第12章 定义 命题 证明（单元复习 4个知识点+9类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第12章 定义 命题 证明 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 要点提醒： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 【知识点2】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【知识点3】三角形的内角和定理与外角定理 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2.三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 3.三角形的外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 4.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【知识点4】多边形的内角和定理与外角和定理 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 03 题型归纳 题型一　命题的判定与逆命题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 题型二　利用平行线的性质求角的度数 例题：(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期中)图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为 巩固训练 1．已知两个三角板按如图方式摆放，其中，点与点重合，则的度数是 ． 2．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 3．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 题型三　根据平行线的性质与判定综合问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型四　与平行线有关的三角形内角和问题 例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ． 题型五　与角平分线有关的三角形内角和问题 例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分，过点作．若，，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，平分，于点． (1)求的度数． (2)求的度数． 题型六　三角形的外角的定义及性质 例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线，，，则 度． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    题型七　多边形内角和问题 例题：（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ． 题型八　多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型九　多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 巩固训练 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 定义 命题 证明 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 要点提醒： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 【知识点2】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【知识点3】三角形的内角和定理与外角定理 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2.三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 3.三角形的外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 4.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【知识点4】多边形的内角和定理与外角和定理 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 03 题型归纳 题型一　命题的判定与逆命题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【知识点】判断命题真假、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线的性质对命题进行判断即可确定答案． 【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题， 故答案为：假． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【知识点】平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 题型二　利用平行线的性质求角的度数 例题：(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期中)图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为 【答案】 【来源】甘肃省兰州市第三十五中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 巩固训练 1．已知两个三角板按如图方式摆放，其中，点与点重合，则的度数是 ． 【答案】/15度 【来源】下学期期中综合测试卷 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】 【来源】2024-2025学年下学期期中综合测试卷 【分析】本题主要考查垂线的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；过点B作，由题意易得，，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．(24-25七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 【答案】30 【来源】黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年 七年级上学期 期中考试数学试题 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 题型三　根据平行线的性质与判定综合问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） 又， ， （内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ； 故答案为：，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）结合（1）可得，，从而可求的度数． 本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再结合得出，即可得证； （2）由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）解：， 平分，平分 ， ， ， ． 题型四　与平行线有关的三角形内角和问题 例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ． 【答案】/28度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理．根据垂直的定义得出，即可判断①，根据角平分线的性质得出，根据，得出，即可判断，得出②正确；根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，即可判断③，根据三角形内角和定理可得，再根据，得到，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的说法有①②③． 故答案为：①②③． 3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 综上：边恰好与边平行，t的值为或 故答案为：10.5或28.5 题型五　与角平分线有关的三角形内角和问题 例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分，过点作．若，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，角平分线的相关求解，先根据两直线平行同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，根据角平分线以及三角形内角和即可得出结果． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求得，从而可求，再根据三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ． 【答案】132 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线和三角形的内角和定理，推出，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：、分别平分、， ， 、分别平分三角形的两个外角、 ， ∴； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，平分，于点． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟知三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质． （1）由三角形内角和定理可求得的度数， 是角平分线，故； （2）在中，可求得的度数，于是． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：， ， ， ， ． 题型六　三角形的外角的定义及性质 例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则 【答案】50 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可解题． 【详解】解：由三角形的外角性质得：， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线，，，则 度． 【答案】46 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等，外角等于不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：，， ，即 故答案为：46． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．利用角平分线的定义结合三角形外角的性质，可得，由，利用三角形内角和定理可得，即可得到，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ，即， , 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    【答案】/110度 【分析】本题考查的是平行线的性质和外角和定理，对顶角角度相等，根据题意可知三角板的为，，再根据外角和定理及同位角和对顶角定理，即可得到答案． 【详解】解：∵角的直角三角板，， ∴， 又∵，根据平行线同位角相等得：， ∵与为对顶角， ∴， 故答案为：．    题型七　多边形内角和问题 例题：（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和进行计算可求八边形的内角和， 【详解】解：内角和：． 故答案为： 巩固训练 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 【答案】18 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， ∴． 故答案为：18． 2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解一元一次方程，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键． 【详解】解：由题知，正边形的内角和为，正边形的外角和为， 又∵正边形的内角和与外角和的差为， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型八　多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 【详解】解：由多边形的外角和定理可得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和，任意多边形的外角和均为，延长交于点，可得据此即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵任意多边形的外角和均为， 且的和为， ∴ 即： ∴ 故选：D 题型九　多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 巩固训练 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    【答案】（1），；（2）；；（3）；（4） 【分析】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）∵是三角形的外角， ∴， ∵是三角形的外角， ∴． 故答案为：，． （2）∵，， ∴， 故答案为：；． （3）∵，， ∴； （4）如图，连接并延长，    根据三角形外角性质可得： ， 同理可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$