信息必刷卷04（北京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（北京专用） 考情速递 中考·新动向： 基础题情境化：题型结构上，预计仍会保持选择题、填空题和解答题的基本框架，但题目设计将更加灵活多样。以往直接考查公式的题目（如勾股定理计算）转为结合生活场景（如函数问题会与实验相结合）。 压轴题多维度融合：尽管有传言称新定义题型可能会取消，但多数消息指出该题型将继续存在。新定义题型要求学生准确理解新定义的内容，并能灵活运用所学数学知识进行推理和计算。如去年中考第28题，将函数极值与几何动点轨迹结合，需同时建立坐标系和参数方程。 中考·新考法： 跨学科知识的整合‌：随着中考改革的推进，跨学科知识的整合将成为考查的新趋势。数学试题可能会与其他学科（如物理、经济等）相结合，通过解决实际问题来考查学生的综合应用能力。 中考·新情境： 创新性与实践性情境‌：试题引入现实场景与实验探究，如2024年统计题以学生科学教育参与情况为背景，通过中位数、众数分析数据趋势，体现数学工具的实际应用‌。折叠平行四边形纸片探究重叠面积与折痕关系，融合几何直观与动态分析能力‌。 命题·大预测： 趋势性预测：基础题占比可能减少，而中等题和难题的占比将相应增加。这意味着考生需要更加注重基础知识的巩固和综合能力的提升。 科技热点驱动创新：例如航天工程问题，宫课堂实验数据计算（如液滴体积与离心力关系函数推导）。 备考方向：每周精练1-2道物理/地理融合题（如太阳高度角计算与三角函数结合），或利用AI动态演示动点轨迹，理解参数变化对函数图像的影响，如使用“Desmos”动态验证函数图像猜想。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8题，每题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2．如图是平行光线进入某人眼睛的光路图，光线和经过晶体后在视网膜点处成像．若，，则下列等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，求得，，进一步计算即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故选：D． 3．如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定m,n的取值范围，再进一步判断，即可． 【详解】由数轴知， ∴，； 故选：C． 【点睛】本题考查数轴以及数轴上点表示的数，根据数轴得出m，n的取值范围及大小关系是解题的关键． 4．若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识，要注意根据一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论．当时，方程为一元一次方程；当时，根据一元二次方程根的判别式即可得到且，进而即可求出a的取值范围． 【详解】解：当时，，方程为，此方程有实数根； 当时，，并且， 即， 解得， ∴且， 综上所述：关于x的方程有实数根，则a的取值范围是． 故选：D． 5．在一个不透明的袋子中装有一个红色小球和两个白色小球，三个小球除颜色外无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：B． 6．是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的方向与位数有关，本题中首先把亿展开，可得：，用科学记数法表示，需要把小数点向左移动位，所以为． 【详解】解：． 故选：B． 7．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与 （1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定，作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】由作图可得，，， ∴ ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是． 故选：B． 8．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 【详解】解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示： 则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点． 二、填空题：本大题共8题，每题2分，共16分 9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解；∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解；掌握因式分解的步骤及方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后记得分式方程必须验根即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 两边同时乘以最简公分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 当时，最简公分母， 是原分式方程的解， 故答案为：． 12．已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13．某厂生产了2000 只灯泡，为了解这2000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命x(单位：小时)，数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 6 9 10 20 5 根据以上数据，估计这2000只灯泡中，使用寿命不低于1 600小时的灯泡的数量为 只． 【答案】1400 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体是解题的关键．用2000乘以抽查的灯泡中使用寿命不低于1 600小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】(只)， 所以估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量约为1400只． 故答案为：1400． 14．如图，的直径是10，是的内接三角形，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查圆周角定理及等边三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径是10， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为5． 15．如图，在中，．以为边在的同侧作正方形、正方形，则点在上，与相交于点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形的求解是解答的关键．先根据勾股定理求得，利用正方形的性质，结合全等三角形的判定证明得到；过F作于P，证明得到；再证明得到，然后利用等高的三角形的面积比等于底边比求解即可． 【详解】解：在中，． ∴， 在正方形、正方形中，，，， ∴， ∴，则， 过F作于P，则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 6 8 11 3 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟． 【答案】 53 27 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，甲学生工序D完成后接着做工序G；乙学生工序完成后，做工序F，最后甲学生做工序E，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，甲学生工序D完成后接着做工序G，需要9分钟， 乙学生工序完成后，做工序F，最后甲学生做工序E，需要9分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，27 三、解答题：本大题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题5分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简零次幂，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，然后运用乘法，最后进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 18．（本小题5分）解不等式组：． 【答案】 【分析】先解得每个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答的关键． 19．（本小题5分）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键． 先化简代数式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 20．（本小题6分）如图，在中，，平分，，点F在上，，的延长线交的延长线于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形．掌握并能够灵活运用相关知识点，是解题的关键． （1）证明，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，得到，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（本小题6分）蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为， 由题意得，， 解得， ∴蜡烛的长度， 答：蜡烛在未点燃前的长度为厘米． 22．（本小题5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的下方，利用图像法求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把点代入得 ， 解得， ∴这个一次函数的解析式是； （2）解：由题意，得时直线在直线的下方， 如图：当直线在之间时，满足题意：    当与平行时，， 当过点时,， ∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 23．（本小题5分）某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图： ②丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 中位数 8 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ； (2)从甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图可知，队员 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 【答案】(1)8，8 (2)乙 (3)推荐乙，理由见解析 【分析】本题考查平均数、方差，中位数以及频数直方图，理解中位数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据算术平均数和中位数的定义进行分析即可； （2）甲、乙两位选手成绩，计算出方差进行判断即可； （3）根据选手的稳定性进行判断即可． 【详解】（1）解：甲选手的10次测试成绩分别为6，6，6，7，8，8，9，10，10，10， 则， 丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 则， 故答案为：8，8； （2）∵， ， ∴， 则队员乙发挥的稳定性更好； 故答案为：乙； （3）推荐乙，理由是：三位选手的平均成绩一样，但乙发挥更稳定，推荐乙获胜的把握更大． 24．（本小题6分）如图，在中，弦与直径相交于点E，连接、、，若平分． (1)求证：； (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质，平行线的判定等知识，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，进而可知，即可证明结论； （2）先证明，得，由，的半径为4，可知，，，则，得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，的半径为4， ∴，，，则， ∴， ∴，则． 25．（本小题5分）某实验室为了研究在同一实验条件下同一营养液对不同品种植物幼苗生长速度的影响，进行如下实验：首先，选取甲、乙两种在不使用营养液前提下生长速度相同的幼苗进行培养，再开始培育幼苗时添加到培育容器中．经过一定的实验，得到如下数据．设营养素用量为毫克，甲幼苗生长速度为毫米/天，乙幼苗生长速度为毫米/天． (1)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)结合函数图象，回答下列问题： ①使用约________毫克的营养素时，甲种幼苗生长速度最快（结果保留小数点后两位），使用营养液________（“一定”或“不一定”）加快乙种幼苗生长速度； ②与甲种幼苗的生长速度相比，当使用营养素用量的取值范围为________时，更能促进乙种幼苗的生长速度（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1)见解析 (2)①，一定，② 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，画函数图象； （1）根据描点法画出函数图象，即可求解； （2）①根据表格数据分析，即可求解； ②根据表格与图象可得交点大约在．进而得出结论； 【详解】（1）解：如图所示 （2）①由表中可见，甲种幼苗在毫克时取到最大值； 故答案为：，一定． 将 从增至时，乙种幼苗 也由 增至  (大于原来的) ，使用营养液“一定”能加快乙种幼苗的生长速度．   ②比较与：由表中数据可见，在 与  时 都大于，而到了时， 略小于 ，说明两曲线在  与之间相交 可求得交点大约在．故当  时，更能促进乙种幼苗的生长速度 故答案为：． 26．（本小题6分）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 27．（本小题7分）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 【答案】(1)1，； (2)，，理由见解析 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； （2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 28．（本小题7分）平面直角坐标系中的与上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q重合）使得直线绕点M旋转，所得直线恰好经过中点，则称点M为的“内直点”．如图所示点M为的内直点，平面直角坐标系中半径为r． (1)若，下列各点：，，，中是的“内直点”的是 ； (2)在（1）条件下，若一次函数上存在的“内直点”，结合图形求k的取值范围； (3)直线与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段上存在的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）可得出点的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点），进一步判断即可得解； （2）直线过，求出相切时的的值，即可得解； （3）求出与相切时的值，结合题意分析即可得解． 【详解】（1）解：如图1， 设半径的中点为A，则点A的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆， ∵， ∴点M的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点）， ∴点M在圆环内， ∵，，， ∴点，，不是的“内直点”， ∵， ∴是的“内直点”， 故答案为：； （2）解：如图2， ∵， ∴直线过， 设直线与半径为4的圆且与点A和点B，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或； （3）解：如图3，直线记作直线l，直线l与x轴交于点B，交y轴于点C，当直线l与相切于点A，连接， 可得，，，， ∵， ∴， ∴， 如图4，当时，和圆环交于点C， ∴． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了确定圆的条件，直线和圆的位置关系，一次函数的有关知识点，解直角三角形等知识点，解决问题的关键是数形结合的思想． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（北京专用） 考情速递 中考·新动向： 基础题情境化：题型结构上，预计仍会保持选择题、填空题和解答题的基本框架，但题目设计将更加灵活多样。以往直接考查公式的题目（如勾股定理计算）转为结合生活场景（如函数问题会与实验相结合）。 压轴题多维度融合：尽管有传言称新定义题型可能会取消，但多数消息指出该题型将继续存在。新定义题型要求学生准确理解新定义的内容，并能灵活运用所学数学知识进行推理和计算。如去年中考第28题，将函数极值与几何动点轨迹结合，需同时建立坐标系和参数方程。 中考·新考法： 跨学科知识的整合‌：随着中考改革的推进，跨学科知识的整合将成为考查的新趋势。数学试题可能会与其他学科（如物理、经济等）相结合，通过解决实际问题来考查学生的综合应用能力。 中考·新情境： 创新性与实践性情境‌：试题引入现实场景与实验探究，如2024年统计题以学生科学教育参与情况为背景，通过中位数、众数分析数据趋势，体现数学工具的实际应用‌。折叠平行四边形纸片探究重叠面积与折痕关系，融合几何直观与动态分析能力‌。 命题·大预测： 趋势性预测：基础题占比可能减少，而中等题和难题的占比将相应增加。这意味着考生需要更加注重基础知识的巩固和综合能力的提升。 科技热点驱动创新：例如航天工程问题，宫课堂实验数据计算（如液滴体积与离心力关系函数推导）。 备考方向：每周精练1-2道物理/地理融合题（如太阳高度角计算与三角函数结合），或利用AI动态演示动点轨迹，理解参数变化对函数图像的影响，如使用“Desmos”动态验证函数图像猜想。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8题，每题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是平行光线进入某人眼睛的光路图，光线和经过晶体后在视网膜点处成像．若，，则下列等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 5．在一个不透明的袋子中装有一个红色小球和两个白色小球，三个小球除颜色外无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 7．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与 （1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 8．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8题，每题2分，共16分 9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．因式分解： ． 11．方程的解为 ． 12．已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 13．某厂生产了2000 只灯泡，为了解这2000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命x(单位：小时)，数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 6 9 10 20 5 根据以上数据，估计这2000只灯泡中，使用寿命不低于1 600小时的灯泡的数量为 只． 14．如图，的直径是10，是的内接三角形，，则 ． 15．如图，在中，．以为边在的同侧作正方形、正方形，则点在上，与相交于点，连接，则 ． 16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 6 8 11 3 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟． 三、解答题：本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在中，，平分，，点F在上，，的延长线交的延长线于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 21．蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 23．某射击队进行选手选拔，对甲、乙、丙三名队员连续射击10次的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图： ②丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 ③三名队员命中环数的平均数和中位数如下： 甲 乙 丙 平均数 8 8 中位数 8 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ； (2)从甲、乙两名队员射击成绩的频数直方图可知，队员 发挥的稳定性更好；（填“甲”或“乙”） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为应该推荐哪位队员？请说明理由． 24．如图，在中，弦与直径相交于点E，连接、、，若平分． (1)求证：； (2)若，的半径为4，求的长． 25．某实验室为了研究在同一实验条件下同一营养液对不同品种植物幼苗生长速度的影响，进行如下实验：首先，选取甲、乙两种在不使用营养液前提下生长速度相同的幼苗进行培养，再开始培育幼苗时添加到培育容器中．经过一定的实验，得到如下数据．设营养素用量为毫克，甲幼苗生长速度为毫米/天，乙幼苗生长速度为毫米/天． (1)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)结合函数图象，回答下列问题： ①使用约________毫克的营养素时，甲种幼苗生长速度最快（结果保留小数点后两位），使用营养液________（“一定”或“不一定”）加快乙种幼苗生长速度； ②与甲种幼苗的生长速度相比，当使用营养素用量的取值范围为________时，更能促进乙种幼苗的生长速度（结果保留小数点后两位）． 26．已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 27．在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 28．平面直角坐标系中的与上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q重合）使得直线绕点M旋转，所得直线恰好经过中点，则称点M为的“内直点”．如图所示点M为的内直点，平面直角坐标系中半径为r． (1)若，下列各点：，，，中是的“内直点”的是 ； (2)在（1）条件下，若一次函数上存在的“内直点”，结合图形求k的取值范围； (3)直线与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段上存在的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围． 答案第1页，共2页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（北京专用） 数学·参考答案 一、选择题：本大题共8题，每题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C D B B B D 2、 填空题：本大题共8题，每题2分，共16分 9． 10． 11． 12． 13．1400 14．5 15． 16．53；27 三、解答题：本大题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题5分）【答案】 【详解】解： ． 18．（本小题5分）【答案】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19．（本小题5分）【答案】 【详解】解： ， ， ， ． 20．（本小题6分）【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形；（3分） （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．（3分） 21．（本小题6分）【答案】厘米 【详解】解：设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为， 由题意得，， 解得， ∴蜡烛的长度， 答：蜡烛在未点燃前的长度为厘米． 22．（本小题5分）【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把点代入得 ， 解得， ∴这个一次函数的解析式是； （2）解：由题意，得时直线在直线的下方， 如图：当直线在之间时，满足题意：    当与平行时，， 当过点时,， ∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 23．（本小题5分）【答案】(1)8，8 (2)乙 (3)推荐乙，理由见解析 【详解】（1）解：甲选手的10次测试成绩分别为6，6，6，7，8，8，9，10，10，10， 则， 丙队员射击成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 则， 故答案为：8，8； （2）∵， ， ∴， 则队员乙发挥的稳定性更好； 故答案为：乙； （3）推荐乙，理由是：三位选手的平均成绩一样，但乙发挥更稳定，推荐乙获胜的把握更大． 24．（本小题6分）【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，的半径为4， ∴，，，则， ∴， ∴，则． 25．（本小题5分）【答案】(1)见解析 (2)①，一定，② 【详解】（1）解：如图所示 （2）①由表中可见，甲种幼苗在毫克时取到最大值； 故答案为：，一定． 将 从增至时，乙种幼苗 也由 增至  (大于原来的) ，使用营养液“一定”能加快乙种幼苗的生长速度．   ②比较与：由表中数据可见，在 与  时 都大于，而到了时， 略小于 ，说明两曲线在  与之间相交 可求得交点大约在．故当  时，更能促进乙种幼苗的生长速度 故答案为：． 26．（本小题6分）【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 27．（本小题7分）【答案】(1)1，； (2)，，理由见解析 【详解】（1）解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； （2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 28．（本小题7分）【答案】(1)； (2)或； (3) 【详解】（1）解：如图1， 设半径的中点为A，则点A的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆， ∵， ∴点M的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点）， ∴点M在圆环内， ∵，，， ∴点，，不是的“内直点”， ∵， ∴是的“内直点”， 故答案为：； （2）解：如图2， ∵， ∴直线过， 设直线与半径为4的圆且与点A和点B，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或； （3）解：如图3，直线记作直线l，直线l与x轴交于点B，交y轴于点C，当直线l与相切于点A，连接， 可得，，，， ∵， ∴， ∴， 如图4，当时，和圆环交于点C， ∴． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$