特训08 分式 压轴题（十一大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训08 分式 压轴题（十一大题型） 目录： 题型1：分式方程的代数应用 题型2：求值问题 题型3：分式与二次根式 题型4：最值问题 题型5：拆项法 题型6：整体思想，裂项相消法 题型7：规律题 题型8：分式方程有关的材料阅读、新定义题 题型9：分式的综合应用 题型10：分式方程的实际应用 题型11：分式在平面直角坐标系、几何中的应用 题型1：分式方程的代数应用 1．若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】解不等式组得，由此可求；解分式方程得：，可求且，即可求解． 【解析】解：不等式组有整数解， 解不等式组得， 有整数解至多有个整数解， ， 解得： 解分式方程得：， ， ， ， 解得：， 解为非负数， ， 解得：且， 且， 是整数， 为或， ， 故答案：． 【点睛】本题考查含参数的一元一次不等式组的整数解问题，含参数的分式方程问题，理解不等式组的解集意义和分式方程的解，掌握解法是解题的关键． 2．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（    ）． A．13 B．9 C．3 D．10 【答案】B 【分析】解不等式组和分式方程得出关于y的范围及x的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解得出a的范围，继而可得整数a的个数． 【解析】解：解不等式组 由①得：y<11， 由②得：y≥2a-5， ∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7； ∴2a-5≤7， 解得：a≤6． 解关于x的分式方程， 得：x=， ∵分式方程有正整数解， ∴a-2是8的约数，且 ≠4，≠0，a≠2， 解得：a=3或6或10， 所以所有满足条件的整数a的值为3，6． 那么符合条件的所有整数a的和为9． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键． 3．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 题型2：求值问题 4．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【解析】（1）解：，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 5．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【解析】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【解析】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 题型3：分式与二次根式 7．观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【解析】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 8．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料2即可求解； （2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解； （3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解． 【解析】（1）解：∵ ∴的最小值为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵正数a，b满足， ∴ ∵不等式恒成立， ∴ ∴①或② ∴解不等式组①无解，解不等式组②得 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键 题型4：最值问题 9．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【解析】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 10．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【解析】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 题型5：拆项法 11．阅读下面材料并解答问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则 ∵对任意上述等式均成立， ∴且，∴， ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出的最小值． 【答案】（1）3+；（2）8 【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可； （2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【解析】解：（1）= = =3+； （2）由分母为， 可设， 则 ． ∵对于任意的x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴ ． ∴当x=0时，取得最小值8，即 的最小值是8．​ 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用． 12．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵ ∴，即：， ∴ 则： ∴ 故答案为：； （3） 由分母，可设， 则： 对于任意上述等式成立， ∴，解得，， ∴ 又∵，即： ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 13．阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：9x+y 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b ∵对于任意x上述等式成立． ∴解得：． ∴x﹣2． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 　． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 【答案】（1）x+7；（2）2或4或﹣10或16；（3），x＝2、y＝9；x＝6、y＝2； x＝9、y＝5． 【分析】（1）将分子x2＋6x－3化为(x－1)(x＋7) ＋4，依据题意可解答； （2）将分子2x2＋5x－20化为（2x＋11）＋13，根据题意可解答； （3）由题意得出：＝即可知10x＋y＋4为33的倍数，据此可解答． 【解析】解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝ 答案为：； （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴x－3＝±1或x－3＝±13， 解得：x＝2或4或﹣10或16， 故答案为：2或4或﹣10或16； （3） ＝ ＝ ＝ ∵整数能被33整除， ∴为整数，即10x＋y＋4＝33k，（k为整数）, 当k＝1时，x＝2、y＝9符合题意； 当k＝2时，x＝6、y＝2符合题意； 当k＝3时，x＝9、y＝5符合题意． 【点睛】本题考查分离整数法解决分式的整数值问题，熟练掌握分式的化简求值的方法是解题的关键． 题型6：整体思想，裂项相消法 14．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【解析】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 15．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得 ，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求的值． 【答案】(1)，见解析． (2)． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据（1）的规律变形，再计算即可． 【解析】（1）解：设， ∴， ∴， ∴． （2） ； 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 16．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【解析】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 题型7：规律题 17．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键．根据，，得到，，，，，，发现是6个数为一个周期，循环出现，依次规律，计算解答即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴发现是6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴, 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 故④错误， 故选：A． 19．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴，，，， ∴，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， 故②正确； 由①②可得分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时： ， ， ∴， 当为偶数时： ， ， ∴， 故③正确； 故选：D． 20．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（    ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律题，分式的值，分式的混合运算，根据题意得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【解析】解：依题意，，，……，故①不正确； ∴ ∵ 又 ∴ ∴，故②正确； ∵ ∵为负整数，则， ∴ ∴ 而，无意义， ∴ ∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确 故选：C． 题型8：分式方程有关的材料阅读、新定义题 21．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2022 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【解析】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵， ∴原式． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 22．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 23．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解． 【解析】（1）解：∵的解为， ∴的解为或， 故答案为：5，； （2）∵方程， ∴， ∴； （3）方程可化为， 设，方程变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 题型9：分式的综合应用 24．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)，理由见详解；证明见详解 (3) 【分析】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键． （1）根据“臻美数对”的定义即可求解； （2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解； （3）由（2）的结合分式的加减即可求解． 【解析】（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：， ， 与是“臻美数对； （2），理由如下： 由题意得： ， 移项合并同类项可得： ， 左右两边同时除以9可得： ； 两“臻美数对”的和为： 两“臻美数对”的和是的倍数； （3）这两个数为“臻美数对”， 即 解得：， ，； ，， 这两个数分别为：． 25．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】(1)> (2) (3)小王的加油方式平均单价更低 【分析】本题考查了分式的减法及利用作差法比较两个分式的大小． （1）由可得． （2）先将化简，再求出，将结果化简成最简分式，再判断结果的符号，即可比较A与的大小； （3）先分别用代数式表示出小王和小张平均每次加油的单价，再利用作差法比较大小即可． 熟练掌握异分母分式的相加减，并且能正确的列出代数式是解题的关键． 【解析】（1）∵， ∴． 故答案为：> （2）， ， ， ， ， ， ． （3）小王的平均单价为： ， 设油箱的容积为V，则小张的平均单价为：， 则 ． ， ， ， ∴小王的加油方式平均单价更低． 26．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 题型10：分式方程的实际应用 27．某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 【答案】(1)①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；② (2)在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由见解析；该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 【分析】本题考查分式的运算的应用，分式方程的应用． （1）①把轮胎完好到报废的损耗量看成单位1，根据每万千米的损耗量等于损耗量除以里程即可解答； ②根据“安装在前轮的损耗量＋安装在后轮的损耗量＝1”列出方程，求解并检验即可； （2）B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，当行驶万千米后将前后轮对调，原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，若它们同时报废，则，得到，不合题意，即可解答．设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，列出方程组，求解即可． 【解析】（1）解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为， 安装在后轮上每万千米的损耗量为． ②根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且符合题意． （2）解：在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由如下： B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为， 当行驶万千米后将前后轮对调， 原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 若它们同时报废，则， 整理，得， ∴，不合题意， ∴在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废． 设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，则 解得：， ∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 28．学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示）． ①＝ _____； ②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象； 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _____．（直接写出结果） 【答案】【观察】：①；②；【发现】：①；②见解析；【拓展】：0＜x≤12或48≤x≤72． 【分析】[观察]①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； [发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论； ②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论； [拓展]由题意列不等式即可得到结论． 【解析】[观察]①∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度， ∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度， 设机器人甲的速度为， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点为个单位， 根据题意得，， ， 故答案为； ②∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度， ∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度， 设机器人甲的速度为， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为， 机器人甲从相遇点到点所用时间为，而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点为个单位， 根据题意得，， ， 故答案为； [发现]①当点第二次相遇地点刚好在点时， 设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ， 经检验：是分式方程的根， 即：， 故答案为； ②当时，点在线段上， ∴线段的表达式为， 当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时， 设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ， 即：， 补全图形如图2所示， [拓展]①如图， 由题意知，， ∴y=5x， ∵0＜y≤60， ∴0＜x≤12； ②如图， ∴， ∴y=-5x+300， ∵0≤y≤60， ∴48≤x≤60， ③如图， 由题意得，， ∴y=5x-300， ∵0≤y≤60， ∴60≤x≤72， ∵0＜x＜75， ∴48≤x＜72， 综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72， 故答案为0＜x≤12或48≤x≤72． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 题型11：分式在平面直角坐标系、几何中的应用 29．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为的面积为． (1)若点的横坐标为． 求的值； 当点在线段上时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)当，且时，线段的长为______． 【答案】(1)；是，； (2)． 【分析】点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，可知点的纵坐标为：，把点的坐标代入求出的值； 由可知直线的解析式为，根据解析式求出点的坐标，设点的坐标为，可知点的坐标为，把和用含的代数式表示出来，根据两个图形的面积比可以得到； 根据轴，且，可知轴是的垂直平分线，设点的坐标为，则点的坐标为，根据点和点的关系，把这两个点的坐标用含的代数式表示出来，再根据图形间的面积关系列出方程求解即可． 【解析】（1）解：点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； 解：的值是定值，这个定值为； 理由如下： 由可知直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， ， ， ； 故的值是定值，这个定值为； （2）解：轴，且，则轴是的垂直平分线， 点在点的右侧，即点P的横坐标为正， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 解得：， 点的坐标为，则点的坐标为， 解方程组， 得：， 点的坐标为， 如下图所示，∵点P的横坐标为正， ∴，即， ， ， ， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， 点的坐标为，点的坐标为， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用、待定系数法求一次函数的解析式、分类讨论的思想．解决本题的关键是根据轴，且，得到轴是的垂直平分线． 30．直线：交x轴于A，交y轴于B． （1）求的长； （2）如图1，直线关于y轴对称的直线交x轴于点C，直线：经过点C，点D、T分别在直线、上．若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）如图2，平行y轴的直线交x轴于点E，将直线向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线于点P．点在四边形内部，直线交于G，直线交于H，求的值． 【答案】（1）；（2）点D的坐标为或或；（3）． 【分析】（1）根据直线的解析式求出其与x轴的交点A和与y轴的交点B的坐标，进而求出OA与OB的长度，再使用勾股定理即可求出AB的长度； （2）根据直线和直线关于y轴对称求出直线的解析式，再求出直线的解析式，根据点D在直线上，可设点，然后分类讨论点D是在线段BC上，还是在线段BC的延长线上，或者在线段CB的延长线上，在每一种情况下结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m的式子表示点T的坐标，再根据点T在直线上求出m的值，即可求出点D的坐标； （3）根据平移的性质求出直线MN的解析式，再结合直线x=2求出点，点和点，进而求出ME的长度，然后再结合点求出直线和直线，进而求出点和，即可得到GE与HE的长度，最后再代入计算即可． 【解析】解：（1）∵直线交x轴于A，交y轴于B， ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∵， ∴． （2）∵直线关于y轴对称的直线交x轴于点C，直线交x轴与点， ∴点A与点C关于y轴对称． ∴． ∵点在y轴上， ∴直线经过点B． ∴设直线． ∵直线经过点， ∴． 解得：． ∴直线． ∵直线经过点， ∴． 解得：． ∴直线． ∵点D在直线上， ∴设点． ①如下图所示，当点D在线段上时． ∵四边形ABDT是平行四边形， ∴． ∴BD经过平移之后到达AT． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴； ②如下图所示，当点D在线段的延长线上时． ∵四边形ABTD是平行四边形， ∴． ∴AD经过平移之后到达BT． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴； ③如下图所示，当点D在线段的延长线上时． ∵四边形ADBT是平行四边形， ∴． ∴BD经过平移之后到达TA． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴． 综上所述，点D的坐标为或或． （3）直线向上平移5个单位长度得到的直线解析式为． ∵直线x=2与x轴交于点E，与直线MN交于点P，直线MN交x轴于点M， ∴，，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴， 设直线的解析式为， ∵直线PF经过点与， ∴解得 ∴直线的解析式为． ∵直线PF与x轴交于点G， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴． 设直线OF的解析式为y=cx， ∵直线OF经过点， ∴． 解得：． ∴直线的解析式为． ∵直线OF与直线交于点H． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 分式 压轴题（十一大题型） 目录： 题型1：分式方程的代数应用 题型2：求值问题 题型3：分式与二次根式 题型4：最值问题 题型5：拆项法 题型6：整体思想，裂项相消法 题型7：规律题 题型8：分式方程有关的材料阅读、新定义题 题型9：分式的综合应用 题型10：分式方程的实际应用 题型11：分式在平面直角坐标系、几何中的应用 题型1：分式方程的代数应用 1．若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 2．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（    ）． A．13 B．9 C．3 D．10 3．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 题型2：求值问题 4．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 5．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 6．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 题型3：分式与二次根式 7．观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 8．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型4：最值问题 9．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 10．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 题型5：拆项法 11．阅读下面材料并解答问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则 ∵对任意上述等式均成立， ∴且，∴， ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出的最小值． 12．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 13．阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：9x+y 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b ∵对于任意x上述等式成立． ∴解得：． ∴x﹣2． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 　． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 题型6：整体思想，裂项相消法 14．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 15．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得 ，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求的值． 16．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 题型7：规律题 17．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 18．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（    ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型8：分式方程有关的材料阅读、新定义题 21．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 22．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 23．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 题型9：分式的综合应用 24．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 25．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 26．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 题型10：分式方程的实际应用 27．某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 28．学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示）． ①＝ _____； ②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象； 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _____．（直接写出结果） 题型11：分式在平面直角坐标系、几何中的应用 29．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为的面积为． (1)若点的横坐标为． 求的值； 当点在线段上时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)当，且时，线段的长为______． 30．直线：交x轴于A，交y轴于B． （1）求的长； （2）如图1，直线关于y轴对称的直线交x轴于点C，直线：经过点C，点D、T分别在直线、上．若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）如图2，平行y轴的直线交x轴于点E，将直线向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线于点P．点在四边形内部，直线交于G，直线交于H，求的值． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$