第08讲 三角形的内角和（2大知识点+6大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第08讲 三角形的内角和 目录 题型归纳 题型01 三角形内角和定理的证明 2 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 5 题型04 三角形折叠中的角度问题 6 题型05 三角形内角和定理的应用 8 题型06 三角形的外角的定义及性质 10 分层练习 夯实基础 17 能力提升 20 知识点01三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点02三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 题型01 三角形内角和定理的证明 1．（七年级下·上海虹口·阶段练习）如图，已知， （1）过点A画直线DE∥BC； （2）与_______是内错角，它们相等吗？请说明理由． （3）请你说明 2．（七年级下·上海静安·期中）回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 5．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度． 8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么 ． 9．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 题型04 三角形折叠中的角度问题 10．（22-23七年级下·上海·期中）如图，在锐角中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落在点F的位置．如果，，那么 ． 11．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，中，点E在上，先将沿着翻折，使，交于点D，又将沿着翻折，此时C点恰好落在上，则原三角形中 ． 12．（2023七年级下·上海·专题练习）（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 题型05 三角形内角和定理的应用 13．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 14．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，，，，则 ． 15．（22-23七年级下·上海·期中）如图，，， (1)如果，则 °； (2)在（1）的条件下，有一点G在点Q的右侧，的平分线与的平分线交于点M， ①当时，求的度数； ②如果，求的度数． 16．（22-23七年级下·上海·期中）（1）在探究“三角形的内角和等于”性质时，小杰提出了一种思路，现在请你将证明过程补充完整： 已知：如图，在中，试说明：． 解：延长线段至点D，并过点C作． 因为（已作）， 所以 ．（ ） ．（ ） 因为（ ）， 所以（ ）． （2）探究出三角形的内角和等于之后，小杰发现若，，时，就可以求出的度数，则 ． （3）小杰随后又思考：在射线上能否找到一个点F（点F与点C不重合），使得的面积与的面积相等呢？如果找到，请画出（在原图中画出一个三角形即可）． 题型06 三角形的外角的定义及性质 17．（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，的度数为    18．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知直线，点A在直线a上，点B、C在直线b上，点P在线段上，如果，，那么 ．    19．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于P点，若 ，则 ． 20．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，则 ． 21．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点，平分，如果°，，求的度数．    解：因为（ ）， 又因为，（已知）， 所以 ． 因为平分（已知）， 所以 （角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以 ． 22．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 23．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 24．（22-23七年级下·上海青浦·期中）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 25．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 26．（2024七年级下·上海·专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由； (2)如图2，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出的度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示（直接写出答案） 解：（1）结论： 度．说理如下：因为、平分和（已知）， 所以， ． 因为 ， ，（完成以下说理过程） 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（22-23七年级下·上海普陀·期末）下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段、、满足，那么这三条线段、、一定能组成三角形．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么    5．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，则 ． 6．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）在中，如果，，那么按角分类，是 三角形． 7．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，已知，，那么 ． 8．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，于，，，则 度 9．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，在中，，，平分，如果，那么 ． 10．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ． 11．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）在中，已知，那么是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 12．（22-23八年级上·上海宝山·期中）在中，平分，，若，，那么 °． 三、解答题 13．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，的平分线相交于O．求的度数． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 二、填空题 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当 时，有． 3．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知平分，，则 时，． 4．（21-22七年级下·上海·期中）如图，在中，，，点D在上，将沿直线翻折后，点C落在点E处，联结，如果DE//AB，那么的度数是 度． 三、解答题 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（    ） 所以，（    ） 因为， 所以（    ）． 所以____________（    ）． 6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，点在边上，，请说明的理由． 解：因为是的一个外角 所以　　（ ） 因为 所以（ ） 因为（ ） 所以（ ） 7．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，于，，，求的度数． 8．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知平分，说明． 解：因为平分（已知）， 所以（角的平分线的意义）， 因为（三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和） 又因为（已知）， 所以______（等式性质）， （完成以下说理过程） 9．（2023七年级下·上海·专题练习）如图所示，已知与相交于点F，平分，平分，试说明三者之间的数量关系． 10．（21-22七年级下·上海·期中）如图所示，射线CBOA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°． (1)求∠FOB的度数； (2)直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系； (3)在平行移动AB的过程当中，是否存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接写出其度数；若不存在，说明理由． 11．（2024七年级下·上海·专题练习）在中，    (1)如图1，点，分别是，上一点，若，相交于点，请说明； (2)如图2，若，分别是，上的高，请说明理由； (3)如图3，若，，的角平分线，，相交于点，则： ① ； ②若过点作于点，发现，请说明理由． 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 三角形的内角和 目录 题型归纳 题型01 三角形内角和定理的证明 2 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 5 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 9 题型04 三角形折叠中的角度问题 13 题型05 三角形内角和定理的应用 17 题型06 三角形的外角的定义及性质 23 分层练习 夯实基础 41 能力提升 52 知识点01三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点02三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 题型01 三角形内角和定理的证明 1．（七年级下·上海虹口·阶段练习）如图，已知， （1）过点A画直线DE∥BC； （2）与_______是内错角，它们相等吗？请说明理由． （3）请你说明 【答案】（1）作图见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】（1）可借助直尺运用平移的方法画平行线； （2）根据内错角的定义及平行线的性质解答； （3）欲证明三角形的三个内角的和为180°，可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答． 【详解】（1）作图如下： （2）∠B与∠DAB是内错角，且相等． ∵DE∥BC（所画） ∴∠B=∠DAB．（两直线平行，内错角相等）   （3）证明：∵DE∥BC， ∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC（两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°（平角定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换） 即∠A+∠B+∠C=180°． 【点睛】此题考查平行线的作法，性质：两直线平行，内错角相等，通过等量代换求证定理． 2．（七年级下·上海静安·期中）回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明 【分析】（1）根据过程填写依据即可； （2）延长，过作，可证，，由，即可得证． 【详解】（1）解：过顶点A作， ，（所作） ，．（两直线平行，内错角相等．） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（平角的定义） ．（等量代换） （2）解：如图，延长，过作，   ，， 、、在同一条直线上， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，平行线的性质，掌握性质及证明方法是解题的关键． 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 4．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 【答案】/28度 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【答案】平行，证明见解析 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理．由，可得，而的平分线与的平分线相交于点，即可得，故． 【详解】解：，证明如下： ， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ． 6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：，如图， 在中，， 在中，， ，， ， ． 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求得，从而可求，再根据三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么 ． 【答案】125 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，由三角形内角和定理得，由角平分线得，即可求解；掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 与的平分线相交于， ， ． 故答案为：125． 9．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理和角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由对顶角相等得到，然后根据即可得到； （2）根据题意分点G在点F右边和点G在点F左边两种情况讨论，首先得到，然后分别根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，当点G在点F左边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点G在点F右边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 综上所述，或． 题型04 三角形折叠中的角度问题 10．（22-23七年级下·上海·期中）如图，在锐角中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落在点F的位置．如果，，那么 ． 【答案】/55度 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查的是翻折问题和三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出的度数，再由求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵由翻折而成， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：55°． 11．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，中，点E在上，先将沿着翻折，使，交于点D，又将沿着翻折，此时C点恰好落在上，则原三角形中 ． 【答案】80 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，再根据，即可得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴原三角形的， 故答案为：80． 12．（2023七年级下·上海·专题练习）（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 【答案】（1）；理由见解析（2）（3）A（4） 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案； （4）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可． 【详解】解：（1）； 理由如下：由折叠的性质得：，， ∴①， 又∵， ∴②， 由①②得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）理由：∵于点M，于点N， ∴，， ∴，由（1）知， ∴， ∴， 故选：A； （4）由（1）得：， 得， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【点睛】本此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 题型05 三角形内角和定理的应用 13．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键． 先设，则，根据三角形内角和定理得到求得，进而求得的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：， 设，则， 解得 是直角三角形． 故答案为：直角． 14．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，，，，则 ． 【答案】118 【知识点】求一个角的补角、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 延长交于点F，根据补角求得，再利用三角形内角和定理求得，再利用平行线的性质求得． 【详解】解：延长交于点F，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：118． 15．（22-23七年级下·上海·期中）如图，，， (1)如果，则 °； (2)在（1）的条件下，有一点G在点Q的右侧，的平分线与的平分线交于点M， ①当时，求的度数； ②如果，求的度数． 【答案】(1)40 (2)①   ② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是平行线的性质、角平分线的有关计算及三角形内角和定理应用， （1）先求出，根据三角形内角和得出，进而得出结论； （2）①先求出，进而求出，结合求出结论； （3）先得出，进而得出即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 16．（22-23七年级下·上海·期中）（1）在探究“三角形的内角和等于”性质时，小杰提出了一种思路，现在请你将证明过程补充完整： 已知：如图，在中，试说明：． 解：延长线段至点D，并过点C作． 因为（已作）， 所以 ．（ ） ．（ ） 因为（ ）， 所以（ ）． （2）探究出三角形的内角和等于之后，小杰发现若，，时，就可以求出的度数，则 ． （3）小杰随后又思考：在射线上能否找到一个点F（点F与点C不重合），使得的面积与的面积相等呢？如果找到，请画出（在原图中画出一个三角形即可）． 【答案】（1），两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，平角的定义，等角代换；（2）70；（3）能，见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形综合题，关键是掌握三角形内角和定理． （1）因为，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，所以，，因为是一个平角，，进行等角代换，所以； （2）根据图形可得，已知，，，可求得的度数； （3）因为与有同一个边，要使的面积与的面积相等，需要使F到的距离等于C到的距离，因为，所以上的点到的距离相等，即射线上存在点F（除C点外），使得的面积与的面积相等． 【详解】解：（1）因为（已作）， 所以，（两直线平行，同位角相等） ，（两直线平行，内错角相等） 因为，（平角的定义） 所以（等角代换）， 故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，平角的定义，等角代换； （2）∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：70； （3）∵的面积与的面积相等， ∴C到的距离等于F到的距离， ∵， ∴射线上存在点F（除C点外），使得的面积与的面积相等， 如图所示， ． 题型06 三角形的外角的定义及性质 17．（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，的度数为    【答案】80 【分析】根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 18．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知直线，点A在直线a上，点B、C在直线b上，点P在线段上，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】先根据平行线的性质，得出的度数，再根据三角形外角性质，即可得到的度数． 【详解】解：∵,， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，三角形的外角的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 19．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于P点，若 ，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题利用了角平分线定义、三角形外角性质．利用角平分线定义可知．再利用外角性质，可得，，那么可利用，可得相等关系，从而可求． 【详解】解：∵是的角平分线，是的角平分线 ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 延长、相交得到，根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长、相交得到， ， ∴， ， ， 故答案为：． 21．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点，平分，如果°，，求的度数．    解：因为（ ）， 又因为，（已知）， 所以 ． 因为平分（已知）， 所以 （角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以 ． 【答案】见解析 【分析】根据题干中的解题过程以及相关性质定理即可求出答案． 【详解】解：因为°（ 三角形内角和等于 ）， 又因为°，°（已知）， 所以 55 ． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角定义以及三角形的角平分线定义．解题的关键在于熟练掌握相关性质定理及定义． 22．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80． 23．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：三角形外角等于与它不相邻两内角的和． （1）根据角平分线定义可得，根据三角形内角和为可得，即可得证； （2）根据角平分线定义可得，，根据三角形内角和为可得，即可得出结论； （3）根据角平分线定义可得，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； 【详解】（1）解：． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 24．（22-23七年级下·上海青浦·期中）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理即可得出与之间的数量关系； （2）利用（1）的结论即可直接得出答案； （3）利用（1）的结论以及角平分线的定义，可得出，然后利用三角形的内角和定理即可得出和的数量关系； （4）利用（1）（3）得到的结论，可直接写出与、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：利用（1）的结论可得， ， 故答案为：； （3）解：利用（1）的结论可得， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， 又， ， ； （4）解：利用（1）的结论可得， 利用（3）的结论可得，即， ， ， 故答案为：． 25．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于”及等式的性质分析求解． （1）根据平分线定义得，，再根据三角形的内角和定理即可得证； （2）根据角平分线定义、三角形的内角和定理即可得证； （3）根据角平分线定义、三角形的内角和定理及外角性质即可得证； 【详解】（1）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：． 因为，（三角形的内角和等于180， 所以 （等式性质）． 即：． （2）解：与之间的等量关系是：．理由： 、分别是的两个外角、的平分线， ，， ， ， 而， ， ， ， ， ， 与之间的等量关系是：． 理由：、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ， 即： （3）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：，． ，（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ． 又（已知）， （等式性质）． （平角的定义）， ． （三角形的内角和等于， （等式性质）． （等量代换）． ．（等角对等边）． 26．（2024七年级下·上海·专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由； (2)如图2，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出的度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示（直接写出答案） 解：（1）结论： 度．说理如下：因为、平分和（已知）， 所以， ． 因为 ， ，（完成以下说理过程） 【答案】(1)34；角平分线的定义；；；理由见解析 (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键． （1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解； （2）根据（1）的解法即可直接求解； （3）利用（1）（2）的结论求解． 【详解】（1）解：结论：．理由如下： 因为、平分和（已知）， 所以，  角平分线的意义  ． 因为，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 所以， 因为， 所以， 故答案为：34；角平分线的定义；；； （2）解：∵、平分和（已知）， ∴，  角平分线的意义  ． ∵，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴， ∵， ∴． （3）解：由(1)(2)得， 设，， ∴， ， ， ∴． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的高的概念，三角形内角和定理，外角性质分别判断即可． 【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意； B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意； C、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的内角和与三角形形状无关，因为始终为180度，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角． 【详解】∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角， ∴与它相邻的这个内角为钝角，这个外角为锐角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 3．（22-23七年级下·上海普陀·期末）下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段、、满足，那么这三条线段、、一定能组成三角形．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可判定①，根据对顶角的性质可判定②，利用三角形外角的性质可判定③，由三角形的三边关系可判定④． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误； ②对顶角相等，故原说法正确； ③三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原说法错误； ④比如，满足条件，但不能组成三角形，故原说法错误， 故正确的个数有1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角的性质，三角形的三边关系．掌握相关性质定理是解题的关键． 二、填空题 4．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么    【答案】 【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解． 【详解】解：延长交于，   ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 5．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】此题主要考查三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．由求得，可推出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）在中，如果，，那么按角分类，是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键．根据三角形的内角和定理，求出∠A，再判断三角形的形状． 【详解】解：∵中，如果，，， ∴， ∴三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 7．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，已知，，那么 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟记任意三角形的内角和是是解题关键． 根据三角形内角和为定理进行求解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，于，，，则 度 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】 解：，， ， 又， ． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，在中，，，平分，如果，那么 ． 【答案】30 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴． 故答案为：30． 10．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 综上：边恰好与边平行，t的值为或 故答案为：10.5或28.5 11．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）在中，已知，那么是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】设，则，，根据三角形内角和求出的值，计算出每个内角度数即可判断． 【详解】解：设，则，， ， ， ， ， ，，， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，运用方程思想是解本题的关键． 12．（22-23八年级上·上海宝山·期中）在中，平分，，若，，那么 °． 【答案】 【分析】根据三角形内角和的性质求得的度数，再根据角平分线和平行线的性质，求解即可． 【详解】解：由三角形内角和的性质可得： 又∵平分 ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 三、解答题 13．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，的平分线相交于O．求的度数． 【答案】 【详解】由角平分线的定义可知，，，由，可得，根据，即，计算求解即可． 【解答】解：∵是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当 时，有． 【答案】60 【分析】本题考查三角形翻折问题，三角形内角和，平行线的判定，熟练掌握翻折的性质、三角形内角和定理、平行线的判定定理是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，再根据翻折的性质得，再根据当时，，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折得， ∵当时，， ∴， ∴， 故答案为：60． 3．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知平分，，则 时，． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质，平行线的判定定理，平行线的性质；根据三角形的外角的性质得，根据当时，即可求解． 【详解】解：平分， ， 设， ∵， 当时， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（21-22七年级下·上海·期中）如图，在中，，，点D在上，将沿直线翻折后，点C落在点E处，联结，如果DE//AB，那么的度数是 度． 【答案】40 【分析】先求出∠BAC，由AB//DE得出∠E=∠BAE，再根据翻折得性质得∠E=∠C，∠CAD=∠EAD，即可求出答案 【详解】∵∠B=40°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-40°-30°=110°， 根据翻折的性质可知，∠E=∠C，∠CAD=∠EAD， ∴∠E=30°， ∵AB//DE， ∴∠E=∠BAE=30°， ∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=110°-30°=80°， ∴∠CAD=∠EAD=∠EAC=40°， 故答案为：40 【点睛】题目主要考查三角形翻折的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，综合运用各个知识点是解题关键． 三、解答题 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（    ） 所以，（    ） 因为， 所以（    ）． 所以____________（    ）． 【答案】垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定即可得出答案． 【详解】证明：因为， 所以（垂直的定义） 所以，（直角三角形的两个锐角互余） 因为， 所以（ 等角的余角相等 ） 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，点在边上，，请说明的理由． 解：因为是的一个外角 所以　　（ ） 因为 所以（ ） 因为（ ） 所以（ ） 【答案】；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；等量代换；已知；等式的性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到． 由三角形外角的性质推出，而，而（已知），推出． 【详解】解：因为是的一个外角， 所以（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， 因为， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以（等式的性质）． 故答案为：；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；等量代换；已知；等式的性质. 7．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，于，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，结合垂直的定义根据三角形内角和定理求出，则，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 于， ， ． 8．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知平分，说明． 解：因为平分（已知）， 所以（角的平分线的意义）， 因为（三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和） 又因为（已知）， 所以______（等式性质）， （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的判定，角平分线的定义；由平分得；由三角形外角性质，结合，得，从而得，由平行线的判定即可得． 【详解】因为平分（已知）， 所以（角的平分线的意义）， 因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又因为（已知）， 所以（等式性质）， 所以， 所以． 故答案为：；不相邻； 9．（2023七年级下·上海·专题练习）如图所示，已知与相交于点F，平分，平分，试说明三者之间的数量关系． 【答案】 【分析】如图，连接并延长到，由三角形的外角性质得，，，，，则，，由平分线的定义得，进而可得． 【详解】解：如图，连接并延长到， 由三角形的外角性质得，，，，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．熟记性质并准确识图是解题的关键． 10．（21-22七年级下·上海·期中）如图所示，射线CBOA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°． (1)求∠FOB的度数； (2)直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系； (3)在平行移动AB的过程当中，是否存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接写出其度数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)40° (2)∠OEC＝2∠OBC (3)存在，60° 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠FOB＝ ∠AOC； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠AOB，从而得到∠AOE＝2∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC＝∠AOE，从而得解； （3）根据三角形的内角和定理求出∠COF＝∠AOB，从而得到OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】（1）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°， ∴∠COA＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵CB∥OA， ∴∠EBO＝∠AOB， 又∵∠EOB＝∠AOB， ∴∠EBO＝∠EOB， ∴OB平分∠AOE， 又∵OF平分∠COE， ∴∠FOB＝∠EOF+∠EOB＝ ∠COA＝ ×80°＝40°； （2）结论：∠OEC＝2∠OBC． ∵CB∥OA，则∠OBC＝∠BOA，∠OEC＝∠EOA， 则∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA， 又∵∠EOA＝∠EOB+∠AOB＝2∠AOB， ∴∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA＝∠AOB：2∠AOB＝1：2， ∴∠OEC＝2∠OBC． （3）存在 在△COF和△AOB中， ∵∠OFC＝∠OBA，∠C＝∠OAB， ∴∠COF＝∠AOB， ∴OB、OF、OE是∠AOC的四等分线， ∴∠COF＝ ∠AOC＝ ×80°＝20°， ∴∠OFC＝180°﹣∠C﹣∠COF＝180°﹣100°﹣20°＝60°， 故存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA，此时∠OFC＝∠OBA＝60°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 11．（2024七年级下·上海·专题练习）在中，    (1)如图1，点，分别是，上一点，若，相交于点，请说明； (2)如图2，若，分别是，上的高，请说明理由； (3)如图3，若，，的角平分线，，相交于点，则： ① ； ②若过点作于点，发现，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，②见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于．解决第（3）问的难点在于将和都用表示出来． （1）根据三角形的外角性质，求得，据此进行计算即可； （2）根据，分别是，上的高，可得和是直角三角形，进而得出，据此可得； （3）根据，，的角平分线，，相交于点，可得，据此进行计算即可；②根据是的外角，得出，再根据平分，，可得中，，进而得到． 【详解】（1）证明： 如图1，连接并延长至，   是的外角， ， 同理可得，， ； （2）证明如图2，，分别是，上的高，   和是直角三角形， ， ； （3）解：①如图3，   ，，的角平分线，，相交于点， ，，， ， 故答案为：； ②是的外角， ， 平分， ， ， 中，， ． 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 【答案】(1)①；② (2)①见详解；② 【分析】（1）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而可得，然后由求解即可；②过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，然后由即可获得答案； （2）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而证明结论；②利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的定义和性质证明， ，然后由求解即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2）①证明：如下图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$