专题15 最值模型之将军饮马模型、将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题15 最值模型之将军饮马模型、将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 9 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 13 模型4.最值模型之将军遛马模型 16 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 19 23 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    【答案】10 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图，   四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 例2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，，，平分，M，N分别是和上的动点，则的最小值为 ．    【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线段最短等等，在上截取，连接，易证明，得到，则，故当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接，    ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长， ∴此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 例3．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、将军饮马最值问题、面积问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题． （1）把、两点坐标代入二次函数，解方程组即可解决； （2）利用轴对称找到点，用勾股定理即可解决； （3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，，， 、关于抛物线的对称轴为直线对称， ， 当、、共线时，最小， 连接与对称轴的交点就是点， 此时， 的最小值为； （3）解：设点坐标， 令，， 解得：或1， 点坐标， ， ， ， ， 或， 或或或， 点的坐标为或或或． 例5．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    【答案】（1）10；（2）；（3）4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图2（详解），由正方形的性质可知点和点关于对称，连接,由题目中的几何模型可知是的最小值，由题可知,,根据勾股定理可求出即可； （2）如图3（详解），先作出点关于对称点,连接,,由几何模型可知是的最小值，因为点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，所以可得，根据勾股定理求出即可； （3）由题意和对称性可知,要求最小值，就是求出的最小值即可，根据垂线段最短过点作,是两线段之和最小值；因为，，根据解直接三角形即可得到答案. 【详解】（1）连接 在正方形中， ,， 又 ∴, 在中 ， 故的最小值为10.    （2）作出点关于对称点，连接,, ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点， ∴， 在中 ， 即的最小值．      （3）连接,过点作. ∵的平分线交BC于点D， ∴， 即要求最小值，就是求出的最小值，根据垂直段最短，是的最小值，即也是的最小值. 在中 ，， ∴， 即的最小值4.    【点睛】本题主要考查了将军饮马模型，勾股定理，解直接三角形，垂直段最短等知识点，解决此题的关键是合理的理由题目中的几何模型（将军饮马模型）. 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ．即的最大值为． 例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，由正方形的性质求出的长，继而可得，，再证明，可得，，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案． 【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，    根据轴对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“”， ∵在正方形中，，，∴，∵O为中点，∴， ∵N为中点，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：2． 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点， ∴当时，∴点的坐标是，当时，则，∴， 设抛物线与轴的另外一个交点为M，∴∴对称轴；则 过点M作轴，且， ∵轴，线段CD在对称轴上，∴ ∵∴四边形是平行四边形∴ 连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接 ∵对称轴，线段CD在对称轴上， ∴∴ 此时四边形周长有最小值 即 ∵∴则则 ∴四边形周长的最小值为故答案为： 模型4.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了建桥选址问题，利用平移，将两条线段和转化为折线段的长是解题的关键． 连接交于，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示，连接交于，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 即的最小值为． 故选：D． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，，，，， 作点关于直线的对称点，，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：． 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）； (3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3． 【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3）， 又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-， 　　 ∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3， 即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去）， 当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）； （3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3， ∴M′N=，  ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是，则的最小值为（   ） A．5 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是确定当点三点共线时，的值最小，即的值最小是解题的关键． 如图所示，连接，当点三点共线时，的值最小，即的值最小，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为8， 故选：B ． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是（    ） A．3.5 B．4.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接、、、、、、，推出、、共线，结合，得出当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为，再由勾股定理结合等面积法得出的长即可得解． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接、、、、、、， ， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴、、共线， ∵， ∴当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为， 在中，，，，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的周长的最小值是， 故选：C． 3．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】由题意得，三棱锥每个面都是等边三角形，将三棱锥中含有的三个面（即）展开如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接交于点，得到的最小值为，由等边三角形的性质，特殊角的三角函数的计算，勾股定理得到，，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，三棱锥每个面都是等边三角形，将三棱锥中含有的三个面（即）展开如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接交于点， ∴的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：． 【点睛】本题属于求多条线段和的最值问题，等边三角形的性质，轴对称求最短路径，特殊角的三角函数值的计算，勾股定理的运用，解此类题的基本思路是将所求的多条线段转化到同一直线上或同一平面图形内求解，解本题的关键是将含有所求四条线段的三个面展开再求解，对空间想象力有一定的要求． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，根据勾股定理得到，，根据平行线的性质得出，再利用勾股定理得出，求出，证明，得到，由此，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长，证是等边三角形，，利用勾股定理求出． 【详解】解：作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，作，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，C为线段的中点，为线段上的一点，P为线段上的一动点，的最小值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点C′的坐标，利用勾股定理即可求得最小值． 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，准确得到一次函数与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小， 令中，则， ∴点的坐标为， 令中，则，解得， ∴点的坐标为， ∵为线段上的一点， 令中，则，解得， ∴点， 点为线段的中点， ∴点， ∵取点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为，， ∴最小值． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． ∵ ∴此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，，则所求的最小值即为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，， ∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，中，，，，点O为内一点，连结． ①边的长为 ． ②的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】①由含30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出；②将绕B点顺时针旋转60度，得到，证明是等边三角形，推出，当O，C，E，D四点共线时，等号成立，由此可解． 【详解】解：①中，，，， ， ， 故答案为：； ②如图，将绕B点顺时针旋转60度，得到， 由旋转知，，，，， ，， 是等边三角形， ， ，当O，C，E，D四点共线时，等号成立， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是通过旋转构造等边． 三、解答题 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【知识点】一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段垂直平分线的性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为P点，又由，可得的周长的最小值为． 【详解】（1）（1）将代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线对称， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值， 当时，， ∴，且 ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴，当时，， ∴． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 最值模型之将军饮马模型、将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 9 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 13 模型4.最值模型之将军遛马模型 16 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 19 23 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    例2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，，，平分，M，N分别是和上的动点，则的最小值为 ．    例3．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 例5．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 模型4.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是，则的最小值为（   ） A．5 B．8 C．12 D．24 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是（    ） A．3.5 B．4.5 C．4.8 D．6 3．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（   ） A． B． C． D．3 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，C为线段的中点，为线段上的一点，P为线段上的一动点，的最小值为 ． 6．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为 ． 7．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 8．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，中，，，，点O为内一点，连结． ①边的长为 ． ②的最小值为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$