冲刺2025年中考数学之隐圆最值问题 专项讲义

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之隐圆专题 【定点定长】 前世：圆上的点到圆心的距离都相等。 今生：有一个固定的点，且动点到这个定点的长度是固定的，那么这个动点的轨迹是一个圆（圆的一部分），这个定点为圆的圆心，这个定长为圆的半径，简称“定点定长”。 考点：在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算。 题型1、翻折型 例1、 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________． 例3、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________． 【模考专练】 （2023济南槐荫一模）如图，线段，在线段上有一点C，当时，以为直角边在上方作等腰，，P为平面内一点，连接，，将和分别沿，翻折得到和，若A、、P恰好共线，则线段的最小值是______． （2023湖北随州统考中考）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    （2024烟台中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． （2024黑龙江大庆二模）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为 ． 题型2、滑梯模型 例4、如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________． （2024广西玉林三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 （2024济南章丘一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 　 　． 题型3、绕定点旋转模型 例5、在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 ．    【模考专练】 (济南长清二模)己知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，3)和点 B(3，n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F． ①请求出点F的坐标； ②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值和最小值． （济南高新一模）已知，等边△ABC和等腰△CDE中，CD=DE，∠CDE=120°，CB=CE. （1）如图①，若点 B和点E重合，则 AB 与 BD 之间的数量关系是 ;位置关系是 ; （2）若将如图①的△CDE绕C旋转至图②位置，连 BE，G为 BE中点，连 AG，DG，试探究AG 与 DG 之间的关系，并证明. （3）如图③，AB=3，连接 BE，AD; G、H分别为 BE、AD中点，在△CDE绕C旋转过程中，请直接 GH取值范围. （2023济南高新二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点． （1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）若把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△FGP的形状，并说明理由； （3）若把△CDE绕点C在平面内自由旋转，AC＝8，CD＝3，请求出△FGP面积的最大值． 题型4、构造中位线 （济南高新二模）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形 BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为 AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 . （济南市中三模） 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为， 将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF． （1）如图1所示，探究AE与CF的数量关系，并说明理由； （2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长； （3）在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM长度的最大和最小值． (济南历城区三模)如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF．点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM． (1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系：__________； (3)若DG＝，AB＝4． ①把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，连接EM，如图3所示，其他条件不变，计算EM的长度； ②若把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周，请直接写出EM的最大值． 【定角定弦】 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： 若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆． 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．如果有一条边长度位置固定，而它所对的角大小固定，则角的顶点轨迹是以这条定边为弦的圆或圆弧。例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆． 当然，∠P度数常常是一些特殊角，比如30°、45°、60°、120°，135°，150°.下分别作对应的轨迹圆． 若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，顶点O即为圆心． 若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，直角顶点O即为圆心． 若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，顶点O即为圆心． 若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，顶点O即为圆心． 若∠P=135°，以AB为斜边，异侧为边构造等腰直角三角形AOB，直角顶点O即为圆心． 若∠P=150°，以AB为底，异侧为边构造等边三角形AOB，顶点O即为圆心． 题型1、直角型 例1、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． 例2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ） A．2－2 B．2 C．3－1 D．2 例3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　 例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________． 例5、如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【模考专练】 （2023山东统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    （2024安徽合肥校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（    ） A． B． C． D． （2024广东深圳九年级校考阶段练习）如图，点是边长为6的正方形边、上的动点，且，交于点P，在点运动的过程中，的最小值为 ．    （2024济南钢城一模）15．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，，点E，F分别是边AD和BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为点G，连接CG，则CG的最小值为 　 　． （济南市中二模）定义：长宽比为：1(n为正整数)的矩形称为矩形.下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示. 操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH. 操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为矩形. (1)证明：四边形ABCD为矩形. (2)点M是边AB上一动点. ①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值. ②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R.若AB＝，求DR的最小值. （2023年天桥二模）如图，是等腰直角三角形，，，点为平面内任意一点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接． 若点为内部任意一点时． 如图，判断线段与的数量关系并给出证明； 如图，连接，当点，，在同一直线上且时，求线段的长； 如图，直线与直线相交于点，当时，延长到点，使得，连接，请直接写出的取值范围． 题型2、锐角型 例6、如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______． （济南市中二模）在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置． （1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ． （2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长． （3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由． （济南历城区一模）如图，已知点，点在轴正半轴上，将绕点顺时针旋转，得到，连接，二次函数的图象过点，，，顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状，并求的值； （3）在第二象限内有一动点，使得，连接，线段是否存在最大值？如果存在，请求出最大值，如果不存在，请说明理由． （2023济南济阳二模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，D是线段上一点，，作射线交抛物线与点E，H是抛物线上一点，连接，若平分，求H点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作垂直于x轴于点F，在直线上存在点M，使得．请直接写出点M的坐标． （2024安徽模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． （2024四川成都校考二模）如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 ． （2025济南钢城一模）15. 如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为______． 题型3、钝角型 例7、如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． （济南历下二模） 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接、，已知点A、C的坐标为、． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段下方抛物线上的一动点，如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点Q的坐标； （3）如图2，若点M是内一动点，且满足，过点M作，垂足为N，设的内心为I，试求的最小值． （2024陕西咸阳模拟预测）如图，在菱形中，，，点P是直线上一动点，点E在直线上，若，则的最小值是 ． （2024四川成都二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 题型4、正切值型 例8、如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标； （3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由． （济南市中三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝-x+3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上。 （1）求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标； （2）若点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标； （3）若点P为坐标平面内一动点，满足tan∠APB=3,请直接写出△PAB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值。 （济南统考二模）已知：抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值． （3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点． ①求的周长及的值； ②点是轴负半轴上的点，且满足为大于0的常数），求点的坐标． （2024济南高新一模前测）26．(本题满分12分)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状并证明你的结论； （3）如图2，点P在抛物线上的第二象限内且满足tan∠PBC＝2，直接写出点P的坐标． （2024济南平阴一模）25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5、相切时取最值 例9、如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________． A D B C E G F 例10、如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    （济南天桥一模）如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P. （1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由． （2）若已知BC=12，DC=5，△DEC绕点C顺时针旋转， ①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长； ②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值． （2023山东东营模拟预测）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点． (1)求证：；(2)若，，把绕点A旋转． ①当时，求的长；②直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值． 【米勒角（最大张角）问题】 【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大? 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即 问题解决 证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大，∴当圆与直线l相切时，∠APB最大 例1、如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝　 　． 例2、在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为 　 例3、辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【模考专练】 （2024章丘二模）25. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值． （3）点为抛物线对称轴上一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． （2024·湖北武汉·二模）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1) 直接写出，的值和点的坐标； (2)如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标；(3)如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冲刺2025年中考之隐圆专题 【定点定长】 前世：圆上的点到圆心的距离都相等。 今生：有一个固定的点，且动点到这个定点的长度是固定的，那么这个动点的轨迹是一个圆（圆的一部分），这个定点为圆的圆心，这个定长为圆的半径，简称“定点定长”。 考点：在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算。 题型1、翻折型 例1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小． 构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为． 例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________． 【解析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2. 例3、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________． 【答案】8 【解析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可． 【模考专练】 （2023济南槐荫一模）如图，线段，在线段上有一点C，当时，以为直角边在上方作等腰，，P为平面内一点，连接，，将和分别沿，翻折得到和，若A、、P恰好共线，则线段的最小值是______． 【详解】解：当P、、D构成三角形时，；当P、B、D在同一直线上时，， ， 故当P、、D在同一直线上时，最小，， 如图，连接交于点O，在上取E，使得，连接、， 由折叠的性质可知，，， 对角线、互相垂直平分， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是的中位线， 是的中点， 是等腰直角三角形， ，， 由勾股定理得：， 由折叠性质可知，，， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：． （2023湖北随州统考中考）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半，∴的面积为， 在中，，∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，，∴ ∵，∴，∴，∴， ∴，在中，，故答案为：，． （2024烟台中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． （2024黑龙江大庆二模）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为 ． 【详解】解：由题意得：， 点在以为圆心，为半径的圆上，作，连接交于点，此时值最小， ，，，解得：， 点是边的中点，；由勾股定理得：， ，，即线段长的最小值是， 连接，过作于，，，， ，，， ，．故答案为：． 题型2、滑梯模型 例4、如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________． 解如图，连接 OP、PC、OC、OP+PC≥OC，OC=5，PC=3，当点 O,P,C三点共线时，OP最短， 如图，OA=OB，∠APB=90°AB=2OP，当 O,P,C三点共线时OC=5，CP=3，OP=5-3=2,，AB=2OP=4， 故答案为：4. （2024广西玉林三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形，∴，∵，点G是的中点，∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，即四边形面积的最小值是142．故选：A． （2024济南章丘一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 　 　． 【解答】解：∵EF＝2，点G为EF的中点， ∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作A关于BC的对称点A′，连接A′D，PA′， ∵PA′+PG+DG≥A′D， ∴当D，G，P，A′共线时，PA+PG＝PA′+PG的值最小， ∵AB＝2，AD＝4， ∴AA′＝4，∴A′D＝4， ∴PA+PG≥A′D﹣DG＝4﹣1； ∴PA+PG的最小值为4﹣1； 故答案为：4﹣1． 题型3、绕定点旋转模型 例5、在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 ．    【思路点拨】根据三角形不等式得到，当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】∵， ∴当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值， ∵, ∴的最小值为2， ∴， ∵矩形，， ∴ ∴ 【模考专练】 (2021长清二模)己知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，3)和点 B(3，n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F． ①请求出点F的坐标； ②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值和最小值． 解析：(1)把A(1,3)代入y＝ 得k=3,   ∴反比例函数的表达式为 把B(3,n)代入得,n=1; (2)①设直线AB的解析式为:y=kx+b 把A(1,3)B(3,1)代入y=kx+b 得 解得 ∴直线AB的解析式为:y=-x+4, 当y=0时,x=4,当x=0时,y=4, ∴点C(4,0),点D(0,4),∴OC=OD=4, △COD是等腰直角三角形, ∴∠ODC=∠OCD=45°, 将△OCD沿直线AB翻折,∴四边形OCED是正方形, ∴DE=CE=4,∴E(4,4), 把x=4代入中得,y=, F(4,) ②∵ B(3,1) ∴OB= ∵ B(3,1) F(4,) ∴BF= OB+BF= ∴当O,B,F共线，F在线段OB延长线上时OF最大，最大值为 OB-BF= ∴当O,B,F共线，F在线段OB上时OF最小，最小值为 （济南高新一模）已知，等边△ABC和等腰△CDE中，CD=DE，∠CDE=120°，CB=CE. （1）如图①，若点 B和点E重合，则 AB 与 BD 之间的数量关系是 ;位置关系是 ; （2）若将如图①的△CDE绕C旋转至图②位置，连 BE，G为 BE中点，连 AG，DG，试探究AG 与 DG 之间的关系，并证明. （3）如图③，AB=3，连接 BE，AD; G、H分别为 BE、AD中点，在△CDE绕C旋转过程中，请直接 GH取值范围. 解析：（1）AB＝BD ，AB⊥BD············································································2分 （2）AG⊥DG，AG＝DG···················································································4分 证明：延长DG于点M，使GM＝GD，连接MB、MA、AD，如图所示： ∵G为BE中点， ∴BG＝EG， 在△BGM和△EGD中，， ∴△BGM≌△EGD（SAS）················································································5分 ∴BM＝ED＝CD·······························································································6分 ∠MBG＝∠DEG， ∵CD＝DE，∠CDE＝120°， ∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣∠CDE）＝（180°﹣120°）＝30°， ∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠BCE）， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC··········································································································7分 ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ABM＝360°﹣∠ABC﹣∠CBE﹣∠MBG＝360°﹣60°﹣（180°﹣∠BCE）﹣∠DEG＝300°﹣90°+∠BCE﹣[（180°﹣∠BCE）+30°]＝90°+∠BCE， ∵∠ACD＝∠ACB+∠DCE+∠BCE＝60°+30°+∠BCE＝90°+∠BCE， ∴∠ABM＝∠ACD， 在△ABM和△ACD中，， ∴△ABM≌△ACD（SAS）···················································································8分 ∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠BAD+∠BAM＝∠DAM＝60°········································9分 ∴△ADM是等边三角形······················································································10分 ∵GM＝GD， ∴AG⊥DG，∠DAG＝∠DAM＝30°， ∴AG＝＝＝＝DG； （3）GH取值范围为：≤GH≤······························································12分 （2023济南高新二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点． （1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）若把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△FGP的形状，并说明理由； （3）若把△CDE绕点C在平面内自由旋转，AC＝8，CD＝3，请求出△FGP面积的最大值． 解：（1）∵如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD＝CE， ∴BC⊥AC，AD＝BE． ∵点F，P分别为AB，BD的中点． ∴PF是△BAD的中位线， ∴PFAD． 同理，PGBE． ∴PF＝PGPF⊥PG． 故答案是：PF＝PG PF⊥PG； （2）△FGP是等腰直角三角形 理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△CAD≌△CBE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE， 利用三角形的中位线得，PG＝BE，PF＝AD， ∴PG＝PF，∴△FGP是等腰三角形，利用三角形的中位线得，PG∥CE， ∴∠DPG＝∠DBE， 利用三角形的中位线得，PF∥AD， ∴∠PFB＝∠DAB， ∵∠DPF＝∠DBA+∠PFB＝∠DBA+∠DAB， ∴∠GPF＝∠DPG+∠DPF＝∠DBE+∠DBA+∠DAB ＝∠ABE+∠DAB＝∠CBA+∠CBE+∠DAB ＝∠CBA+∠CAD+∠DAB＝∠CBA+∠CAB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA+∠CAB＝90°， ∴∠GPF＝90°，∴△FGP是等腰直角三角形； （3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG＝PF＝AD， ∴PG最大时，△FGP面积最大， ∴点D在AC的延长线上， ∴AD＝AC+CD＝11， ∴PG＝． ∴S△PGF最大＝PG2＝＝． 题型4、构造中位线 （济南高新二模）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形 BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为 AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 . 【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴, 如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形， ∴， ∵M是AE的中点，F是EK的中点， ∴MF是△AEK的中位线， ∴， 在△ABK中，， ∴，即， ∴， ∴线段FM的最大值是， 故答案为：． （济南市中三模） 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为， 将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF． （1）如图1所示，探究AE与CF的数量关系，并说明理由； （2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长； （3）在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM长度的最大和最小值． 26.解：(1) 理由：由Rt△ABC中，AC＝BC及正方形BDEF可得 ， ∠ABC＝∠EBF=45°, ∴ ∠ABE=∠CBF ∴ △ABE ∽△CBF ∴ 即 （2） ① 如图1，当点F在A、E之间时， ∵ AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为 ∴ AB=， 又∵∠AFB＝90° ∴ AF=8 ∴ AE=8+ 由（1）知 ， ∴ CF= ② 如图2，当点E在A、F之间时， 同理可得 AF=8 AE= ∴ CF= （3） 【定角定弦】 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： 若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆． 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．如果有一条边长度位置固定，而它所对的角大小固定，则角的顶点轨迹是以这条定边为弦的圆或圆弧。例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆． 当然，∠P度数常常是一些特殊角，比如30°、45°、60°、120°，135°，150°.下分别作对应的轨迹圆． 若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，顶点O即为圆心． 若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，直角顶点O即为圆心． 若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，顶点O即为圆心． 若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，顶点O即为圆心． 若∠P=135°，以AB为斜边，异侧为边构造等腰直角三角形AOB，直角顶点O即为圆心． 若∠P=150°，以AB为底，异侧为边构造等边三角形AOB，顶点O即为圆心． 题型1、直角型 例1、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． 【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧． 当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可． 例2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ） A．2－2 B．2 C．3－1 D．2 【详解】由题意得：BM＝CN， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4， 在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN， ∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的， 连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2， ∴PC＝OC−OP＝2−2； 故选：A． 例3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　 【解析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．答案为 例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________． 【解析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，． 例5、如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【详解】解：如图，连接BO′、BC． ∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°， ∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2， 在Rt△BCO′中，， ∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2， 故选：B． 【模考专练】 （2023山东统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，∴，，∴， 的最小值为，故答案为：． （2024安徽合肥校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，∴，， ∵，∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧）， ∴当点O在线段上时，最大，∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，在中，由勾股定理得， ∴的最大值，故选D． （2024广东深圳九年级校考阶段练习）如图，点是边长为6的正方形边、上的动点，且，交于点P，在点运动的过程中，的最小值为 ．    【详解】∵四边形是正方形，∴， ∵∴，在和中， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 如图，取的中点O，则点P在以O为圆心，为半径的上运动，连接、，则，    在中，，根据三角形的三边关系可得， ∴当O、P、A三点共线时，的长最小，的最小值．故答案为： （2024济南钢城一模）15．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，，点E，F分别是边AD和BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为点G，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 【解答】解：连接BD，交EF于O， ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO， ∵AE＝CF， ∴ED＝BF， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴OD＝OB， ∴O是矩形形的中心， ∵AB＝2，AD＝， ∴BD＝＝4， ∴OB＝2， 取OB中点M，连接 MC，MG，过点M作MH⊥BC于H，则MH∥CD， ∵MB＝BD， ∴， ∴BH＝BC＝，MH＝CD＝， ∴CH＝2﹣＝， 由勾股定理可得MC＝＝， 在Rt△GOB中，M是OB的中点，则MG＝＝1， ∵CG≥CM﹣MG＝﹣1， 当C，M，G三点共线时，CG最小值为﹣1， 故答案为：﹣1． （济南市中二模）定义：长宽比为：1(n为正整数)的矩形称为矩形.下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示. 操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH. 操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为矩形. (1)证明：四边形ABCD为矩形. (2)点M是边AB上一动点. ①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值. ②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R.若AB＝，求DR的最小值. 【详解】(1)证明：设正方形ABEF的边长为a， ∵AE是正方形ABEF的对角线， ∴∠DAG＝45°， 由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°， 则四边形ABCD为矩形， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴AD＝DG＝， ∴AB：AD＝a：＝：1， ∴四边形ABCD为矩形； (2)解：①作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q，如图b所示： ∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°， ∴四边形BQOP是矩形. ∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB. ∴ , ∵O为AC中点， ∴OP＝BC，OQ＝AB， ∵∠MON＝90°， ∴∠QON＝∠POM， ∴Rt△QON∽Rt△POM， ∴, ∴tan∠OMN＝＝； ②如图c所示： ∵四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝， ∴BC＝AD＝1， ∵BR⊥CM， ∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I， ∴CI＝BC＝， ∴DR最小＝﹣＝﹣＝﹣＝1. （2023年天桥二模）如图，是等腰直角三角形，，，点为平面内任意一点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接． 若点为内部任意一点时． 如图，判断线段与的数量关系并给出证明； 如图，连接，当点，，在同一直线上且时，求线段的长； 如图，直线与直线相交于点，当时，延长到点，使得，连接，请直接写出的取值范围． 解：，理由如下：、 将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ，， ， 又， ≌， ； 是等腰直角三角形，，， ， ≌， ，， ， ， ， ， ，， ； ≌， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，过点作于， 当点在线段上时，有最大值，点在线段上时，有最小值， 是等腰直角三角形，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为，的最小值为， ．  题型2、锐角型 例6、如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______． 【答案】## 【详解】∵，∴，如图，作的外接圆，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于， 当M与重合时，AM取得最小值．过点O作于点H， ∵∴，∴，， 过点O作于点G，∴，，AG=6-2=4， ∴，则．故答案为：． （济南市中二模） 在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置． （1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ． （2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长． （3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由． 【详解】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’ 又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形 ∴. 故答案为. (2)如图2中，作于，如下图所示： 是等边三角形， ， ， ，且△DBH为等腰直角三角形， . . 故答案为：. 的长有最大值为，理由如下，如下图3中， 取的中点，以为圆心，为半径作，连接． ， ∴ 点的运动轨迹是以H为圆心，HA为半径的圆，当CD是该圆的直径时CD最大, 故时， 的值最大，此时. 故答案为. （济南历城区一模）如图，已知点，点在轴正半轴上，将绕点顺时针旋转，得到，连接，二次函数的图象过点，，，顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状，并求的值； （3）在第二象限内有一动点，使得，连接，线段是否存在最大值？如果存在，请求出最大值，如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）当时，， ， 绕点顺时针旋转，得到， ， ， 将，代入， ， 解得， ； （2）， ， ，，， ， 是直角三角形，， ； （3），，， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 以为直径作圆，是圆上一点，且，连接、，过点作轴交于，过点作轴交于， ， ，， ， ， ，， 设， ， ， ， ，， 以为圆心，为半径作圆，点在上，此时， ， 的最大值为． （2023济南济阳二模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，D是线段上一点，，作射线交抛物线与点E，H是抛物线上一点，连接，若平分，求H点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作垂直于x轴于点F，在直线上存在点M，使得．请直接写出点M的坐标． 【小问1详解】 把代入得， ，解得： ∴； 【小问2详解】 令得，， ∴， 过点D作轴于点G， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 过点D作，且，连接并延长交抛物线于点H，点H即为所求 过点D作x轴的平行线，交y轴于点P，过点作于Q ∵， ∴ ∴ 又∵，∴ ∴，∴， ∴， 设直线为，把点代入得，， ∴， ∴， 与抛物线联立得，解得：，（舍） ∴； 【小问3详解】 解方程组， 得（舍去），， ∴， 设，以为对角线作正方形，则，如图， 当M在上时，， 即， 解得（舍去），， 当M在上时，， 即， 解得（舍去），， ∴或 （2024安徽·模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解法1：在中，， ∴，， ，∴，又，， ， ，，当取最大值时，取最大值． ，，四点共圆，最大值为直径长． ，∴是直径，的最大值为，的最大值为． 解法2：同解法1得，作的外接圆，连接，过圆心作，垂足为点． ，．， ．当为的直径时，取得最大值为．故选：A （2024四川成都校考二模）如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【详解】①如图，以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使 则 以O为圆心，以CO长为半径画优弧，连接BO交于点E 则当点D在AC右侧时，点D在上运动 过点O作于F 过点O作于M 四边形MCFO为矩形 在中， 当点D于点E不重合时， 当点D于点E重合时， 当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最小值为 ②如图，以AC为底边，在AC的左侧作等腰三角形AC，使则 以为圆心，以C长为半径画优弧，连接B并延长交于点E 则当点D在AC左侧时，点D在上运动 过点O作于F 同①可求 在中， 当点D于点E不重合时， 当点D于点E重合时， 当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最大值为 故答案为：， （2025济南钢城一模）15. 如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为______． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， 的最小值是， 故答案为：． 题型3、钝角型 例7、如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． 【详解】解：是等边三角形，，， 在和中，，，， ，， 如图，过点，点，点作，连接，，点在上运动 ，，，， ，，， ，，垂直平分，， ，，，， 在中，，当点在上时，有最小值， 的最小值，故答案为： （济南历下二模） 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接、，已知点A、C的坐标为、． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段下方抛物线上的一动点，如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点Q的坐标； （3）如图2，若点M是内一动点，且满足，过点M作，垂足为N，设的内心为I，试求的最小值． 【详解】（1）由题意得：A点坐标为，C点坐标为带入中 得：， 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）∵点Q在x轴上，又点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形 ∴，由对称性可知，P点的坐标为 ∴，∴． ∴Q的坐标为或． （3）连接，， ∵I为的内心 ∴、分别平分， ∴ 又∵，∴ ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴I的运动轨迹是圆弧． 设I运动轨迹所在的圆心为G ∵，∴ 又∵， ∴圆心G的坐标为，半径为 当G、I、C三点共线时候最短 ∵， ∴的最小值为 综上所述：的最小值为 （2024陕西咸阳模拟预测）如图，在菱形中，，，点P是直线上一动点，点E在直线上，若，则的最小值是 ． 【详解】解：连接，作的外接圆，连接，，，，         ∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 在任取一点，连接，，∵是的外接圆，∴， ∴点在上运动，，∴， ∵，∴，∴， ∴由勾股定理得：， ∵∴，即，∴的最小值为，故答案为：． （2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 【详解】解：如图，四边形是菱形，，，是等边三角形， ，， 在和中，，， ，， ，点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，． ，，垂直平分线段， ，，，， ，， 当与相切时，的值最大，此时．故答案为：， 题型4、正切值型 例8、如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标； （3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交点为A， ∴点A的坐标为（﹣3，0）， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣1， ∴点C的坐标为（1，0）， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C， ∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1， ∴点D的坐标为（﹣1，0）， ①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）； ②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB． 过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD． 于是＝＝＝， ∴PG＝3GD． 即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t）， 解得 t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）． 当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3， 所以此时点P的坐标为（﹣2，3）． 综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）； （3）存在，CQ的最小值为﹣， 如图，取点F（﹣1，1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，）为圆心． ∵tan∠AFD＝2， ∴圆弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点． 连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值， 此时CE＝＝，⊙E半径为， ∴CQ最小值为﹣ （济南市中三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝-x+3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上。 （1）求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标； （2）若点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标； （3）若点P为坐标平面内一动点，满足tan∠APB=3,请直接写出△PAB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值。 解：（1）由直线y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3， ∴ A（0，3） 令y＝0，则x＝3， ∴ B（3，0） 将A（0，3） 和B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中， 得 ∴ ∴ y＝x2﹣4x+3 ∴ 对称轴为直线x=2 , 顶点D（2，-1） （2）如图1，∵ A（0，3），B（3，0），D（2，﹣1） ∴ AB2＝18，AD2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，BD2＝2， ∴ AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°， ∵ 点E在抛物线对称轴右侧的抛物线上，∴ 点F在点D的上方， 设点E（m，m2﹣4m+3） 其中m＞2， ∵ EF∥x轴， ∴EF＝m﹣2， ∠DFE＝90°＝∠ABD， ∵ D（2，﹣1） ∴ DF＝m2﹣4m+3+1＝m2﹣4m+4， ∵ 以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似， 1 若，则 ， 得 m＝5， ∴ E（5，8）， ② 若，则，得 m＝， ∴ E（，﹣）， 综上所述，点E为（5，8）或（，﹣） （3） P（-1,-1） （济南统考二模）已知：抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值． （3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点． ①求的周长及的值； ②点是轴负半轴上的点，且满足为大于0的常数），求点的坐标． 【详解】（1）抛物线经过，，， 设，将代入，得， 解得：， ， 抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交直线于点， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，，； （3）①如图2，过点作于点，则， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， ， ， 的周长； 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②解法1：如图3，设，则， 过点作轴，过点作交于点， 过点作轴于点，过点作轴交于，交于， 则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：， 或． 解法2：如图4，设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 整理得，， ，， ，即， 当△，即时， ， 或． 解法3：如图5，取线段的中点，作，使，且点在轴下方， ， 连接，，以为圆心，为半径作，交轴于点， 则， ，，， △△， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 或． （2024济南高新一模前测）26．(本题满分12分)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状并证明你的结论； （3）如图2，点P在抛物线上的第二象限内且满足tan∠PBC＝2，直接写出点P的坐标． 【小问1详解】 解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； ， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 是直角三角形，理由如下： 当时， ，． 当时，， ，， ，，． ，，， ． 是直角三角形． 【小问3详解】 如图，连接并延长，交的延长线于点， ，， 由（2）知是直角三角形， ， ， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设的坐标为， ， 解得：(不合题意，舍去)或， 的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， 点的坐标为 （2024济南平阴一模）25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0）， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4； （2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线， ∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长， ∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小， ∵A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点， 设直线BC的解析式为：y＝mx+n， 则：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 当 时，， ∴， ∵A（1，0），C（0，4）， ∴PA＝＝，PC＝＝， ∴； （3）存在， ∵D为OC的中点， ∴D（0，2）， ∴OD＝2， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， 在Rt△BOD中，， ， ∴∠QDB＝∠OBD； ①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2， 设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：， ∴Q（，2）或（，2）； ②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E， 则：DE＝BE， 设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2， ∴p2+4＝（4﹣p）2， 解得：， ∴， 设DE的解析式为：y＝kx+q， 则：， 解得：， ∴， 联立， 解得：或， ∴Q（3，﹣2）或； 综上所述， 或（，2）或Q（3，﹣2）或 题型5、相切时取最值 例9、如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________． A D B C E G F 【答案】 提示：∵BG⊥AE，∴点G在以AB为直径的一段圆弧上 A D B C E G F O 显然当CG与圆弧相切时AF最大 设圆心为O，连接OF、OG、OC 则OG⊥CF，AF＝FG，OG＝ AB＝3，CG＝BC＝8，∠FOC＝90° OG 2＝CG·FG，3 2＝8FG，AF＝FG＝ ，即AF的最大值为 例10、如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【思路点拨】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， （济南天桥一模）如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P. （1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由． （2）若已知BC=12，DC=5，△DEC绕点C顺时针旋转， ①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长； ②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值． 【详解】解：（1）BE=AD，BE与AD互相垂直； 证明：∵等腰△ABC，等腰Rt△DEC， ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE， ∴BE=AD，∠CAD=∠CBE， ∵∠CAD+∠APB=∠CBE+∠ACB=∠AOB， ∴∠APB=∠ACB=90°，即BE与AD互相垂直. （2）①∵AB=BC=12，DC=EC=5， ∴AE=AC-EC=12-5=7， Rt△BCE中，BE=， 由（1）同理可知∠APB=∠ACB=90°，∠CAD=∠CBE， ∴△APE∽△BCE， ∴，即，解得AP=. ②由∠APB=90°可知点P在以AB为直径的圆的一段弧上，且当BP与以CE为半径⊙C相切时，点P在其运动路径所在弧的两个端点处，P到AB的距离最小，此时△PAB的面积S最小。如图1、2，易知四边形PDCE是边长为5的正方形. ∴ BE=AD=，BP=BE+PE=，AP=AD-PD=， ∴S（最小值）=×AP×BP=， 当点P与点C重合时，P到AB的距离最大，此时△PAB的面积S最大，如图3 S（最大值）=×AC×BC=×12×12=72. （2023山东东营模拟预测）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点． (1)求证：；(2)若，，把绕点A旋转． ①当时，求的长；②直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值． 【详解】（1）证明：∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，， ∴，∵，∴， ∴，∴； （2）解：①如图所示，当点在上时，同理可证明，∴， 又∵，∴， 在中，由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，∴ ，∴； 如图所示，当点E在延长线上时，同理可证明， 在中，，∴； 综上所述，的长为或； ②如图3-1所示，∵，∴， ∵，∴， ∴，即，∴，∴， ∴当最小时，最小，当最大时，最大； ∵不管怎么旋转，的长度始终为1，∴点E在以A为圆心，半径为1的圆心上运动， ∴如图3-2所示，当与相切于点E时，最小，即此时最小，∴， 在中，；∵， ∴四边形是矩形，∴，∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理； 如图3-3所示，当与相切于点E时，最大，即此时最大， 同理可得，，∴， 在中，由勾股定理； 综上所述，的最小值为，的最大值为． 【米勒角（最大张角）问题】 【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大? 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即 问题解决 证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大，∴当圆与直线l相切时，∠APB最大 例1、如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝　 　． 【答案】 解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动， ∵∠DOM＝2∠DPM， ∴当∠DOM最大时，∠DPM最大， 当⊙O与BC相切时，∠DOM最大， ∵M是CD的中点，CD＝4，∴CM＝DM＝2， 连接OP，则OP⊥BC， ∵∠C＝90°，ON⊥CD， ∴四边形OPCN是矩形，∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM， 在Rt△MON中，由勾股定理得， ON＝＝＝， 即PC＝， ∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2，故答案为： 例2、在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为 　 解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：y＝﹣x+3上， ∠MPN为弦MN所对应的圆周角， ∴当圆的半径最小时有∠MPN最大， ∵P在x轴上运动， ∴当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MPN最大． 设此时P点坐标为：（p，0）， 则圆心Q的坐标为（p，﹣p+3）， ∵MQ＝PQ， ∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2， 解得：p＝1或p＝﹣6（舍）， ∴P点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）． 例3、辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图①中，即为所求． （2）如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ，，，的最小值为， ，的最小值为． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，易知，， ， ， 四边形的面积的最大值． 【模考专练】 （2024章丘二模）25. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值． （3）点为抛物线对称轴上一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴把、代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于， ∵抛物线的解析式为，与轴交于、两点， ∴令，则， 解得∶（为点横坐标），， ∴，， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限抛物线上的一点， ∴设点（）， ∵，交于， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴把代入得：， 整理得：， ∴点的横坐标， ∴点的横坐标点的横坐标， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴与面积的比值的最大值为； 【小问3详解】 解：如图，作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵， ∴， ∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为； 如图，作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵， ∴， ∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为； 综上所述，当最大时，点的坐标为或． （2024·湖北武汉·二模）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1) 直接写出，的值和点的坐标； (2)如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标；(3)如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标 【详解】（1）∵抛物线交轴于点，，与轴交于点， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：； ∵二次函数的对称轴：，∴，∴，∴点． （2）作轴于点，∵点，点∴， ∵，，∴，∴， ∴，设，则，∴点， ∵点在二次函数，∴，解得：（舍），，∴． （3）∵抛物线平移到顶点在原点的位置，∴现抛物线解析式为：， 设点，，直线的解析式为：， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，∴， ∵，∴，，∴，∴， ∴，∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，在直线上，∴，整理得：， ∴，∴，∴，解得：， ∴直线的解析式为：，∴直线过点， ∵，∴为直角三角形，斜边，∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当时，最大，∴，，， 过点作轴交于点，设点，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，，∴此时点的坐标为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$