第02讲 不等式的性质（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第02讲 不等式的性质 课程标准 学习目标 ①不等式的性质 ②用不等式的性质解简单的不等式 1. 掌握不等式的性质，能够熟练应用不等式的性质解决相关题目。 2. 能够利用不等式的性质解简单的不等式。 知识点01 不等式的性质 1. 不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减） 数（或式子），不等号的方向 。 即若，则 。 2. 不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以） ，不等号的方向 。 若，则 。 3. 不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以） ，不等号的方向 。 若，则 。 【即学即练1】 1．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a+5＜b+5 B．2a＞2b C． D．﹣2a＜﹣2b 【即学即练2】 2．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 【即学即练3】 3．已知实数a，b满足：a+b＝2，且﹣1＜a﹣b＜1，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D．5＜4a+2b＜7 知识点02 用不等式的性质解简单的不等式 1. 用不等式的性质解简单的不等式： 利用不等式的性质1、2、3对不等式两边进行变形，使其逐步化为 的形式。其中为常数。然后由此在数轴上表示不等式的解集。 【即学即练1】 4．将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）﹣2x+3＜3x+2． 题型01 不等式的性质 【典例1】若m＞n，则下列不等式正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 【变式1】已知x＞y，则下列不等式不成立的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣3x+1＜﹣3y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．ax﹣1＞ay﹣1 【变式2】若x＞y，且mx＜my，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【变式4】下列说法不一定成立的是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，则 C．若a＞b，则a（a﹣b）＞b（a﹣b） D．若ac2＞bc2，则a＞b 题型02 根据不等式的变形求取值范围 【典例1】若关于m的不等式（1﹣m）x＞2可化为，则m的取值范围为 　 　 ． 【变式1】若关于x的不等式（2﹣a）x＜3可化为，则a的取值范围是　 　 ． 【变式2】如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1 【变式3】若（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是　 　 ． 【变式4】若x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是 　 　 ． 题型03 利用不等式的性质解简单的不等式 【典例1】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x﹣1＞3． （2）． 【变式1】依据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： （1）x+3＜5； （2）﹣2x＜5； （3）． 题型04 不等式性质的其他应用 【典例1】已知a＜b，则一定有6﹣4a□6﹣4b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 【变式1】已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．2a+b＜0 C．0＜a＜c D． 【变式2】已知a，b，c为非零实数，且满足a+b+c＝0，，下列结论正确的是（　　） A．3a＜2 B．2a﹣c＞2 C．3a﹣b﹣3c＜4 D．a+3b+4c＞0 【变式3】若2a﹣b+1＝0，0＜a+b+2＜3，则下列判断错误的是（　　） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜b＜1 C．﹣3＜2a+b＜1 D．0＜a﹣b＜1 1．若m＞n，则下列不等式中错误的是（　　） A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．3m﹣3n＞0 D．﹣2m＞﹣2n 2．将不等式2＜3两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＞0 C．x＜0 D．x＜1 3．若a＜b，则下列结论错误的是（　　） A．a+2＜b+2 B．3﹣a＜3﹣b C．4a＜4b D． 4．设A，B，C表示三种不同的物体，先后用天平称了两次，情况如图所示，则这三个物体按质量从大到小应为（　　） A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．A＞C＞B 5．下列不等式变形正确的是（　　） A．若a＜b，则1+a＜1+b B．若a＜b，则ax2＜bx2 C．若ac＞bc，则a＞b D．若m＞n，则m﹣1＜n﹣1 6．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 7．若m＜1，则（m﹣1）x＞1﹣m的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 8．若a＜0，a+b＞0，则三个数a，b，a+b中最大的数是（　　） A．a B．b C．a+b D．无法确定 9．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1 10．若非零实数x，y，z满足x+y+z＝0，2x+y+z＜1，则下列判断正确的是（　　） A．x＞1 B．y+z＜1 C．4x+3y+3z＜1 D．3x+4y+4z＜﹣1 11．由x＜y得到ax＞ay，a应满足的条件是 　 　 ． 12．比较大小，用“＞”或“＜”填空：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，则a 　 　 b． 13．若x＜1，则x+1 　 　 2（填“＞”“＜”或“＝”）；若x＜1是关于x的不等式（2024﹣m）x＞2024﹣m的解集，则m的取值范围是 　 　 ． 14．若x+y＝3，x≥0，y≥0，则2x+3y的最小值是　 　 ． 15．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 　 　 ． 16．根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）10x＞7x+1． 17．已知：x＜y，试比较6+27x和6+27y的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：6+27x　 　 6+27y， 理由如下：∵x＜y， ∴　 　 （不等式的基本性质2）， ∴　 　 （不等式的基本性质1）． 18．有一个数学游戏，如图10，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照B→C（或C→B）的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以﹣2”的运算得出结果﹣6． （1）将﹣2按照A→B→C→A的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； （2）将一个大于3的数按照A→C→B→A的顺序进行运算，发现运算结果总小于1．请验证这个结论． 19．（1）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果a﹣b＜0，那么a　 　 b； ②如果a﹣b＝0，那么a　 　 b； ③如果a﹣b＞0，那么a　 　 b． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”； （2）请运用上述这种方法尝试解决下面的问题： ①比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小； ②若 2a+2b﹣1＞3a+b，比较a，b的大小． 20．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐（m＞n＞0），则盐水的浓度为．加入a克（a＞0）水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克（a＞0）水”改为“加入a克（a＞0）盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为　 ，由此得到新的不等式　 （用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在△ABC中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 不等式的性质 课程标准 学习目标 ①不等式的性质 ②用不等式的性质解简单的不等式 1. 掌握不等式的性质，能够熟练应用不等式的性质解决相关题目。 2. 能够利用不等式的性质解简单的不等式。 知识点01 不等式的性质 1. 不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。 即若，则 。 2. 不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。 若，则 。 3. 不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。 若，则 。 【即学即练1】 1．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a+5＜b+5 B．2a＞2b C． D．﹣2a＜﹣2b 【分析】（1）根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．直接利用不等式的性质分别判断得出即可． 【解答】解：∵a＜b， ∴a+5＜b+5，选项A符合题意； 2a＜2b，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ﹣2a＞﹣2b，选项D不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】 2．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 【分析】这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察，（2a﹣1）x＜2（2a﹣1），要想求得解集，需把（2a﹣1）这个整体看作x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x＞2，不等号的方向已改变，说明运用的是不等式的性质3，运用性质3的前提是两边都乘以（�或除以）同一个负数，从而求出a的范围． 【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2， ∴不等式变号， ∴2a﹣1＜0， ∴a． 故选：B． 【即学即练3】 3．已知实数a，b满足：a+b＝2，且﹣1＜a﹣b＜1，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D．5＜4a+2b＜7 【分析】根据不等式的性质对各选项逐一判断即可． 【解答】解：∵a+b＝2且﹣1＜a﹣b＜1， ∴a＝2﹣b， ∴﹣1＜2﹣b﹣b＜1， ∴，故选项B正确； ∵a＝2﹣b， ∴，故选项A正确； ∵2a﹣b＝2（2﹣b）﹣b＝4﹣3b， ∴，故选项C错误； ∵4a+2b＝4（2﹣b）+2b＝8﹣2b， ∴5＜4a+2b＜7，故选项D正确． 故选：C． 知识点02 用不等式的性质解简单的不等式 1. 用不等式的性质解简单的不等式： 利用不等式的性质1、2、3对不等式两边进行变形，使其逐步化为 的形式。其中为常数。然后由此在数轴上表示不等式的解集。 【即学即练1】 4．将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）﹣2x+3＜3x+2． 【分析】（1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集； （2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集． 【解答】解：（1）， 不等式两边同时乘， 解得：x＜﹣40； （2）﹣2x+3＜3x+2， 不等式两边同时减3x，得﹣5x+3＜2， 不等式两边同时减3，得﹣5x＜﹣1， 不等式两边同时除以﹣5，得． 题型01 不等式的性质 【典例1】若m＞n，则下列不等式正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 【分析】根据不等式的性质：（1）不等式两边同加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可一一判定． 【解答】解：∵m＞n， ∴m﹣2＞n﹣2，，6m＞6n，﹣8m＜﹣8n， 故A、C、D错误，B正确． 故选：B． 【变式1】已知x＞y，则下列不等式不成立的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣3x+1＜﹣3y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．ax﹣1＞ay﹣1 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若x＞y，则x﹣1＞y﹣1，故选项A成立； B．若x＞y，则﹣3x＜﹣3y，﹣3x+1＜﹣3y+1，故选项B成立； C．若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故选项C成立； D．若x＞y，当a＞0时，ax＞ay，ax﹣1＞ay﹣1，故选项D不成立． 故选：D． 【变式2】若x＞y，且mx＜my，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据不等式的基本性质即可判断． 【解答】解：∵x＞y，且mx＜my， ∴m＜0， 故选：A． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，计算不正确，不符合题意； B、当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＜b2，计算不正确，不符合题意； C、若a＞b，当c≠0时，ac2＞bc2，计算不正确，不符合题意； D．、若ac2＞bc2，则a＞b，计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式4】下列说法不一定成立的是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，则 C．若a＞b，则a（a﹣b）＞b（a﹣b） D．若ac2＞bc2，则a＞b 【分析】根据不等式的性质1以及不等式的性质2逐项判断即可． 【解答】解：根据不等式的性质1以及不等式的性质2逐项判断如下： A、a＞b，则a+c＞b+c，A说法成立，不符合题意； B、当a＞0，b＜0时a＞b，但，不成立，符合题意； C、∵a＞b，∴a﹣b＞0，则a（a﹣b）＞b（a﹣b），C说法成立，不符合题意； D、若ac2＞bc2，则a＞b，D说法成立，不符合题意． 故选：B． 题型02 根据不等式的变形求取值范围 【典例1】若关于m的不等式（1﹣m）x＞2可化为，则m的取值范围为 　m＞1　 ． 【分析】观察已知条件中的不等式和其解集，然后根据不等式的性质列出关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵关于m的不等式（1﹣m）x＞2可化为， ∴1﹣m＜0， ﹣m＜﹣1， m＞1， 故答案为：m＞1． 【变式1】若关于x的不等式（2﹣a）x＜3可化为，则a的取值范围是　a＞2　 ． 【分析】根据已知解集得到2﹣a为负数，即可确定出a的范围． 【解答】解：∵不等式（2﹣a）x＜3可化为， ∴2﹣a＜0， 解得：a＞2， 故答案为：a＞2． 【变式2】如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1 【分析】根据不等式的解集，得到不等号方向改变，即a+1小于0，即可求出a的范围． 【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1， ∴a+1＜0， 解得：a＜﹣1． 故选：D． 【变式3】若（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是　a＞1　 ． 【分析】根据不等式的性质3，可得答案． 【解答】解：由（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，得 1﹣a＜0． 解得a＞1， 故答案为：a＞1． 【变式4】若x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是 　m＞1　 ． 【分析】利用不等式性质得到m﹣1＞0，即可得出答案． 【解答】解：∵x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1． 故答案为：m＞1． 题型03 利用不等式的性质解简单的不等式 【典例1】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x﹣1＞3． （2）． 【分析】（1）两边都加1，即可作答． （2）不等式两边同时乘上﹣2，即可作答． 【解答】解：1）根据不等式的基本性质1，两边都加1，得x＞3+1，即x＞4． （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘﹣2，得x＜﹣2． 【变式1】依据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： （1）x+3＜5； （2）﹣2x＜5； （3）． 【分析】（1）根据不等式的性质两边都减去3即可求解； （2）根据不等式的性质两边都除以﹣2即可求解； （3）根据不等式的性质两边都乘以7即可求解． 【解答】解：（1）∵x+3＜5， ∴x+3﹣3＜5﹣3， ∴x＜2； （2）∵﹣2x＜5， ∴﹣2÷（﹣2）x＜5÷（﹣2）， ∴； （3）∵， ∴， ∴x＜﹣21． 题型04 不等式性质的其他应用 【典例1】已知a＜b，则一定有6﹣4a□6﹣4b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 【分析】根据不等式的性质，不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变即可求解． 【解答】解：∵a＜b， ∴﹣4a＞﹣4b， ∴6﹣4a＞6﹣4b， 故选：A． 【变式1】已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．2a+b＜0 C．0＜a＜c D． 【分析】根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可． 【解答】解：∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0， ∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，故B选项错误； 又∵b＝﹣a﹣c， ∴2a﹣a﹣c＞0， 即a﹣c＞0， ∴a＞c，故C选项错误； ∵b＝﹣a﹣c，c＞0， ∴b＜﹣a，即a+b＜0，故A选项错误； 又∵2a+b＞0， ∴﹣2a＜b， ∴﹣2a＜b＜﹣a， 又∵a＞c＞0， ∴﹣21，故D选项正确； 故选：D． 【变式2】已知a，b，c为非零实数，且满足a+b+c＝0，，下列结论正确的是（　　） A．3a＜2 B．2a﹣c＞2 C．3a﹣b﹣3c＜4 D．a+3b+4c＞0 【分析】利用举反例的方法，说明符合条件a+b+c＝0，的一组数a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1，判断ABD三选项错误，对C选项进行验证，即可得到结果． 【解答】解：A．当a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1时，a+b+c＝0，2a+bc＝0.95＜1，显然3a＝3，3a＞2，故该选项错误，不符合题意； B．当a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1时，2a﹣c＝2﹣0.2＝1.8＜2，故该选项错误，不符合题意； C．∵a+b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣b， 代入不等式，得2a+b（﹣a﹣b）＜1， ∴3a+b＜2， ∴当c＝﹣a﹣b时，3a﹣b﹣3c＝3a﹣b﹣3（﹣a﹣b）＝6a+2b＝2（3a+b）＜4， 即3a﹣b﹣3c＜4， 故该选项正确，符合题意； D．当a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1时，a+3b+4c＝﹣1.9＜0，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】若2a﹣b+1＝0，0＜a+b+2＜3，则下列判断错误的是（　　） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜b＜1 C．﹣3＜2a+b＜1 D．0＜a﹣b＜1 【分析】先求得b＝2a+1，得到0＜3a+3＜3，解得﹣1＜a＜0，再分别求得b、2a+b和a﹣b的取值范围即可得解． 【解答】解：由条件可知b＝2a+1， ∵0＜a+b+2＜3， ∴0＜3a+3＜3，解得﹣1＜a＜0； ∴﹣2＜2a＜0，则﹣1＜2a+1＜1， 即﹣1＜b＜1； ∵2a+b＝4a+1，﹣1＜a＜0， ∴﹣4＜4a＜0， ∴﹣3＜2a+b＜1； ∵a﹣b＝﹣a﹣1，﹣1＜a＜0， ∴0＜﹣a＜1， ∴﹣1＜﹣a﹣1＜0，即﹣1＜a﹣b＜0， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 1．若m＞n，则下列不等式中错误的是（　　） A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．3m﹣3n＞0 D．﹣2m＞﹣2n 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若m＞n，则m+2＞n+2，故选项A正确； B．若m＞n，则m﹣2＞n﹣2，故选项B正确； C．若m＞n，则3m＞3n，即3m﹣3n＞0，故选项C正确； D．若m＞n，则﹣2m＜﹣2n，故选项D错误． 故选：D． 2．将不等式2＜3两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＞0 C．x＜0 D．x＜1 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【解答】解：∵不等式2＜3两边都乘以同一个数x，不改变不等号的方向， ∴x＞0． 故选：B． 3．若a＜b，则下列结论错误的是（　　） A．a+2＜b+2 B．3﹣a＜3﹣b C．4a＜4b D． 【分析】根据不等式的基本性质判断即可． 【解答】解：A、若a＜b，则a+2＜b+2，故A不符合题意； B、若a＜b，则3﹣a＞3﹣b，故B符合题意； C、若a＜b，则4a＜4b，故C不符合题意； D、若a＜b，则，故D不符合题意． 故选：B． 4．设A，B，C表示三种不同的物体，先后用天平称了两次，情况如图所示，则这三个物体按质量从大到小应为（　　） A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．A＞C＞B 【分析】根据题意可得：A＞B，3C＝B+C，从而可得2C＝B，进而可得B＞C，即可解答． 【解答】解：由题意得：A＞B，3C＝B+C， ∴2C＝B， ∴B＞C， ∴A＞B＞C， 故选：A． 5．下列不等式变形正确的是（　　） A．若a＜b，则1+a＜1+b B．若a＜b，则ax2＜bx2 C．若ac＞bc，则a＞b D．若m＞n，则m﹣1＜n﹣1 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＜b，则1+a＜1+b，故选项A正确； B．若a＜b，当x＝0时，ax2＝bx2，故选项B不正确； C．若ac＞bc，当a＞b，c＜0时，ac＜bc，故选项C不正确； D．若m＞n，则m﹣1＞n﹣1，故选项D不正确． 故选：A． 6．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【解答】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 7．若m＜1，则（m﹣1）x＞1﹣m的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【解答】解：m＜1，则（m﹣1）x＞1﹣m，得 x＜﹣1， 故选：C． 8．若a＜0，a+b＞0，则三个数a，b，a+b中最大的数是（　　） A．a B．b C．a+b D．无法确定 【分析】根据不等式的性质1，由a＜0得到a+b＜b，然后利用a+b＞0可判断三个数a，b，a+b中最大的数． 【解答】解：∵a＜0， ∴a+b＜b， ∵a+b＞0， ∴a＜a+b＜b， 即三个数a，b，a+b中最大的数是b． 故选：B． 9．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【解答】解：由题意，得 a+1＜0， 解得a＜﹣1， 故选：B． 10．若非零实数x，y，z满足x+y+z＝0，2x+y+z＜1，则下列判断正确的是（　　） A．x＞1 B．y+z＜1 C．4x+3y+3z＜1 D．3x+4y+4z＜﹣1 【分析】根据不等式的基本性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为x+y+z＝0，2x+y+z＜1， 则x+y+z+x＜1， 即x＜1． 故A选项不符合题意． 因为y+z＝﹣x，且﹣x是非零实数， 所以y+z的大小无法确定． 故B选项不符合题意． 因为4x+3y+3z＝x+3（x+y+z）＝x＜1， 所以4x+3y+3z＜1． 故C选项符合题意． 因为3x+4y+4z＝3（x+y+z）+y+z＝y+z＝﹣x，且﹣x是非零实数， 所以3x+4y+4z的大小无法确定． 故D选项不符合题意． 故选：C． 11．由x＜y得到ax＞ay，a应满足的条件是 　a＜0　 ． 【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可求解． 【解答】解：∵x＜y， 当a＜0时，根据不等式的性质3，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变， ∴ax＞ay， ∴a应满足的条件是a＜0， 故答案为：a＜0． 12．比较大小，用“＞”或“＜”填空：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，则a 　＜　 b． 【分析】利用不等式的性质：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变可得a﹣b＜0，继而求得答案． 【解答】解：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y， 则a﹣b＜0， 那么a＜b， 故答案为：＜． 13．若x＜1，则x+1 　＜　 2（填“＞”“＜”或“＝”）；若x＜1是关于x的不等式（2024﹣m）x＞2024﹣m的解集，则m的取值范围是 　m＞2024　 ． 【分析】（1）根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等式仍然成立即可得出答案； （2）根据不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等式的方向要发生改变，即可得出2024﹣m＜0，求解即可得出答案． 【解答】解：∵x＜1， ∴x+1＜1+1， 即x+1＜2， ∵x＜1是关于x的不等式（2024﹣m）x＞2024﹣m的解集， ∴2024﹣m＜0， ∴m＞2024， 故答案为：＜，m＞2024． 14．若x+y＝3，x≥0，y≥0，则2x+3y的最小值是　6　 ． 【分析】把问题转化为2x+3y＝6﹣2y+3y＝6+y，利用不等式的性质解决最值问题． 【解答】解：∵x+y＝3， ∴x＝3﹣y， ∴2x+3y＝2（3﹣y）+3y＝6+y， ∵x≥0，y≥0， ∴3﹣y≥0，即y≤3， ∴0≤y≤3， ∴6≤y+6≤9， 即6≤2x+3y≤9， ∴y＝0时，最小值为6． 故答案为：6． 15．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 　130　 ． 【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解． 【解答】解：， ①+②，得3a+4b+5c＝130， 可得出a＝10，c＝20， ∵a，b，c为三个非负实数， ∴a＝100，c＝200， ∴0≤b≤20， ∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b， ∴当b＝0时，W＝130﹣2b的最大值为130， 故答案为：130． 16．根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）10x＞7x+1． 【分析】（1）根据不等式的性质，将的两边同时除以即可； （2）首先根据不等式的性质，将10x＞7x+1的两边同时减去7x，然后两边再同时除以3即可． 【解答】解：（1）∵， ∴x÷（）＞﹣2÷（）， ∴x＞3． （2）∵10x＞7x+1， ∴10x﹣7x＞7x﹣7x+1， ∴3x＞1， ∴3x÷3＞1÷3， 即x． 17．已知：x＜y，试比较6+27x和6+27y的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：6+27x　＜　 6+27y， 理由如下：∵x＜y， ∴　27x＜27y　 （不等式的基本性质2）， ∴　6+27x＜6+27y　 （不等式的基本性质1）． 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解答】解：6+27x＜6+27y．理由如下： ∵x＜y， ∴27x＜27y， ∴6+27x＜6+27y． 故答案为：＜． 18．有一个数学游戏，如图10，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照B→C（或C→B）的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以﹣2”的运算得出结果﹣6． （1）将﹣2按照A→B→C→A的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； （2）将一个大于3的数按照A→C→B→A的顺序进行运算，发现运算结果总小于1．请验证这个结论． 【分析】（1）根据A→B→C→A列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先根据A→C→B→A的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可． 【解答】解：（1）根据题意列式为：（﹣2+1）×（﹣2）﹣3 ＝﹣1×（﹣2）﹣3 ＝﹣1． （2）设这个数为x，则（x﹣3）×（﹣2）+1＝﹣2x+7． ∵x＞3， ∴﹣2x+7＜1． 19．（1）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果a﹣b＜0，那么a　＜　 b； ②如果a﹣b＝0，那么a　＝　 b； ③如果a﹣b＞0，那么a　＞　 b． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”； （2）请运用上述这种方法尝试解决下面的问题： ①比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小； ②若 2a+2b﹣1＞3a+b，比较a，b的大小． 【分析】（1）①根据不等式性质即可解答；根据等式的性质即可解答；③根据不等式性质即可解答； （2）①直接运用作差法进行比较即可；②先根据作差法列出不等式，然后根据不等式的性质确定a、b的大小即可． 【解答】解：（1）①如果a﹣b＜0，a﹣b+b＜0+b，那么a＜b； 故答案为：＜； ②如果a﹣b＝0，a﹣b+b＝0+b，那么a＝b； 故答案为：＝； ③如果a﹣b＞0，a﹣b+b＞0+b，那么a＞b； 故答案为：＞； （2）①∵4+3a2﹣2b+b2﹣（3a2﹣2b+1）＝b2+3＞0， ∴4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1； ②∵2a+2b﹣1＞3a+b ∴2a+2b﹣1﹣3a﹣b＞0，即﹣a+b﹣1＞0 ∴b﹣a＞1＞0 ∴a＜b． 20．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐（m＞n＞0），则盐水的浓度为．加入a克（a＞0）水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克（a＞0）水”改为“加入a克（a＞0）盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为　　 ，由此得到新的不等式　　 （用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在△ABC中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【分析】（1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【解答】解：（1）由题意得，， 故答案为：＜； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 故答案为：；； （3）∵在△ABC中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴x＞0，y＞0，z＞0， ∴，，， ∴； ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$