第10章 第7节 空间几何体的表面积与体积-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

　 第七节　空间几何体的表面积与体积 1. 几何体的侧面积与体积公式 几何体 面积公式 体积公式 备注 圆柱 (侧面积)S＝2πrl V＝Sh (1)面积公式中，r与r′均为底面半径，l为母线长；体积公式中，S与S′均为底面面积，h为几何体的高. R为球的半径 (2)表面积问题从根本上讲是侧面积问题 (3)棱台的体积公式与圆台相同 圆锥 (侧面积)S＝πrl V＝Sh 圆台 (侧面积)S＝π(r＋r′)l V＝h(S＋＋S′) 球 (表面积)S＝4πR2 V＝πR3 2. 球的内接多面体 (1)相关概念 ① 内接多面体： 如果一个多面体的每个顶点都在一个球面上，这个多面体叫做这个球的内接多面体，这个球叫做这个多面体的外接球． ②外心：如果一个多边形有外接圆，这个外接圆的圆心叫做这个多边形的外心．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点(锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部)，长方形的外心是其对角线的交点． (2)球心位置的确定 如果一个多面体有外接球， ①对于这个多面体中的每一个面，外接球的球心都在过这个面的外心且与这个面垂直的直线上． ②外接球的球心在该多面体任意一条棱的中垂面上． (3)一个直三棱柱一定有外接球，球心是两个底面三角形外心连线的中点；反过来，一个球如果有内接三棱柱，则该三棱柱一定为直三棱柱． (4)球的内接三棱锥 ①对于三棱锥P－ABC，如果PA＝PB＝PC, 则P点在底面ABC上的射影O是△ABC的外心． 如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，PO⊥底面ABC，于是，∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，故OA＝OB＝OC，O为△ABC的外心． ②有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处． 如图，在Rt△BAD和Rt△BCD中，BD为它们公共的斜边，O为BD中点．因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA＝OB＝OC＝OD，所以O为三棱锥A－BCD外接球的球心． ③ 如果一个三棱锥有一条棱垂直于这个三棱锥的一个面，则这个三棱锥的外心就是这个三棱锥所在直三棱柱的外心(直三棱柱可通过三棱锥补形得到)．如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，右图是通过三棱锥D－ABC补形得到的直三棱柱ABC－DEF，则三棱锥和直三棱柱的外接球的球心相同，都是直三棱柱两个底面外心连线O1O2的中点O. 特别地，如果一个三棱锥的三条棱两两互相垂直，则这个三棱锥的外接球的球心不仅与其所在直三棱柱的外接球的球心相同，还与其所在长方体的外接球的球心相同，并且将三棱锥补形为长方体更便于解题(此时三棱锥外接球的球心就是长方体的中心)．如果三条互相垂直的棱的长度分别为a，b，c，则由长方体对角线公式，该三棱锥外接球半径R＝ . (5)外接球半径的一般计算方法 ① 设多面体某个面的外接圆(外接球的一个小圆)圆心为H，半径为r，该多面体的外接球球心为O，不难有OH⊥⊙H.设OH＝d，则外接球半径R＝. ② 对于一般三角形，常通过正弦定理来计算三角形的外接圆半径． 所用到的公式为 ＝＝＝2R (R为△ABC的外接圆半径)． 3. 正n棱锥是指底面是正n边形，侧棱相等的棱锥；直棱柱是指侧棱垂直于底面的棱柱；正n棱柱是指底面是正n边形的直棱柱(n∈N*且n≥3). 4．点面距问题 (1)熟练学会过平面外一点向一个平面引垂线的方法，这个方法可以用来找到点到面的距离. 作法是找到过这个点与这个平面垂直的另外一个平面β，然后过该点在平面β内作两个平面交线的垂线，垂线段的长度便是该点到平面的距离． 如图，要过P点向平面α引垂线，只需找到过P点与平面α相交的一个垂面β，然后在垂面β内过P点向两个平面的相交线AB引垂线，垂足为Q，则PQ的长即为P点到平面α的距离． (2)等体积法. 该法也可用来求点面距问题，通常是通过更换三棱锥的顶点和底面来求解． (3)如果一条直线l和一个平面α平行，则直线l上所有的点到平面α的距离相等. 这样我们求直线l上某点到平面α的距离，只需求出这条直线上另外一个特殊点到平面α的距离即可． 例1　如图所示圆柱中，母线PB＝2，AB为底面圆的直径，C为底面圆上一点，BC＝1，PA与底面所成的角为45°.求： (1)三棱锥P－ABC的体积； (2)圆柱的体积； (3)圆柱的全面积． (1)因为AB为底面圆的直径，所以∠ACB＝90°，依题意，PB⊥⊙O， ∴∠PAB＝45°，故Rt△PAB为等腰直角三角形，故AB＝2. 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC＝，V三棱锥P－ABC＝S△ABC·PB＝×××1×2＝. (2)显然母线PB是圆柱的高， ∴V圆柱＝S⊙O·PB＝π·12·2＝2π. (3)圆柱的侧面积S1＝2π·OB·PB＝2π×1×2＝4π， 圆柱的两个底面面积之和S2＝2π·OB2＝2π， ∴圆柱的全面积S＝S1＋S2＝6π.　 例2　如图，已知圆锥的母线和底面所成的角为60°，高为2，P为顶点，O为底面圆心，求圆锥的全面积和体积． 显然PO⊥底面，∴PO＝2，∠PBO＝60°， 故OB＝2，又∠POB＝90°，由勾股定理可知PB＝4，底面面积S1＝π·BO2＝4π. 圆锥的侧面积S2＝π·OB·PB＝π×2×4＝8π. ∴圆锥的全面积S＝S1＋S2＝12π. 圆锥的体积V＝S1·PO＝×4π×2＝.　 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点． (1)求证：DE∥平面PBC； (2)求三棱锥A－PBC的体积． (1)如图，取PB的中点F，连接EF，CF. ∵CD綉EF，∴四边形CDEF是平行四边形， 于是DE∥CF，又CF⊂平面PBC， 故DE∥平面PBC. (2)如图，取AD的中点H，连接PH，则PH⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD. 于是V三棱锥A－PBC＝V三棱锥P－ABC＝S△ABC·PH＝××4×2×＝. 　 例4　如图，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AB＝AD＝，CA＝CB＝CD＝BD＝2. (1)求证：BD⊥AC； (2)求三棱锥E－ADC的体积． (1)如图，连接AO，CO，依题意，BD⊥AO，BD⊥CO， ∴BD⊥平面AOC. 又AC⊂平面AOC，故BD⊥AC. (2)如图，连接OE，则有OE∥平面ADC. 于是O，E到平面ADC的距离相等．又由题意得AO＝1, CO＝，AC＝2，AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°.故V三棱锥E－ADC＝V三棱锥O－ADC＝V三棱锥D－AOC＝S△AOC·OD＝××1××1＝.　 例5　如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝，SE⊥AD. (1)证明：平面SBE⊥平面SEC； (2)若SE＝1，求E到平面SBC的距离． (1)由题设，经计算得BE＝2，CE＝2，BC＝4，从而BE2＋CE2＝BC2，∴EC⊥BE.又依题意，平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD，故SE⊥平面ABCD，又CE⊂平面ABCD，∴SE⊥CE.于是CE⊥平面SBE. 又CE⊂平面SEC，故平面SBE⊥平面SEC. (2)方法一(等体积法)：由题设计算得SC＝，SB＝，BC＝4，∴cos∠SBC＝＝.于是sin∠SBC＝，S△SBC＝SB·BC·sin∠SBC＝××4×＝4.又△BEC是直角三角形，S△BEC＝BE·EC＝×2×2＝2，设E到平面SBC的距离为h，由V三棱锥E－SBC＝V三棱锥S－BEC得S△SBC·h＝S△BEC·SE，即h＝. 例6　已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7, PB＝5, PC＝，AC＝10. 求球O的体积. 依题意，AC2＝PA2＋PC2，∴PA⊥PC. 又AB⊥BC，取AC中点O，有OA＝OB＝OC＝OP，即O为该四面体外接球的球心，∴R＝AC＝5.故球的体积V＝πR3＝π.　 例7　一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，此球的表面积为(　A　) A. 3π B. 4π C. 3π D. 6π 例8　已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，该球的表面积为(　D　) A. 16π B. 24π C. 32π D. 48π 例9　已知球的表面积为20π，球面上有A，B，C三点．如果AB＝AC＝2，BC＝2，则球心到平面ABC的距离为(　A　) A. 1 B. C. D. 2 例10　 (2019全国Ⅰ卷)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　D　) A. 8π B. 4π C. 2π D. π 一、选择题 1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　B　) A. 12π B. 12π C. 8π D. 10π 2. 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　C　) A. 3 B. C. 1 D. 3. (2024新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　B　) A. 2π B. 3π C. 6π D. 9π 4．(2023全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该三棱锥的体积为(　A　) A. 1 B. C. 2 D. 3 5．(2023新高考Ⅱ卷)(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　AC　) A. 该圆锥的体积为π B. 该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D. △PAC的面积为 6．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　B　) A. π B. C. D. 7. (2020全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　A　) A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 8. (2020全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上. 若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　C　) A. B. C. 1 D. 9．设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　B　) A. 12 B. 18 C. 24 D. 54 10. (2022新高考Ⅱ卷)(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　CD　) A. V3＝2V2 B. V3＝V1 C. V3＝V1＋V2 D. 2V3＝3V1 11. 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是(　A　) A. B. 16π C. 9π D. 12. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　C　) A. B. 2 C. D. 3 13. (2022新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　A　) A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 14. (多选)已知三棱锥S－ABC的顶点均在表面积为8π的球O的球面上，SA，SB，SC两两垂直，SA＝2，SB＝.则下列结论中正确的是(　ABD　) A. 球O的半径为 B. SC＝ C. S点到平面ABC的距离为 D. O点到平面ABC的距离为 二、填空题 1．(2023新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　. 2．(2023全国乙卷)已知S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝__2__. 三、解答题 (2011全国卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)设PD＝AD＝1，求三棱锥D－PBC的高． (1)∵∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，∴BD⊥平面PAD. 故PA⊥BD. (2)如图，作DE⊥PB，垂足为E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC. 由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD. 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC. 由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2，根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝，即三棱锥D－PBC的高为.　 学科网（北京）股份有限公司 $$