第08讲 分布列及数字特征（七大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第08讲 分布列及数字特征 一、随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 二、离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 三、均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 重难点01 离散型随机变量 【解题必备】 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 例1．甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 例2．下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪练习】 练习1．下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．（多选）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 练习3．为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为. (1)中包含的样本点数目是多少? (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 练习4．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用表示需要比赛的局数，写出所有可能的取值，并写出表示的试验结果． 重难点02 求离散型随机变量的分布列 【解题必备】 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 例3．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则 ． 例4．一袋中装有6个大小与质地相同的白球，编号为1、2、3、4、5、6，从该袋内随机取出3个球，记被取出球的最大号码数为写出随机变量的分布. 【跟踪练习】 练习1．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为，则的概率为 ． 练习2．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的概率分布. 练习3．2024年7月26日至8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，中国体育健儿们在赛场上奋力拼搏，取得骄人战绩．为了弘扬“更快、更高、更强、更团结”的奥运精神，以及中国运动员们展现的“和谐、包容、坚忍不拔”——中国传统文化的精髓，某校举办奥运知识竞赛．比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学首先从“奥运会历史”板块中随机抽取2题依次回答，然后从“中国历届奥运成绩”板块中随机抽取2题依次回答，至少答对3题者获得奖品一份．已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运成绩”板块中每题的概率为0.8，且回答每题相互独立． (1)记为甲答对题数，求的分布列； (2)已知甲获得一份奖品，求甲4题全部答对的概率． 练习4．夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 重难点03 分布列的性质 【解题必备】 分布列性质的两个作用：（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；（2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 例5．离散型随机变量的分布列为为常数，则 . 例6．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【跟踪练习】 练习1．（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 练习2．若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 练习3．从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记分，取出黄球记零分． (1)以表示所得分数，求X的概率分布； (2)求得分时的概率． 练习4．有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如下两表： 投资股市的盈亏情况表 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金的盈亏情况表 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p q (1)当时，求q的值； (2)已知甲、乙两人都选择了“投资股市”进行投资，求一年后他们中恰有一人亏损的概率； (3)已知丙、丁两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，设一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围． 重难点04 随机变量的均值 【解题必备】 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式 例7．某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（    ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A．-0.1 B．0 C．0.1 D．0.2 例8．为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． (1)求问题被回答正确的概率； (2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 【跟踪练习】 练习1．一个不透明的口袋中装有个红球，个黑球（，），小球除颜色外其余均相同．现从中任意取出一个球后，再换一个另一种颜色的球（非红即黑）放入口袋中．记换球完毕后口袋中红球的个数为，当时，＝ ，＝ ． 练习2．某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组                          频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，记，求的分布列及期望． 练习3．一种每张售价20元的即开型体彩，俗称“刮刮卡”，每1000张中，奖金的金额（单位：元）及张数如下表： 奖金 20 40 60 80 100 200 500 1000 张数 100 50 20 15 10 5 2 1 (1)小明花20元钱买了一张，刮开后有奖的概率是多少？ (2)这种体彩一年的销量约为10亿张，平均每张印制、发行及销售环节的成本0.1元，体彩发行公司一年约可募集到多少亿元用于发展体育事业？ 练习4．某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 27 36 20 7 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x(单位：瓶)的分布列； （2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n(单位：瓶)应满足什么条件? 重难点05 随机变量的方差 【解题必备】 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）方差公式 例9．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 例10．某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 m 0.3 0.1 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 练习2．（多选）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（    ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 练习3．设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记，分别是的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 练习4．北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过免费，超过的部分每小时收费标准为40元（不足的部分按计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过离开的概率分别为，；以上且不超过离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值、方差． 重难点06 均值、方差的性质 【解题必备】 对于型的随机变量,则有， 例11．已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望是 . 0 1 2 a 例12．某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 【跟踪练习】 练习1．已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 练习2．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列： 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是 元． 练习3．已知随机变量的分布列为 0 1 若，则： (1)求的值； (2)若，求的值． 练习4．随着相关科技成果不断落地，人工智能技术与实体经济加速融合，助推传统产业转型升级，某公司利用人工智能技术推动产业转型升级，三个产业转型升级的指标值是随机变量，的可能取值为0，1，x，且，，． (1)求x和的值； (2)若，求和的值 重难点07 决策问题 【解题必备】 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 例13．某学生在解答数学考试题中有两种方案：方案一，按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目的信心，提高后面答题正确率的；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的.为了科学地决策，他采用了一个特例模型：在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表： 题号 1 2 3 4 5 6 概率 0.95 0.9 0.85 0.8 0.5 0.2 分值 5 5 5 5 12 14 (1)在方案一中，求他答对第2题的概率； (2)在方案一中，求他答对第3题的概率； (3)请你帮助他作出科学的决策. 例14．某单位的5名职工中有1人携带乙肝病毒，想通过验血的方法进行检查.现有两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定病毒携带者为止. 方案乙：先任取3人的血样混合再化验.若混合血样呈阳性，说明病毒携带者为这3人中的1人，就需要再逐个化验，直到确定出病毒携带者为止；若混合血样呈阴性，则在另外2人中任选1人化验. (1)写出方案乙所需化验次数的分布列，并求出数学期望； (2)求方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率. 【跟踪练习】 练习1．某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为的小球个数比为，且盒中2号球的个数为4. (1)求取到异号球的概率； (2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如下表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序.（猜对谜语的概率相互独立） 球号 1号球 3号球 答对概率 0.8 0.5 奖金 200 500 练习2．在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 练习3．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，有多个选项符合题目要求，由于正确选项有4个的概率极低，可视作0，因此我们可以认为多项选择题至少有2个正确选项，至多有3个正确选项.多项选择题题目要求：“在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分. (1)已知某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少1个选项，至多3个选项，且每种选择是等可能的.请根据已知材料，分析该生可能的得分情况与所得分值的相应概率，并求该生得分的期望 (2)已知某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率相等，一考生只能判断出A 选项是正确的，其他选项均不能判断正误，试列举出该生所有可能的符合实际的答题方案，并以各方案得分的期望作为判断依据，帮该考生选出最优方案. 练习4．某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场. (1)若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率; (2)现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第08讲 分布列及数字特征 一、随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 二、两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 三、离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 四、均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 重难点01 离散型随机变量 【解题必备】 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 例1．甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 例2．下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的， 故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举， 故它不是离散型随机变量． 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C 练习2．（多选）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【答案】BC 【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误. 故选：BC. 练习3．为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为. (1)中包含的样本点数目是多少? (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 【答案】(1) (2)对样本空间中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中的任意一个. 【详解】（1）根据样本点概念，知道中包含的样本点数目是. （2）对样本空间中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中的任意一个. 练习4．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用表示需要比赛的局数，写出所有可能的取值，并写出表示的试验结果． 【答案】答案见解析 【详解】根据题意可知的可能取值为4，5，6，7． 表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局； 表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出； 表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出； 表示在前6局中两人打平，最后一局有1人胜出． 重难点02 求离散型随机变量的分布列 【解题必备】 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 例3．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则 ． 【答案】 【详解】设二级品有个，则一级品有个，三级品有个，总数为，则随机变量的分布列为： 1 2 3 ． 故答案为： 例4．一袋中装有6个大小与质地相同的白球，编号为1、2、3、4、5、6，从该袋内随机取出3个球，记被取出球的最大号码数为写出随机变量的分布. 【答案】分布列见解析 【详解】解：由题意，随机变量可能的取值为， 可得， ， 所以随机变量的分布列为： 3 4 5 6 【跟踪练习】 练习1．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为，则的概率为 ． 【答案】/0.95 【详解】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是． 方法一  ，，， 所以． 方法二  ． 故答案为：. 练习2．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的概率分布. 【答案】答案见解析 【详解】 根据古典概型概率公式，写出随机变量对应的概率，即可求解分布列. 由题意知X的可能取值为1，2，3，4. ，，， 故其概率分布为 X 1 2 3 4 P 练习3．2024年7月26日至8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，中国体育健儿们在赛场上奋力拼搏，取得骄人战绩．为了弘扬“更快、更高、更强、更团结”的奥运精神，以及中国运动员们展现的“和谐、包容、坚忍不拔”——中国传统文化的精髓，某校举办奥运知识竞赛．比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学首先从“奥运会历史”板块中随机抽取2题依次回答，然后从“中国历届奥运成绩”板块中随机抽取2题依次回答，至少答对3题者获得奖品一份．已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运成绩”板块中每题的概率为0.8，且回答每题相互独立． (1)记为甲答对题数，求的分布列； (2)已知甲获得一份奖品，求甲4题全部答对的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，4， ； ； ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）记“甲获得奥运礼品”为事件，“甲4题全部答对”为事件， 则． 所以已知甲获得奥运礼品，甲4题全部答对的概率为． 练习4．夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）因两局比赛后盒中恰有3个新球，两局第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球. 两次取球总情况数为，第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球的情况数为， 则相应概率为： . （2）三局比赛后盒中新球的个数可能为1，2，3，4. 三局比赛取球包含种情况， 当三局比赛后剩1个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩2个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取新球，第二次取旧球，第三次取新球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩3个新球时，那么第一次取新球，第二次取旧球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩4个新球时，那么第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取旧球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； ； ； ； ； 则分布列如下： 1 2 3 4 重难点03 分布列的性质 【解题必备】 分布列性质的两个作用：（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；（2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 例5．离散型随机变量的分布列为为常数，则 . 【答案】 【详解】， 因为， 所以，解得. 故答案为： 例6．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确； 选项B，，故该选项正确； 选项C，，故该选项正确； 选项D，，故该选项错误. 故选：ABC. 练习2．若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列， 则，即，则. 故选：D 练习3．从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记分，取出黄球记零分． (1)以表示所得分数，求X的概率分布； (2)求得分时的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2). 【详解】（1）解：依题意，当取到2个白球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量； 当取到2个黄球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量； 当取到2个黑球时，随机变量， 所以随机变量的可能取值为－2，－1，0，1，2，4， 可得，，， ，，， 所以的概率分布为 0 1 2 4 （2）解：由（1）得， 所以得分时的概率为. 练习4．有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如下两表： 投资股市的盈亏情况表 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金的盈亏情况表 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p q (1)当时，求q的值； (2)已知甲、乙两人都选择了“投资股市”进行投资，求一年后他们中恰有一人亏损的概率； (3)已知丙、丁两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，设一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵购买基金后，投资结果只有获利、不赔不赚、亏损三种，且三种投资结果相互独立， ∴， 又因为， 所以； （2）记事件A表示一年后他们中恰有一人亏损， 根据二项分布概率公式，有； （3）记事件B为一年后丙、丁两人中至少有一人投资获利，它的对立事件为都没盈利， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即p的取值范围为． 重难点04 随机变量的均值 【解题必备】 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式 例7．某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（    ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A．-0.1 B．0 C．0.1 D．0.2 【答案】B 【详解】由题意得，， 解得， 故. 故选：B 例8．为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． (1)求问题被回答正确的概率； (2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)． (2)分布列见解析，． 【详解】（1）设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件， 由题意可知：， 由全概率公式可得 所以问题被回答正确的概率为． （2）由题意可知：的可能取值有：，，，则有： ， ， ， 所以的分布列为 期望． 【跟踪练习】 练习1．一个不透明的口袋中装有个红球，个黑球（，），小球除颜色外其余均相同．现从中任意取出一个球后，再换一个另一种颜色的球（非红即黑）放入口袋中．记换球完毕后口袋中红球的个数为，当时，＝ ，＝ ． 【答案】 3 3 【详解】由题得，换球完毕后口袋中红球的个数的可能取值为，， 则，， 则有， 即， 则， 因为，，则为整数， 当＝3时，＝3；当＝4时， ＝0（舍）；当＝6，＝－3（舍）， 故＝3，＝3． 故答案为：3；3. 练习2．某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组                          频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，记，求的分布列及期望． 【答案】(1)65 (2)分布列见解析，期望为1 【详解】（1），， 故样本的中位数落在内， 又，故中位数为； （2）和的人数比为， 分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， 故这6人中随机抽取3人，的可能取值为3,2,1，对应的的取值为， 所以的可能取值为， ，，， 故分布列为 3 1 -1 期望为. 练习3．一种每张售价20元的即开型体彩，俗称“刮刮卡”，每1000张中，奖金的金额（单位：元）及张数如下表： 奖金 20 40 60 80 100 200 500 1000 张数 100 50 20 15 10 5 2 1 (1)小明花20元钱买了一张，刮开后有奖的概率是多少？ (2)这种体彩一年的销量约为10亿张，平均每张印制、发行及销售环节的成本0.1元，体彩发行公司一年约可募集到多少亿元用于发展体育事业？ 【答案】(1)0.203； (2)95亿元. 【详解】（1）由数表知，1000张“刮刮卡”中，有奖金的张数是， 所以小明花20元钱买了一张，刮开后有奖的概率是. （2）购买一张“刮刮卡”中奖奖金的平均值为： （元）， 而一张“刮刮卡”的成本为0.1元，因此销售一张“刮刮卡”可募集（元）， 于是销售10亿张可募集（亿元）， 所以体彩发行公司一年约可募集到95亿元用于发展体育事业. 练习4．某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 27 36 20 7 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x(单位：瓶)的分布列； （2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n(单位：瓶)应满足什么条件? 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【详解】（1）依题意，可得随机变量X的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知 ， 因此分布列为 200 300 500 0.3 0.4 0.3 （2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑， 当时， ， 令，即，解得． 当时， 令，即，解得    ， 因为，所以， 综上可得. 重难点05 随机变量的方差 【解题必备】 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）方差公式 例9．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 例10．某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【答案】(1) (2)期望为；方差为 【详解】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，，所以， 又，所以． （2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，     所以，， ，，     所以，     ． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 m 0.3 0.1 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由随机变量分布列的性质，知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD． 练习2．（多选）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（    ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 【答案】BC 【详解】A：，，错误； B：， ，正确； C：因为，所以总期望元，正确； D：设投资甲元，投资乙元， 方差和， 对称轴，错误. 故选：BC 练习3．设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记，分别是的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 【答案】A 【详解】， ， ， ， 所以只需比较与的大小， 因为， 所以 ，① 因为， 所以，，，，，， 所以①， 所以， 故选：A. 练习4．北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过免费，超过的部分每小时收费标准为40元（不足的部分按计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过离开的概率分别为，；以上且不超过离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值、方差． 【答案】分布列见解析，； 【详解】甲、乙两人以上且不超过离开的概率分别为，． 的所有可能取值为0，40，80，120，160， 则， ， ， ， ． 所以的分布列为 0 40 80 120 160 ． . 重难点06 均值、方差的性质 【解题必备】 对于型的随机变量,则有， 例11．已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望是 . 0 1 2 a 【答案】 【详解】依题意，解得， 所以，又， 所以. 故答案为： 例12．某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析；，； (2)，. 【详解】（1）依题意，的所有可能值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望， 方差. （2）依题意，每次抽奖的收益， 所以期望, 方差. 【跟踪练习】 练习1．已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 【答案】 【详解】依题意，解得， 所以， 所以，则. 故答案为： 练习2．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列： 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是 元． 【答案】690 【详解】若进这种鲜花500束，利润应为． 因为（束）， 所以（元）． 故答案为：. 练习3．已知随机变量的分布列为 0 1 若，则： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由分布列的性质，得，解得． ． ． （2）因为，所以，所以 练习4．随着相关科技成果不断落地，人工智能技术与实体经济加速融合，助推传统产业转型升级，某公司利用人工智能技术推动产业转型升级，三个产业转型升级的指标值是随机变量，的可能取值为0，1，x，且，，． (1)求x和的值； (2)若，求和的值 【答案】(1)x＝2， (2)，. 【详解】（1）设，则， 得， 又， 解得x＝2． 所以． （2）因为， 所以， ． 重难点07 决策问题 【解题必备】 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 例13．某学生在解答数学考试题中有两种方案：方案一，按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目的信心，提高后面答题正确率的；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的.为了科学地决策，他采用了一个特例模型：在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表： 题号 1 2 3 4 5 6 概率 0.95 0.9 0.85 0.8 0.5 0.2 分值 5 5 5 5 12 14 (1)在方案一中，求他答对第2题的概率； (2)在方案一中，求他答对第3题的概率； (3)请你帮助他作出科学的决策. 【答案】(1)0.972 (2) (3)他应该采用方案一答题，才是科学的. 【详解】（1）若第1题答对，则他答对第2题的概率为． 若第1题受挫，则他答对第2题的概率为. 他答对第2题的概率为． （2）若第2题答对，则他答对第3题的概率为. 若第2题受挫，则他答对第3题的概率为． 他答对第3题的概率为． （3）在方案一中，他答对第4题的概率为， 他答对第5题的概率为， 他答对第6题的概率为， 则他在方案一中答对各题概率分布如下： 题号 1 2 3 4 5 6 概率 0.95 0.972 0.92548 0.856154 0.521231 0.181698 他得分的数学期望是 . 在方案二中，他答对第6题的概率为， 他答对第1题的概率为， 他答对第2题的概率为， 他答对第3题的概率为， 他答对第4题的概率为， 则他在方案二中答对各题的概率分布如下： 题号 5 6 1 2 3 4 概率 0.5 0.18 0.7334 0.894024 0.898968 0.84767 他得分的数学期望是 ． 因为 所以他应该采用方案一答题，才是科学的. 例14．某单位的5名职工中有1人携带乙肝病毒，想通过验血的方法进行检查.现有两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定病毒携带者为止. 方案乙：先任取3人的血样混合再化验.若混合血样呈阳性，说明病毒携带者为这3人中的1人，就需要再逐个化验，直到确定出病毒携带者为止；若混合血样呈阴性，则在另外2人中任选1人化验. (1)写出方案乙所需化验次数的分布列，并求出数学期望； (2)求方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2) 【详解】（1）设方案乙所需化验次数为， 若，有两种可能： 先验三人结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中，此时概率为； 先验三人结果为阴性，再从其它两人中任选1人化验（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），此时概率为， 所以. 若，只有一种可能：先验三人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次没有验中，则. 所以的分布列为 2 3 数学期望为 （2）设方案甲所需化验次数为，则， 其中，，， 的分布列为 1 2 3 4 甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为 【跟踪练习】 练习1．某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为的小球个数比为，且盒中2号球的个数为4. (1)求取到异号球的概率； (2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如下表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序.（猜对谜语的概率相互独立） 球号 1号球 3号球 答对概率 0.8 0.5 奖金 200 500 【答案】(1) (2)推荐甲先回答1号球中的谜语再回答3号球中的谜语 【详解】（1）由题意可得号球的个数分别为， 则取到异号球的概率. （2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语， 因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，200 元，700元， 则， ， 所以的分布列为： 0 200 700 0.2 0.4 0.4 所以； 若甲先回答3号球再回答1号球， 因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，500元，700元， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 500 700 0.5 0.1 0.4 所以， 因为， 所以推荐甲先回答1号球中的谜语再回答3号球中的谜语. 练习2．在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【答案】(1) (2)选择停止比赛，拿到奖金的期望更高 【详解】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜， 所以甲在第3局中获胜的概率； （2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）． 方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前三局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率．     再继续比赛，第4局甲获胜的概率 ， 第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（万元）． 因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高． 【点睛】思路点睛：解决决策性问题的关键是比较衡量指标的大小关系，所以根据题意准确求出衡量指标是根本，其基本的解题步骤如下：（1）准确定位，即确定事件的性质，这是准确建立模型、求解概率的基础；（2）建立目标，根据概率知识求出衡量指标的目标式，如果没有特殊要求，则需要求出数学期望与方差两个方面的指标值；（3）比较大小，比较衡量指标的大小，一般采用作差法或作商法比较大小，如果没有特殊要求，则需要先比较变量取值的平均水平——数学期望，若两者相同，则进一步比较变量取值的离散集中程度——方差；（4）做出决策，根据衡量指标值的大小，做出相应的决策． 练习3．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，有多个选项符合题目要求，由于正确选项有4个的概率极低，可视作0，因此我们可以认为多项选择题至少有2个正确选项，至多有3个正确选项.多项选择题题目要求：“在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分. (1)已知某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少1个选项，至多3个选项，且每种选择是等可能的.请根据已知材料，分析该生可能的得分情况与所得分值的相应概率，并求该生得分的期望 (2)已知某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率相等，一考生只能判断出A 选项是正确的，其他选项均不能判断正误，试列举出该生所有可能的符合实际的答题方案，并以各方案得分的期望作为判断依据，帮该考生选出最优方案. 【答案】(1)答案见解析，期望； (2)选择方案①，只选择A选项. 【详解】（1）由题意，该考生的所有选择结果，共14个样本点. 该生所有可能的得分情况为0分、3分、6分. 设事件“该考生得0分”，含11个样本点，事件“该考生得3分”，含2个样本点，事件“该考生得6分”，含1个样本点， 则，，，从而得分期望. （2）通过已知信息，从合理性角度看，该生必选A. 根据其他选项的选取情况分析，有下三种答题方案： ①选择A选项，且不再选其他选项； ②选择A选项的同时随机选择一个其他选项； ③选择A选项的同时随机选择两个其他选项； 设三个不同方案的得分分别为X，Y， 对于①，X的所有可能取值为2、3， 且，， 则； 对于②，Y的所有可能取值为0、4、6， ，，， 则. 对于③，Z的所有可能取值为0、6， ，， 则. 综上，，所以该考生选择方案①，只选择A选项 . 练习4．某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场. (1)若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率; (2)现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案. 【答案】(1) (2)当 且 时，选方案一; 当 且 时，选方案二 【详解】（1）记“质检员检测出一件次品”为事件 ， “该产品仅有一个电子元件是次品”为 . ， ， 所以 . （2）设一件产品中所含电子元件为次品的个数为 ， 则 可取，，，， 所以， ， ， ， 则 的分布列为 0 1 2 3 所以 . 若选方案一， 则企业每月支出质检员工资共元. 若选方案二， 则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计 . 若  ，则 . 所以当且 时，选方案一; 当 且 时，选方案二. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$