7.1.1 数系的扩充与复数的概念 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1 复数的概念 《7.1.1 数系的扩充与复数的概念》教学设计 教学 内容 教材版本 《高中数学2019人教A版》 册数 必修 第二册 授课课时 第1课时 授课类型 新授课 教材 分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修二》（2019人教A版）第七章《复数》，本节课是第1课时，本节内容主要包括数系的扩充和复数的相关概念。教材从解一元二次方程入手，展开对负实数是否能开平方的探究，从而引出数系的扩充过程和方法，进一步总结复数的概念及其分类、性质。这些内容环环相扣，逻辑严谨，符合学生从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律。同时，教材中设置的例题和习题，注重对基础知识的巩固和基本技能的训练，有助于学生理解和掌握复数的概念。 学情 分析 在学习本节课之前，学生已经系统学习了实数的相关知识，包括实数的运算、方程的求解等，对数系的扩充也有一定的感性认识，知道自然数集、整数集、有理数集和实数集之间的包含关系。这些知识储备为学生理解复数的概念奠定了基础。但学生对于虚数的概念较为陌生，从实数到复数的跨越在认知上存在一定难度。通过对本节内容的探究，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。 教学 目标 1、 学生理解数系扩充的必要性和过程，掌握复数的定义、表示方法、分类以及复数相等的充要条件；能够运用相关知识解决复数的分类和相等问题。 2、 通过类比数系的扩充过程，培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；在解决问题的过程中，让学生体会由特殊到一般、转化等数学思想方法。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、核心素养 教学重 难点 1、教学重点：复数的概念、分类以及复数相等的充要条件； 2、教学难点：对虚数单位的理解，以及复数分类和相等条件的应用． 教学 策略 教学方法 讲授法、讨论法、探究法、多媒体教学法相结合。 教学形式 PPT和板书相结合 设计意图 讲授法有利于学生较系统地掌握重难点知识与内容框架，小组讨论探究等自主学习方式有利于培养学生主动思考、积极探索的能力以及合作共赢的精神品质，PPT和板书相结合可以调动和运用文字、图片、视频等多种学习资料辅助学生学习，同时极大激发学生的学习兴趣，寓教于乐，一举两得，教学效果良好。 教 学 过 程 教师活动 学生活动 设计意图 情景 引入 （5分钟） 播放关于数系发展历程的视频，引导学生观察数系是如何随着社会发展和数学自身的需要而不断扩充的，在播放结束后，提问学生从视频中看到数系扩充的原因有哪些。 认真观看视频，思考教师提出的问题，积极回答数系扩充的原因是人类生活实际需要和数学发展的需要。 借助视频激发学生的学习兴趣，让学生直观感受数系扩充的过程，为后续引出复数的概念做铺垫，同时培养学生观察和总结的能力。 新知 探究 一、问题 1 - 3 探究（9分钟） 提出问题 1“能否求出x2−1=0的解？” 问题 2“能否求出x2+1=0的解？”， 引导学生思考求解过程。 追问：像x2=−1这些方程在实数集上无解，能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，引进新的数使方程有解？ 接着介绍虚数单位i的由来，即由瑞士著名数学家欧拉在 1777 年提出，用 “imaginary” 一词的首字母表示，本意是虚幻的。 问题 3：把新引进的数i添加到实数集中，希望数i和实数之间仍能像实数那样进行加法和乘法运算，并满足相应运算律，那么新数系由哪些数组成？引导学生思考并讨论。 独立思考问题 1 和问题 2，回答x2−1=0的解为x=±1，x2+1=0在实数集上无解；对于追问和问题 3，学生进行小组讨论，尝试根据运算律找出新数系可能包含的数的形式。 通过逐步提问，引导学生从已有的知识出发，思考新的数学问题，培养学生的逻辑思维和探究精神；介绍数学史知识，丰富学生的数学文化素养，激发学生学习数学的兴趣。让学生在思考和讨论中，主动探索新知识，培养学生的合作交流能力和创新思维。 新知 探究 二、复数相关概念讲解（8 分钟） 追问2： 复数能比较大小吗？ 理解复数的相关概念；思考并回答教师提出的问题，得出复数是实数的充要条件是虚部为0，复数为0的充要条件是虚部和实部都为0，以及只有当两个复数都是实数时才能比较大小的结论。 及时总结归纳新知识，帮助学生构建系统的知识体系；通过提问和追问，加深学生对复数概念的理解，培养学生由特殊到一般的数学思维。让学生在思考和回答问题的过程中，巩固所学知识，提高学生的数学应用能力。发展学生逻辑推理和数学抽象的核心素养。 新知 探究 三、复数分类探究（5 分钟） 小组讨复数的分类方法，回答复数可分为实数和虚数，虚数又可分为纯虚数和非纯虚数；对追问的几个复数进行分类，并指出虚数的实部与虚部。 引导学生深入探究复数的分类，培养学生的归纳总结能力和逻辑思维能力。让学生在讨论和分类的过程中，进一步理解复数的分类标准，提高学生运用知识解决问题的能力；发展学生逻辑推理、数学运算等核心素养； 典例 讲解 （5分钟） 认真阅读题目，思考解题思路，尝试根据复数的分类标准列出关于m的方程或不等式。 通过典型例题的讲解，让学生学会运用复数的分类知识解决具体问题，掌握解题方法和技巧，培养学生的应用意识和运算能力。发展学生数学运算的数学核心素养 变式 训练 （5分钟） 展示练习和两个变式训练题，让学生独立完成。在学生做题过程中，继续巡视，关注学生的解题情况，对有困难的学生进行个别辅导。学生完成后，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调解题的规范性和注意事项。 独立完成练习和变式训练题，认真书写解题过程；观看同学的答案展示，听取教师的点评，反思自己的解题过程，及时纠正错误。 让学生在练习和反思中，进一步巩固所学知识，提高学生的数学思维能力和解题的准确性。 归纳 总结 （2分钟） 回顾本节课的学习内容，思考自己的收获和疑惑，积极发言分享自己的学习体会。 帮助学生梳理知识，构建知识框架，加深对本节课内容的理解和记忆；及时了解学生学习情况，为后续教学提供参考。培养学生的总结归纳能力和反思意识，提高学生的自主学习能力。 作业 布置 （1分钟） 必做题：教材73页 第1题和第三题 选做题：教材94页 第1题（1）小题 记录作业内容，明确作业要求，课后按时完成作业。 通过分层作业，满足不同层次学生的学习需求，巩固本节课所学知识，培养学生的自主学习能力和探究精神。 学科网（北京）股份有限公司 $$