空间几何体的体积与表面积 导学案 - 2025届高三数学二轮复习

【二轮复习微专题】 空间几何体的体积与表面积 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解并熟练运用柱体、锥体、球体等常见空间几何体的体积与表面积公式，掌握其推导逻辑与变形应用； 2. 通过综合题训练，培养将复杂几何体分解为基本几何体的能力，提升空间思维与图形转化技巧； 3. 结合实际问题与高考真题，学会运用体积与表面积公式解决综合问题，提高解题策略与应试能力. 2、 重点难点 重点：常见空间几何体体积与表面积公式的灵活应用，尤其是多面体与旋转体的组合问题; 难点：复杂几何体的分割与补形技巧，以及公式变形中的隐含条件分析（如锥体体积公式中“1/3”的几何意义）. 3、 学习过程 1. 常见体积与表面积公式 · 空间几何体的侧面积、表面积的相关公式 (1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l). (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l). (3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl). (4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2. · 热点二　空间几何体的体积相关公式 (1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)； (3)V台体＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)； (4)V球＝πR3. 2. 例题分析 角度一：柱体、锥体、台体的表面积（侧面积） 例题1. （1）如图，在正方体中，为的中点．某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】由圆锥高为，母线与底面所成的角为，得圆锥底面圆半径， 母线，所以圆锥的表面积. 故选：A （2）设圆台的上、下底面的半径之比为，侧面积为，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【解析】设圆台上底面的半径为r，下底面半径为R，母线为l，则. 如图，分别为圆台上、下底面的圆心，AB为一条母线，连接， 过点A作于点D，则四边形为矩形，得， 所以，在中，，圆台的侧面积为， 所以，又为质数，所以或3. 当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意. 所以圆台的母线长为3. 故选：B （3）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 角度一：柱体、锥体、台体的体积 例题2. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【解析】由条件可得四片瓦的体积（） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（）， 又， 所以共需粘土的体积为约为， 故选：B. （2）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH， 容易求得，. 取AD的中点O，连接GO，易得，则， 所以，多面体的体积 故选：A. （3）四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，，，Q为正方形ABCD内一动点且满足，若，则三棱锥的体积的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【解析】 因为，所以, ,又，所以， ，因为，所以， 又因为，所以平面. ，又，所以平面，, 故点在以为直径的半圆上， 所以当点是正方形的中心时，三棱锥的体积最小， 即三棱锥的体积的最小值为. 故选：B 角度三：与外接球（内切球）有关的几何体的表面积和体积 例题3. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 故选：C. 3. 提升练习 (1) （2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【解析】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B (2) （2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. (3) （2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【解析】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. (4) 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（   ） A．100 m B．112 m C．117 m D．132 m 【解析】如图，过E作平面ABCD，垂足为O， 过E分别作，，垂足分别为G，M， 连接OG，OM， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，且EO，平面EOG，，所以平面EOG， 因为平面EOG，所以， 所以等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角为， 同理可得，又， 所以等腰梯形所在的平面与平面ABCD所成角为， 所以， 又，所以四边形OMBG是矩形， 又，则，所以，所以， 所以在中，， 在中，，， 又因为， 故该五面体的所有棱长之和为． 故选：D． (5) （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 【解析】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC.    (6) （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解析】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. (7) （2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【解析】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. (8) （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【解析】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. (9) （2022·福建宁德·模拟预测）如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥SO截去一小圆锥作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以O为顶点，以圆为底面的圆锥.若圆O半径为3，，不计损耗，当圆锥的体积最大时，圆的半径为 ，此时，去掉盖子的几何体的表面积为 . 【解析】设圆的半径为，， ，则，得 圆锥的体积为 由得 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 则当，即时，取最大值； 圆台的母线长为 圆台的侧面积为 下底面的面积为， 被挖的圆锥的侧面积为 故去掉盖子的几何体的表面积为 故答案为：2， 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《空间几何体的体积与表面积作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【二轮复习微专题】 空间几何体的体积与表面积 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解并熟练运用柱体、锥体、球体等常见空间几何体的体积与表面积公式，掌握其推导逻辑与变形应用； 2. 通过综合题训练，培养将复杂几何体分解为基本几何体的能力，提升空间思维与图形转化技巧； 3. 学会运用体积与表面积公式解决综合问题，提高解题策略与应试能力. 2、 重点难点 重点：常见空间几何体体积与表面积公式的灵活应用，尤其是多面体与旋转体的组合问题; 难点：复杂几何体的分割与补形技巧，以及公式变形中的隐含条件分析（如锥体体积公式中“1/3”的几何意义）. 3、 学习过程 1. 常见体积与表面积公式 · 空间几何体的侧面积、表面积的相关公式 (1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝ ，S表＝ . (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝ ，S表＝ . (3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝ ，S表＝ . (4)若球的半径为R，则它的表面积S＝ . · 热点二　空间几何体的体积相关公式 (1)V柱体＝ (S为底面面积，h为高)； (2)V锥体＝ (S为底面面积，h为高)； (3)V台体＝ (S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)； (4)V球＝ 2. 例题分析 角度一：柱体、锥体、台体的表面积（侧面积） 例题1. （1）如图，在正方体中，为的中点．某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． （2）设圆台的上、下底面的半径之比为，侧面积为，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 （3）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ） A． B． C． D． 角度一：柱体、锥体、台体的体积 例题2. （1）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（    ） A． B． C． D． （2）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（    ） A． B． C． D． （3）四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，，，Q为正方形ABCD内一动点且满足，若，则三棱锥的体积的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 角度三：与外接球（内切球）有关的几何体的表面积和体积 例题3. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 提升练习 (1) （2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． (2) （2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． (3) （2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． (4) 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（   ） A．100 m B．112 m C．117 m D．132 m (5) （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 (6) （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． (7) （2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． (8) （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． (9) （2022·福建宁德·模拟预测）如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥SO截去一小圆锥作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以O为顶点，以圆为底面的圆锥.若圆O半径为3，，不计损耗，当圆锥的体积最大时，圆的半径为 ，此时，去掉盖子的几何体的表面积为 . 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《空间几何体的体积与表面积作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$