专题14 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题14 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之半角模型 1 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 10 18 模型1.相似三角形模型之半角模型 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值． 例2．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 一、解答题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形中，点在边上，，，对角线平分．过点作，，分别交直线于点，． (1)补全图形； (2)探究线段，的数量关系并证明你的结论； (3)在的条件下，连接，若，，求的长． 2．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （）获得猜想 观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想： 过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）． 对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补； （）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆． 证明：假设过点，，，不能作一个圆． 如图，过，，三点作，点不在圆上． 若点在外， 与交于点，连接，则 ______． ， 而是的外角， ______出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过，，三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 如图，四边形中，对角线，交于点，，平分． 若，求的度数． 若，，求线段的长． 3．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下： (1)如图1，条件不变．求证： ①； ②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 4．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】 （1）如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ； 【探究】 如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （2）求证：； （3）若，，则四边形的面积为 ． 5．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点． (1)如图1，连接，求证：，并写出的值； (2)，如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当为边的三等分点时，求的长度． 6．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)阅读与理解： 如图，四边形内接于，点为弧的中点．求证：四边形是等补四边形． (2)探究与运用： ①聪明的小明在图中连接对角线，得图，并发现了等补四边形中，当时对角线的一个结论，如果你也发现了，请直接写出与的数量关系． ②如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 8．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之半角模型 1 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 10 18 模型1.相似三角形模型之半角模型 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值． 【答案】【探究一】见解析 【探究二】见解析 【探究三】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】【探究一】根据旋转的性质证明，即可得证； 【探究二】根据正方形的性质和全等的性质证明，在结合公共角，可证； 【探究三】先根据正方形对角线性质及可证得，得出，，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上，得出，根据全等的性质得出，进而可得，由此可证，最后根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【探究一】证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【探究二】证明：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【探究三】∵、是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 例2．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，见解析 (2)①4；② 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由旋转知，，从而得，则由“直等补”四边形定义即可求解； （2）①过C作于点F，由四边形是“直等补”四边形，得四边形是矩形，；再证明，得；设，则，在中由勾股定理建立方程求得x的值，从而求得； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．则的周长的值最小；再证明，由对应边成比例求得，从而由勾股定理求得，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得：， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为“直等补”四边形； （2）解：①过C作于点F，如图1， 则； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， 解得，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H． 则， ∵， ∴， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，证明三角形全等与相似是解题的关键． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 【答案】【问题解决】见解析；【拓展探究】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】[问题解决]先证明，得到，进而得到，根据两直线平行同旁内角互补，得到； [拓展探究]延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【详解】[问题解决] 证明：，， ． ， ． ． ． ． [拓展探究] 延长到G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等是解题的关键． 一、解答题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形中，点在边上，，，对角线平分．过点作，，分别交直线于点，． (1)补全图形； (2)探究线段，的数量关系并证明你的结论； (3)在的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)． 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题 【分析】根据题干的要求补充图形即可； 取中点，连接，根据同角的补角相等可证，根据等边对等角可证，根据角平分线的定义可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，根据等角对等边可证，从而可证； 过点作于点，过点作于点，设，则，利用勾股定理可得，解方程可求，，根据、可证，根据相似三角形对应边成比例可求． 【详解】（1）解：补充图形，如下图所示， （2）解：， 理由如下： 如下图所示，取中点，连接， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， ， ，， ，， 设，则， 中，， 中，， ， ， ， 解得：， ，， 设，则，，， ， ， 由知，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质找边之间的关系． 2．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （）获得猜想 观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想： 过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）． 对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补； （）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆． 证明：假设过点，，，不能作一个圆． 如图，过，，三点作，点不在圆上． 若点在外， 与交于点，连接，则 ______． ， 而是的外角， ______出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过，，三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 如图，四边形中，对角线，交于点，，平分． 若，求的度数． 若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【知识点】圆周角定理、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度 【分析】（）菱形、矩形、等腰梯形、直角三角形的性质即可求解； （）假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，进而由补角性质可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证； （）①由得四点共圆， 即可得，再根据圆周角定理即可求解；②证明得，据此解答即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆， 故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外， 设与交于点，连接，则， ， ， 而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况， 故答案为：，； （）解：①∵ ， ∴四点共圆， ∵平分，， ∴， ∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 3．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下： (1)如图1，条件不变．求证： ①； ②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出； ②延长，过点A作，交的延长线于点G，证明，得出，证明，得出，，根据三角形的面积得出得出，根据，，得出，即可证明结论； （2）方法一：延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，根据等腰直角三角形性质证明，，，证明，得出，，求出，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 方法二：过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接，易得四边形、、为矩形，则，再证明四边形为正方形，得出，，进而得出点E、B、F三点共圆，且点G为圆心，则，根据勾股定理可得，，等量代换得到，，即可推出． 【详解】（1）证明：①连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵A，B，E，Q四个点在同一个圆上， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵A，P，F，D四个点在同一个圆上，， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长，过点A作，交的延长线于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：方法一： ．理由如下： 延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ， 即． 方法二： 过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴四边形、、为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴点E、B、F三点共圆，且点G为圆心， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角是三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】 （1）如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ； 【探究】 如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （2）求证：； （3）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）276． 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据题意得到，，即得； （2）由圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，即可解答； （3）先证明，得到，的值，再根据即可解答． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 则， ∴． （3） ∵，，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：276． 【点睛】本题考查了圆内接四边形．熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 5．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点． (1)如图1，连接，求证：，并写出的值； (2)，如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当为边的三等分点时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由题意得，，结合可推出 ，即可求证； （2）作于，可得；根据可推出，进而得，结合即可求解； （3）分类讨论当时，当时，两种情况，利用平行线分线段成比例即可求解； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ，， ， 又， ， ； （2）解：如图2，作于， 则， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时， 四边形是正方形， ∴ ， ， ，则， ， ∵ ， ， ， 当时， ， ， ，则， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线分线段成比例等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 6．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)阅读与理解： 如图，四边形内接于，点为弧的中点．求证：四边形是等补四边形． (2)探究与运用： ①聪明的小明在图中连接对角线，得图，并发现了等补四边形中，当时对角线的一个结论，如果你也发现了，请直接写出与的数量关系． ②如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（1）由圆内接四边形互补可知，再根据弧相等得，根据等补四边形的定义即可得证； （2）①根据弧相等可得圆周角相等即可得出结论； ②连接，先证，推出，再证明，利用相似三角形对应边的比相等可求的长； 【详解】（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴，， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）解：①，理由如下： ∵四边形是等补四边形，， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵四边形是等补四边形，， ∴， 又∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 由①知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）． ∴的长为． 【点睛】本题考查了新定义—等补四边形，圆的有关性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确理解新定义． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1），由旋转性质可知，再证明，可得，由此证明结论； （2）延长到G，使得，连接，证明，得到，，，．过点F作，交的延长线于点N，得到，． 证明，结合正切函数证明即可解题． （3）模仿（2），延长到G，使得，连接，过点F作，交的延长线于点N，构造，再证明，可得，再延长交于点K，结合，证明，列出比例式计算即可． 【详解】（1）∵绕点A顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， （2）①延长到G，使得，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （3）延长到G，使得，连接 ∴， ∵矩形ABCD中，，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴，． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴．， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交于点K， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 整理，得， 解方程，得（不合题意舍去）， 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了四边形与全等三角形、相似三角形的综合，解题关键是通过旋转构造全等三角形或相似三角形，转化线段关系． 8．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键． （1）证明，，即可证明结论； （2）在上截取，连接，作，得到，证明，，证明，得到，则，作于W，设，则，得到，得到，解方程即可； （3）在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，证明是等边三角形，，，则，得到，同理（2）可得， ，则，作于V，则，得到，则，，得到，，得到，进一步即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 在上截取，连接，作， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于W，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴，， 同理（2）可得， ， ∴， 作于V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$