利用延长找公共点的方法作出截面，可得形状. 【详解】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形， 由截面作法可知，所以截面四边形的周长为. （2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五. 题型九 棱台的展开图和截面问题 41．下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据选项中的展开图，依次分析沿着折线折起来的几何体的机构特征，判断是否为棱锥即可. 【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确； 对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确； 对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确； 对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确； 故选：B. 42．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到. 【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为， 则，， 所以，即． 故选：A． 43．用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 【答案】ACD 【分析】利用特例判断A、C，显然B错误，画出图形，根据正方体的性质判断D； 【详解】解：对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确； 对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误； 对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确； 对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中， 取的中点，的中点，取的中点，的中点， 依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确； 故选：ACD 44．若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 【答案】 四棱台 前 程 【分析】还原几何体可得答案. 【详解】还原几何体如图：棱台的上底面为祝，下底面为前，左侧面为似， 右侧面为锦，前面为程，后面为你.    故答案为：①四棱台；②前；③程. 45．正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的结构特征知道正四棱台与底面平行的截面为正方形，计算面积即可. 【详解】根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，得到梯形的中位线长度是． ∵正四棱台与底面平行的截面为正方形， ∴截面面积． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1基本立体图形 （第1课时 棱柱、棱锥、棱台） 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间几何体的相关概念 1.空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 2.空间几何体的分类及相关概念 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形及表示 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识点2 棱柱的结构特征 1.棱柱的定义、图形及相关概念 棱柱 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图形及表示 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 相关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类及特殊棱柱 (1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.(如图①③) (3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.(如图②④) (4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.(如图③) (5)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.(如图④) 知识点3 棱锥、棱台的结构特征 1.(1)棱锥的定义、图形及相关概念 棱锥 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图形及表示 如图可记作：棱锥S—ABCD 相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 (2)棱台的定义、图形及相关概念 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图形及表示 如图可记作：棱台ABCD—A'B'C'D' 相关概念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.棱锥、棱台的分类 (1)按底面多边形的边数，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特殊地，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. (2)棱台的分类 依据：由几棱锥截得. 举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… 3.空间四边形、四面体、正四面体的概念 (1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形. (2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥. (3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体. 注意点：正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥未必是正四面体. 思路方法总结 1.棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 2.判断棱锥、棱台形状的两种方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 多边形面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 3.空间几何体的展开图 (1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力. (2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面. (3)若是给出表面展开图还原原几何体，则按上述过程逆推. 典例·举一反三 题型一 棱柱的结构特征 1．下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 3．四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件是（    ） A．底面是矩形 B．侧面是正方形 C．底面是菱形 D．侧面与底面都是矩形 4．设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 题型二 棱锥的结构特征 6．下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 8．一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 9．若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 10．下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 题型三 棱台的结构特征 11．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 12．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 13．下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 14．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 15．一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 题型四 棱柱的展开图 16．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   17．下面的四个长方体中，是由上边的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 18．如图，这是正方体外表面展开图，则该正方体可能为（    ）    A．   B．   C．   D．   19．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是 A． B． C．快 D．乐 20．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型五 棱柱展开图的最短距离问题 21．小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（    ）    A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米 22．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 23．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 24．如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    25．已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 题型六 棱柱的截面问题 26．若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 27．如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 28．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 29．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 . 30．如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．    题型七 棱锥的展开图及最短距离问题 31．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 32．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 33．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 34．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 35．如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 题型八 棱锥的截面问题 36．刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 37．已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（    ） A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 38．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    39．如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值 . 40．（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 题型九 棱台的展开图和截面问题 41．下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B．C． D． 42．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 43．用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 44．若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 45．正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$