第8章 整式乘法与因式分解（单元复习课件）数学新教材沪科版七年级下册

大单元期考整合复习 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第8章 整式乘法与因式分解 单项式与单项式相乘 幂的运算 整式乘法 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 因式分解 乘法公式 特殊 知识结构 1. 幂的运算性质： （1）am · an = ________（m，n 都是正整数）； （2）(am)n = ________（m，n 都是正整数）； （3）(ab)n = ________（n 是正整数）； （4）am÷an = ________（a ≠ 0，m，n 都是正整数）. am + n amn anbn am － n 知识梳理 2. 乘法公式： （1）(a ± b)2 = ________________； （2）(a + b)(a－b) = _________. a2 ± 2ab + b2 a2 － b2 3. 在 am÷an = am－n（a ≠ 0，m，n 都是正整数）中， 当 m = n 时，约定 a0 = _____；当 m < n 时，如 m－n = －p（p 是正整数），则约定 a－p = _____. 4. 因式分解最基本方法是___________和_________. 1 提公因式法 公式法 考点1 两个概念 概念1 零次幂与负整数次幂 1.若，则 应满足的条件是________. 2.计算： _ _. 概念2 因式分解 3.[2024眉山] 分解因式： _______________. 6 考点2 两个运算 运算1 幂的运算法则及其逆用 4.已知,，求 的值. 【解】 . 运算2 整式乘法运算 5.[2024安庆期末] 计算： . 【解】 . 7 考点3 两个公式 公式1 完全平方公式 6.（1）[2024常州] 先化简，再求值： ， 其中 ； 【解】 ， 当时，原式 . 8 （2）已知， ，求下列各式的值： ；； . 【解】① ② . ③ . 9 公式2 平方差公式 7. 下列运算正确的是( ) C A. B. C. D. 10 8.利用因式分解进行计算： （1） ； 【解】原式 . 11 （2） . 【解】原式 . 12 考点4 两个应用 应用1 应用因式分解解整除问题 9.对于任意自然数, 是否能被20整除？ 【解】 . 因为为自然数，所以 能被20整除. 13 应用2 应用因式分解比较大小 10.若，为任意实数，试比较 与 的大小. 【解】因为, ,所以 . 因为,所以.所以 . 14 考点5 四个技巧 技巧1 巧用乘法公式计算 11. 已知,满足 ， ，求 的值. 【解】因为 ， 所以.所以 . 因为 ， 所以.所以 . 所以 . 15 技巧2 分组后用提公因式法 12.分解因式： . 【解】原式 . 技巧3 拆项后用公式法 13.阅读下面的材料： 将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、 分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法，即将一个多 项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的 方法.如： . 16 请你仿照以上方法分解因式： （1） ； 【解】 . （2） . . 17 技巧4 换元法 14.分解因式： . 【解】令 ,则原式 . 将 代入上式，则原式 18 考点6 三种思想 思想1 整体思想 15.（1）已知,求 的值； 【解】因为,所以 . 所以 . （2）已知,,求 的值. 因为, , 所以 . 19 思想2 方程思想 16. 若，则 的值是( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 思想3 分类讨论思想 17.阅读材料： 的任何次幂都等于1； 的奇次幂都等于 ； 的偶次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1. 试根据以上材料探索使等式成立的 的值. 20 【解】当时， ，此时 ，符合题意；当 时, ，此时指数 为奇数，不符合题意， 故舍去；当时， ，且 ，所以符合题意.综上所述，的值为 或 . 21 复习题A组 1. 填空： （1）(－3abc)(－8abd ) =_____________； （2）(－2m2n3)3 =_____________； （3）(－ ab)(－10a + 5b) =_____________； 24a2b2cd －8m6b9 2a2b － ab2 课本复习题 （4）2x(x2 － x + 4) =_____________； 2x3 － x2 + 8x （5）(x + 1)(x + 3) =_____________. x2 + 4x + 3 2. 计算： （1）(2a －1 )(a － 4)－(a + 3)(a－1)； （2）t2 －(t + 1)(t－5)； 解（1）(2a －1 )(a － 4)－(a + 3)(a－1) = (2a2 －8a －a + 4)－(a2 －a + 3a－3) = a2 －11a + 7 2. 计算： （1）(2a －1 )(a － 4)－(a + 3)(a－1)； （2）t2 －(t + 1)(t－5)； （2）t2 －(t + 1)(t－5) = t2 －(t2 －5t + t－5) = 4t + 5 （3）(x + 1)(x2 + x + 1) ； （4）(2x + 3)(x2－x + 1) . （3）(x + 1)(x2 + x + 1) = x3 + x2 + x + x2 + x + 1 = x3 + 2x2 + 2x + 1 （4）(2x + 3)(x2－x + 1) = 2x3－2x2 + 2x + 3x2－3x + 3 = 2x3 + x2 －x + 3 3. 计算： （1）( x－y)2 + ( x + y)2 ； ( x－y)2 + ( x + y)2 = ( x2－ xy + y2) + ( x2 + xy + y2) = x2 + 2y2 3. 计算： （2）(x + 2y－ )(x －2y + ) . (x + 2y－ )(x －2y + ) = [x + (2y－ )][(x －(2y － )] = x2 － (2y－ )2 = x2 － 4y2 + 2y － 4. 先化简，再求值： （1）2x(x2 － x + 1)－x(2x2 + 2x －3) ，其中 x = － ； 2x(x2 － x + 1)－x(2x2 + 2x －3) = (2x3 － 2x2 + 2x)－(2x3 + 2x2 －3x) = －4x2 + 5x （2）(2x － y)(2x + y)－(2x－ y)2，其中 x = ，y =－1. (2x － y)(2x + y)－(2x－ y)2 = (4x2 － y2)－(4x2－2xy + y2) = － y2 +2xy （2）(2x － y)(2x + y)－(2x－ y)2，其中 x = ，y =－1. 5. 解方程（组）： （1）3x(x + 2) + (x + 1)(x－1) = 4(x2 + 8)； 解 3x(x + 2) + (x + 1)(x－1) = 4(x2 + 8) 3x2 + 6x + x2 －1 = 4x2 + 32 6x = 33 x = （2） x(y － 5) － y(x－2) = 12， 2x(6y － 1) + 4y(2－2x) = 4(xy + 3) . 解 x(y － 5) － y(x－2) = 12 xy － 5x － xy + 2y = 12 － 5x + 2y = 12 ① （2） x(y － 5) － y(x－2) = 12， 2x(6y － 1) + 4y(2－2x) = 4(xy + 3) . 2x(6y － 1) + 4y(2－2x) = 4(xy + 3) 12xy － 2x + 8y－8xy = 4xy + 12 － 2x + 8y = 12 －x + 4y = 6 ② （2） x(y － 5) － y(x－2) = 12， 2x(6y － 1) + 4y(2－2x) = 4(xy + 3) . － 5x + 2y = 12 ① －x + 4y = 6 ② ②×5－① 18y = 18 y = 1 将 y = 1 代入②中，x = －2. x = －2 y = 1 6. 求不等式 (3x + 4)(3x－4) > 9(x－2)(x + 3) 的正整数解. 解 (3x + 4)(3x－4) > 9(x－2)(x + 3) 9x2 －16 > 9(x2 + 3x－2x － 6) 9x2 －16 > 9x2 + 27x－18x － 54 38 > 9x x < 正整数解：1，2，3，4. 7. 下图是一个机器零件的截面，写出它的面积表达式， 并计算当 a = 10 cm 时的面积. a a 2a 2a 2a 1.5a 2.5a 解：S = 8a · 4a－2×2a · 2.5a = 22a2（cm2） 当a = 10 cm时， S = 22×102 = 2200（cm2） 8. 如图，有一长方形空地，其长为 a，宽为 b，现要在该空地种 植两条防风带（图中蓝色部分），其中斜向防风带为平行四边 形，横向防风带为长方形，用代数式表示剩余空地的面积. a c c b 解：S = ab－ac－cb + c2 9. 填空： （1）9a4b2 －______= (3a2b + 5c)(3a2b －_____)； （2） m2 + mn + ______= ( m + ______)2 . 25c2 5c 10. 把下列各式分解因式： （1）x2 + 6ax + 9a2 ； （2）(x－2a)2－a(2a－x) . 解（1）x2 + 6ax + 9a2 = x2 + 6ax + (3a)2 = (x + 3a)2 （2）(x－2a)2－a(2a－x) = (2a－x)2－a(2a－x) = (2a－x)(2a－x－a) = (2a－x)(a－x) 11. 如果二次三项式 4x2 + mx + 36 是一个完全平方式， 求 m 的值. 解: 4x2 + mx + 36 = (2x)2 + mx + (±6)2 = (2x ± 6)2 所以 m = 2×2× (±6) =±24 复习题B组 1. 填空： （1）已知 (2x－a)2 = b + 4x2－12x，则 a = _____， b = ______； （2）如果 x2 + ax－6 可分解为 (x + b)(x + 2)， 则 a = _____，b = ______； 3 9 －1 －3 （3）如果 x2－ax + 15 在整数范围内可分解因式， 则整数 a = ___________； x2－ax + 15 = (x ± 1)(x ± 15) = x2±16x + 15 x2－ax + 15 = (x ± 3)(x ± 5) = x2±8x + 15 ±8 或 ±16 （4）如果 am = 6，an = 3，那么 am+n = _________， am－n = ________； （5）已知 (x + y)2 = 7，(x－y)2 = 5，则 x2 + y2 = _________，xy = ________； （6）20242－2023×2025 = ________. 18 2 6 1 2. 为参加“爱我校园”摄影比赛，小明同学将参与植树活动的照片放大为长 a cm、宽 a cm 的长方形，又在四周加上宽为 2 cm 的相框. 请用代数式表示这幅摄影作品（带相框）的面积. 解： 所以这幅摄影作品(带相框)的面积为 3. 比较 2100 与 375 的大小. 2100 = 24×25 = 1625 375 = 33×25 = 2725 因为 2725 > 1625 ， 所以 375 > 2100 . 解： 4. 已知 x + y = 3，xy = 1，求 x2 + y2 的值 . 解: (x + y)2 = 9 x2 + 2xy + y2 = 9 x2 + 2 + y2 = 9 x2 + y2 = 7 5. 观察下列关于自然数的等式： 32－4×12 = 5， ① 52－4×22 = 9， ② 72－4×32 = 13， ③ …… 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第 4 个等式：92－4×_____2 = ______； 4 17 （2）写成你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示）， 并说明其正确性. 32－4×12 = 5， ① 52－4×22 = 9， ② 72－4×32 = 13， ③ …… (2n + 1)2－4×n2 = 4n + 1 复习题C组 1. 分解因式： （1） x 4－8； 解:（1） x 4－8 = (x 4－16) = (x 2 + 4)(x 2－4) = (x 2 + 4)(x + 2)(x－2) （2）x4 + 7x2－8. （2）x4 + 7x2－8 = (x2 － 1)(x2 + 8) = (x + 1)(x － 1)(x2 + 8) 2. 分解因式： （1）a4－a3 + a2－a； （2）4a2－9b2 + c2－4ac； 解:（1）a4－a3 + a2－a = a3(a－1) + a(a－1) = (a－1)(a3 + a) = a(a－1)(a2 + 1) （2）4a2－9b2 + c2－4ac = 4a2 －4ac + c2 －9b2 = (2a－ c)2 －9b2 = (2a－c + 3b)(2a－c－3b) （3）(ax + by)2 + (bx－ay)2 . (ax + by)2 + (bx－ay)2 = a2x2 + b2y2 + 2abxy + b2x2 + a2y2－2abxy = a2x2 + b2y2 + b2x2 + a2y2 = (a2 + b2)x2 + (a2 + b2)y2 = (a2 + b2)(x2 + y2) 3. 试说明 (n + 7)2－(n－5)2（n 是整数）能被 24 整除. (n + 7)2－(n－5)2 = [(n + 7) + (n－5)][(n + 7)－(n－5)] = (2n + 2)×12 = 24(n + 1) 24(n + 1)÷24 = (n + 1) 解: 4. （1）计算： (a－1)(a + 1) =____________； (a－1)(a2 + a + 1) =____________； (a－1)(a3 + a2 + a + 1) =____________； a2－1 a3－1 a4－1 （2）由此，猜想：(a－1)(a99 + a98 + a97 + … + a2 + a + 1) =____________； a100－1 （3）请你利用上式的结论，求 2199 + 2198 + … + 22 + 2 + 1 的值. (2－1)(2199 + 2198 + … + 22 + 2 + 1) = 2200－1 5. 已知：A = 987 654 321 × 123 456 789，B = 987 654 322 × 123 456 788，试比较 A 与 B 的大小. A = 987 654 321 × 123 456 789 = 987 654 321 × (123 456 788 + 1) = 987 654 321 × 123 456 788 + 987 654 321 B = 987 654 322× 123 456 788 = (987 654 321 + 1)× 123 456 788 = 987 654 321× 123 456 788 + 123 456 788 A > B 解: 整合1：幂的运算 1.[2024·合肥三模] 下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 2.计算： . 解：原式 ． 期考整合练 58 3.已知，， . (1)求 的值； 解：因为， ， 所以 . (2)求 的值. 因为， ， 所以 ． 59 整合2：科学记数法 4. 生物的遗传信息大多储存在 分子上， 分子是由重复的核苷酸单元组成的长聚合物，每个核苷 酸单体长度约为，数“ ”用 科学记数法可表示为( ) A A. B. C. D. 60 5.小数用科学记数法表示为 ，则原 数中小数点后“0”的个数为( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 61 整合3：整式乘法 6.下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 7.计算： ___________. 62 8.计算： (1) ； 解：原式 ． (2) . 解：原式 ． 63 整合4：乘法公式(完全平方公式、平方差公式) 9.[2024·淮北期末] 下列各式能用平方差公式计算的是( ) D A. B. C. D. 10.[2024·合肥期中] 已知：， ，则 ____. 49 64 11.［立德树人·数学文化］请看杨辉三角(如图①)，并观察等 式(如图②). 根据前面各式的规律，可得 ___________________ _____________________________________. 65 12.计算： . 解：原式 . 13.试说明 的值 和 无关. 解：因为原式 , 所以原式的值和 无关. 66 整合5：因式分解 14.[2024·阜阳模拟] 下列因式分解正确的是( ) C A. B. C. D. 15.[2024·宿州期末] 已知， ，则 的值为( ) B A. B.6 C. D.5 67 16.把下列各式分解因式： (1) ； 解：原式 . (2) ； 解：原式 . 68 (3) ; 解：原式 . (4) . 解：原式 . 69 整合6：数学思想 17.［整体思想］若, ,则 的值为____. 12 18.［方程思想］已知与 的乘积中不 含和的项，求， 的值. 解：根据题意，得 . 因为 与的乘积中不含和 的项， 所以，，解得， ． 70 19.［数形结合思想］如图①是一个长为、宽为 的长方形, 沿图中虚线平均分成四个小长方形,然后用四个小长方形拼成 一个“回字形”正方形(如图②). 71 (1)图②中的阴影部分的面积为_________； (2)观察图②,请你写出，， 之间的等量关 系：_________________________； (3)根据(2)中的结论,若，，则 ____； (4)实际上有许多等式可以用图形的面积来表示.如图③,它表 示的等式为___________________________________； 25 72 (5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示 . 解：如答图(画法不唯一). 73 整合7：聚焦安徽中考 20.[2023·安徽中考] 下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 74 21.[2024·安徽中考] 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为 ，均为自然数 ”的问题. (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下 为正整数 奇数 4的倍数 表示结果 表示结果 … … 一般结论 __ 75 按上表规律，解答下列问题： ①( )( ) ； ② ___________________； 7 5 (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， ，这些形如 为正整数的正整数不能表示为 ，均为自然数 .师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中， 均为自然数.分下列三种 情形分析： 76 ①若，均为偶数，设，，其中， 均为自然数，则 为4的倍数.而不是4的倍数，矛盾.故， 不可能均为偶数. ②若，均为奇数，设， ，其中，均为自然数，则 ____________________为4的倍数.而 不是4的倍数，矛盾.故， 不可能均为奇数. ③若，一个是奇数一个是偶数，则 为奇数.而是偶数，矛盾.故， 不可能一个是奇数一个是偶数.由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. 77 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$