信息必刷卷04（湖北省卷专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（湖北省卷专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合：第14题物理与数学相结合，用一次函数解决问题。2.动态几何与分类讨论：第9题通过旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形等知识．体现数形结合的思想．3.代数与几何综合：第20题反比例函数与勾股定理等几何相结合课程知识间的融合；第24题二次函数综合一次函数，相似三角形的判定与性质，参数构建方程，体现知识的深度融合． 中考·新考法：1.常规考点创新设问： 第15题结合直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，并作出合适的辅助线，突破对知识考察的单一性． 第23题综合等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，并添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，体现知识的深度结合和系统性．又如第20题，第21题，第24题等。 中考·新情境：1.开放性与探究问题；第23题通过由浅入深设置问题；犹如第24题层层深入设置问题；又如第10题，第21题等。2.实时性与生活化情景：第18题以某数学小组的测量数据为背景融合解锐角三角形的实际应用；第19题以实际情景为背景考察统计图和扇形统计图的综合运用，及样本估计总体．3.数学畅通文化：如第7题引入《九章算经》的题目，彰显我国古代的数学成就，体现文化自信。 命题·大预测：1，跨学科整合；2.彰显我国传统数学文化；3，生活情景，科学情景，实时情景在数学中的应用；4.数学的实际应用。第9题，15题，第20题，第21题，第22题为中档题；第10题，第23题和第24题中的一些小题为压轴题。压轴题注重数学知识的综合应用，注重逻辑推理能力，注重深度思考。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．当出现相反意义的量时，可以用正数和负数表示．如：微信账单收入100元记作，则支出10元应记作（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的正六棱柱，其主视图是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 6．下列各事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛一枚硬币，正面朝上 B．早上出门，在第一个路口遇到红灯 C．在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为360° D．5本书分放在4个抽屉，至少一个抽屉内有2本书 7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E，若∠C＝72°，则∠DOE的度数是（　　）    A．30° B．35° C．36° D．40° 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt的顶点O在原点上，，，，将绕原点O顺时针旋转90°，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 12．现有4张相同的卡片，正面分别写有中国二十四节气中的“春分”、“谷雨”、“小满”、“夏至”，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽到“春分”、“夏至”的概率是 ． 13．计算： ． 14．小华发现弹簧的长度是所悬挂物体的质量的一次函数．当所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为，且质量m每增加，弹簧的长度L就增加．若弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为 ． 15．如图，在中，，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，连接．    （1） ； （2）若，则线段的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算： 17．如图，在中，E，F为对角线所在直线上的两个点，且，连接，．求证：． 18．如图，某数学兴趣小组测量一座古塔的高度，从点处测得塔顶的仰角是，由点向古塔前进20.7米到达点处，由点处测得塔顶的仰角是，塔底点与点共线，且，求古塔的高度．（参考数据： 19．某校依据深圳市教育局印发的《深圳市义务教育阶段学校课后服务实施意见》积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验、经典影视欣赏、虚拟机器人竞赛、趣味篮球训练、国际象棋大赛……”等课程供学生自由选择．一个学期后，该校现为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 请你根据图中信息，解答下列问题： (1)该校抽样调查的学生人数为 人； (2)请补全条形统计图，并回答：“B比较满意”所对应的圆心角度数为 ； (3)样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为 ，“众数”所在等级为 ；（填“A、B、C或D”） (4)若该校共有学生2100人，据此调查估计全校学生对延时服务满意（包含A、B、C三个等级）的学生有多少人？ 20．已知，如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为A（3，n）． （1）求m与n的值； （2）设一次函数的图象与x轴交于点B，连接OA，求∠BAO的度数． 21．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E在AB上，且∠BCE＝∠BAC． (1)求证：AC＝AE (2)若AD＝9，cos∠BCE＝，求BE． 22．某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且时，时，．求： (1)y与x之间的表达式； (2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围． 23．如图1，在中，，，点D在边上，连接，作交线段于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，若，求的面积． 24．在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线的顶点是，与x轴交于另一点A，与直线交于点B和C（B在左侧），点P是直线BC下方抛物线上不与O，A重合的一动点，过点P作的平行线交x轴于点Q，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出解析式和点A，B，C的坐标； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线l，点P在直线l的右侧，与直线l交于点M，当M为的中点时，求m的值； (3)线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②若，结合d关于m的函数图象，直接写出m的取值范围． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷04（湖北省卷专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B D C D A C D B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11．＜ 12. 1/6 13.-a 14．14 15．45°或45度，2√5 三、解答题:本大题有9个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16． 【详解】解： ． 17．证明见解析 【详解】解：∵， ∴，即． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 18．该古塔的高为米． 【详解】解：由题意知，，，，米， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴米， 解得：米， 答：该古塔的高为米． 19．(1)50 (2)图见解析， (3)B，A (4)1890人 【详解】（1）解：校抽样调查的学生人数为为（人）， 故答案为：50； （2）解：(人)， 补充统计图如图所示， ． 故答案为： （3）解：学生对课后延时服务满意情况的“中位数”是第25、26个数据的平均数，而这两个数据均落在B等级， 所以中位数所在等级为B，“众数”所在等级为A， 故答案为：B、A； （4）解：（人）， 答：全校学生对延时服务满意的学生有1890人． 20．【详解】（1）∵的图象过点A（3，n），∴． ∵一次函数的图象过点A（3，n）， ∴． （2）过点A作AC⊥x轴于点C， 由（1）可知，直线AB的解析式为， ∴B（2，0），即OB＝2． 又，OC＝3， ∴BC＝OC－OB＝1， ∴， ∴∠1＝∠2． 在Rt△OAC中，， ∴∠2＝30°． ∴∠BAO＝30°． 21．【详解】（1） 连接AF， AC为直径， ． ． ． ∠ACB＝90°， ， ． ∠BCE＝∠BAC， ， 又， ， ． （2） 连接CD， ． 由（1）得， cos∠BCE＝ ， 设 由勾股定理得 解得 22．(1) (2)当时，最大利润为元 (3) 【详解】（1）解：设表达式为，将 和 代入 得： ，解得， ； （2）解：∵这批白茶每千克获利不得高于元， 根据题意得： ， 解得， 在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，最大利润为元； （3）解：当时，， 解得或， 由得， ∴销售单价的范围为． 23．【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在上截取，由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 过点作于点，则：， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 24．【详解】（1）解：设函数解析为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，则，解得，， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴，； （2）解：过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，交轴于点， ， ， ， 点的横坐标为． ， ∵直线的解析式为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 当时，，解得， ， ， 由图可得、在轴的同侧， 或， 点在直线的右侧， ； （3）解：①如图2， 直线的解析式为， 当时，；当时，，解得， 直线与轴的交点为，与轴的交点为 ， ， ， ， ， ； ②画出函数图象如图所示： ， ， ， 或， 当时，，当时，， 点在直线下方， ， 由图象得若，的取值范围为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（湖北省卷专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合：第14题物理与数学相结合，用一次函数解决问题。2.动态几何与分类讨论：第9题通过旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形等知识．体现数形结合的思想．3.代数与几何综合：第20题反比例函数与勾股定理等几何相结合课程知识间的融合；第24题二次函数综合一次函数，相似三角形的判定与性质，参数构建方程，体现知识的深度融合． 中考·新考法：1.常规考点创新设问： 第15题结合直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，并作出合适的辅助线，突破对知识考察的单一性． 第23题综合等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，并添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，体现知识的深度结合和系统性．又如第20题，第21题，第24题等。 中考·新情境：1.开放性与探究问题；第23题通过由浅入深设置问题；犹如第24题层层深入设置问题；又如第10题，第21题等。2.实时性与生活化情景：第18题以某数学小组的测量数据为背景融合解锐角三角形的实际应用；第19题以实际情景为背景考察统计图和扇形统计图的综合运用，及样本估计总体．3.数学畅通文化：如第7题引入《九章算经》的题目，彰显我国古代的数学成就，体现文化自信。 命题·大预测：1，跨学科整合；2.彰显我国传统数学文化；3，生活情景，科学情景，实时情景在数学中的应用；4.数学的实际应用。第9题，15题，第20题，第21题，第22题为中档题；第10题，第23题和第24题中的一些小题为压轴题。压轴题注重数学知识的综合应用，注重逻辑推理能力，注重深度思考。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．当出现相反意义的量时，可以用正数和负数表示．如：微信账单收入100元记作，则支出10元应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反意义的量，根据正负数表示一对相反意义的量，得到收入为正，则支出为负，进行判断即可． 【详解】解：微信账单收入100元记作，则支出10元应记作． 故选B 2．如图所示的正六棱柱，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从正面得到的视图是主视图，从正面来观察就可以得到正六棱柱的主视图． 【详解】解：从正面来观察，主视图是由三个矩形组成的，即 故选：A． 3．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】 ∵∠2=120°，∴∠3=60°， ∵AB∥CD，∴∠1=∠3=60°， 故选B. 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、同底数幂相除，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、同底数幂相除的运算法则逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出解集，再根据题意画出数轴表示即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了解不等式及其解集数轴表示，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 6．下列各事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛一枚硬币，正面朝上 B．早上出门，在第一个路口遇到红灯 C．在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为360° D．5本书分放在4个抽屉，至少一个抽屉内有2本书 【答案】D 【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； B、早上出门，在第一个路口遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C、在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为180°，不可能是360°，是不可能事件，不符合题意； D、5本书分放在4个抽屉，至少一个抽屉内有2本书，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得： ， 故选：A． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E，若∠C＝72°，则∠DOE的度数是（　　）    A．30° B．35° C．36° D．40° 【答案】C 【分析】连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得BD＝CD；结合等腰三角形的性质求得∠CAD＝36°，圆周角定理求得∠DOE＝2∠CAD＝36°． 【详解】如图，连接AD．    ∵AB＝AC，∠C＝72°， ∴∠ABC＝∠C＝72°． ∴∠CAB＝36°． ∵AB是圆O的直径， ∴AD⊥BD． 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD． ∴AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠CAB＝18°． ∴∠DOE＝2∠CAD＝36°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识点，正确作出辅助线是解题的难点． 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt的顶点O在原点上，，，，将绕原点O顺时针旋转90°，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设旋转后的三角形为，过点A作轴于点C，过点作轴于点D，由题意可求出，．再根据，即得出，从而可求出，结合旋转的性质可求出，即可得出点坐标． 【详解】如图，设旋转后的三角形为，过点A作轴于点C，过点作轴于点D， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 由旋转可知， ∴， ∴， ∴， ∴(，2)． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 10．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断． 【详解】解：顶点坐标为， ，， ，， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，即， ， 综上所述，结论错误，结论正确， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12．现有4张相同的卡片，正面分别写有中国二十四节气中的“春分”、“谷雨”、“小满”、“夏至”，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽到“春分”、“夏至”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率．画树状图，共有12种等可能的结果，找出抽到的两张卡片正面分别是“春分”、“夏至”的结果数，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“春分”、“谷雨”、“小满”、“夏至”分别为1，2，3，4，画树状图如下：    共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面分别是“春分”、“夏至”的有2种， 故从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面2分别是“春分”、“夏至”的概率为． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查同分母分式的加减运算，根据同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．小华发现弹簧的长度是所悬挂物体的质量的一次函数．当所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为，且质量m每增加，弹簧的长度L就增加．若弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意．根据题意，可以得到与的函数解析式，再令求出相应的的值，即可得所悬挂物体的质量m的最大值． 【详解】解：质量m每增加，弹簧的长度L就增加， 即：质量m每增加，弹簧的长度L就增加． ∴所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为， 设与的函数解析式为， ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， 解得：， 即：弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为， 故答案为：14． 15．如图，在中，，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，连接．    （1） ； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】 /45度 【分析】（1）由等腰三角形性质，可以知道，，结合三角形内角和定理，可知道，再结合平角的定义，计算出的度数； （2）延长至点，使，连接，，先证明，得到，，结合，得到，再证明是直角三角形，最后结合，算出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1） ， ， （2）如图，延长至点，使，连接，   为的中点 ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，立方根，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、零指数幂、立方根，绝对值，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 17．如图，在中，E，F为对角线所在直线上的两个点，且，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由题意易证，由平行四边形的性质易得出，，即可证明，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握上述知识是解题关键． 18．如图，某数学兴趣小组测量一座古塔的高度，从点处测得塔顶的仰角是，由点向古塔前进20.7米到达点处，由点处测得塔顶的仰角是，塔底点与点共线，且，求古塔的高度．（参考数据： 【答案】该古塔的高为米． 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握解直角三角形的方法即可求解． 在中，根据的正切值可求出，在中，根据的正切值可求出，由代入数值计算，即可求解． 【详解】解：由题意知，，，，米， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴米， 解得：米， 答：该古塔的高为米． 19．某校依据深圳市教育局印发的《义务教育阶段学校课后服务实施意见》积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验、经典影视欣赏、虚拟机器人竞赛、趣味篮球训练、国际象棋大赛……”等课程供学生自由选择．一个学期后，该校现为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 请你根据图中信息，解答下列问题： (1)该校抽样调查的学生人数为 人； (2)请补全条形统计图，并回答：“B比较满意”所对应的圆心角度数为 ； (3)样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为 ，“众数”所在等级为 ；（填“A、B、C或D”） (4)若该校共有学生2100人，据此调查估计全校学生对延时服务满意（包含A、B、C三个等级）的学生有多少人？ 【答案】(1)50 (2)图见解析， (3)B，A (4)1890人 【分析】（1）用A等级的人数除以占比得出总人数； （2）求出C等级的人数，补充统计图，再用360度乘以B部分所占比例可求出B的圆心角； （3）根据中位数与众数的定义即可求解； （4）用样本估计总体，用2000乘以A，B，C等级的人数的占比即可求解． 【详解】（1）解：校抽样调查的学生人数为为（人）， 故答案为：50； （2）解：(人)， 补充统计图如图所示， ． 故答案为： （3）解：学生对课后延时服务满意情况的“中位数”是第25、26个数据的平均数，而这两个数据均落在B等级， 所以中位数所在等级为B，“众数”所在等级为A， 故答案为：B、A； （4）解：（人）， 答：全校学生对延时服务满意的学生有1890人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．已知，如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为A（3，n）． （1）求m与n的值； （2）设一次函数的图象与x轴交于点B，连接OA，求∠BAO的度数． 【答案】见解析 【详解】（1）∵的图象过点A（3，n），∴． ∵一次函数的图象过点A（3，n）， ∴． （2）过点A作AC⊥x轴于点C， 由（1）可知，直线AB的解析式为， ∴B（2，0），即OB＝2． 又，OC＝3， ∴BC＝OC－OB＝1， ∴， ∴∠1＝∠2． 在Rt△OAC中，， ∴∠2＝30°． ∴∠BAO＝30°． 21．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E在AB上，且∠BCE＝∠BAC． (1)求证：AC＝AE (2)若AD＝9，cos∠BCE＝，求BE． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）连接AF，由圆周角定理得到，再结合∠ACB＝90°，即可求得，继而求出，可证，即可得到结论； （2）连接CD，由圆周角定理得到 ，再由（1）得，可求 ，设 ，由勾股定理得 ，可得，求出k的值，即可求解． 【详解】（1） 连接AF， AC为直径， ． ． ． ∠ACB＝90°， ， ． ∠BCE＝∠BAC， ， 又， ， ． （2） 连接CD， ． 由（1）得， cos∠BCE＝ ， 设 由勾股定理得 解得 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且时，时，．求： (1)y与x之间的表达式； (2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围． 【答案】(1) (2)当时，最大利润为元 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克的利润销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的”得出的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值； （3）根据“每天获得利润不低于元”列出不等式，解不等式后结合可得答案． 【详解】（1）解：设表达式为，将 和 代入 得： ，解得， ； （2）解：∵这批白茶每千克获利不得高于元， 根据题意得： ， 解得， 在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，最大利润为元； （3）解：当时，， 解得或， 由得， ∴销售单价的范围为． 23．如图1，在中，，，点D在边上，连接，作交线段于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）三角形的外角的性质结合直角三角形的两锐角互余，即可得证； （2）在上截取，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系即可得出结论； （3）过点作于点，证明，得到，证明为等腰直角三角形，推出，在中，勾股定理定理，求出的长，进而求出的长，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在上截取，由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 过点作于点，则：， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线的顶点是，与x轴交于另一点A，与直线交于点B和C（B在左侧），点P是直线BC下方抛物线上不与O，A重合的一动点，过点P作的平行线交x轴于点Q，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出解析式和点A，B，C的坐标； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线l，点P在直线l的右侧，与直线l交于点M，当M为的中点时，求m的值； (3)线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②若，结合d关于m的函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)①；②或或． 【分析】（1）设函数解析为，而后把代入求解函数解析式，然后令，求出x的值，可得A的坐标，联立方程组可求B、C的坐标； （2）过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，先证明，得，根据，利用待定系数法求出直线的解析式为，可设直线的解析式为，求出，可得，，，则，由图可得、在轴的同侧，即可求解； （3）①求出，则，即可得关于的函数解析式；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【详解】（1）解：设函数解析为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，则，解得，， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴，； （2）解：过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，交轴于点， ， ， ， 点的横坐标为． ， ∵直线的解析式为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 当时，，解得， ， ， 由图可得、在轴的同侧， 或， 点在直线的右侧， ； （3）解：①如图2， 直线的解析式为， 当时，；当时，，解得， 直线与轴的交点为，与轴的交点为 ， ， ， ， ， ； ②画出函数图象如图所示： ， ， ， 或， 当时，，当时，， 点在直线下方， ， 由图象得若，的取值范围为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$