专题8.4 空间直线、平面的平行与垂直（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题8.4 空间直线、平面的平行与垂直 【考点1：线面平行的判定与性质】 1 【考点2：面面平行的判定与性质】 8 【考点3：线面垂直的判定与性质】 15 【考点4：面面垂直的判定与性质】 23 【考点1：线面平行的判定与性质】 【知识点：线面平行的判定与性质】 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行) l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b [方法技巧] 判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．　　 [易错提醒] 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．　　 1．（2025高三下·湖北·期中）已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 【答案】或. 【分析】利用线面平行的判定定理可推导出结论. 【详解】当时，由得； 当时，满足题中条件. 综上，直线与平面的位置关系是或. 故答案为：或. 2．（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】B 【分析】应用线面平行的性质定理分别得出及即可判断. 【详解】因为平面，平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，且平面平面，所以， 因此. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，由平行四边形可得，进而可得平面，然后根据由直线与平面平行的性质可得． 【详解】如图所示，连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，平面，且平面， 所以． 4．（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可. 【详解】如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在中，点G，F分别为PD，AP的中点， 且. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 且， 且. 四边形是平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明平面，利用线面平行的性质可得，从而可证平面. 【详解】因底面为平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因平面平面，平面，故， 因平面，平面， 故平面． 6．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 7．（2025高三·全国·专题练习）在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接BD，由中位线性质及线面平行的判定即可证结论. 【详解】 如图，连接BD，则BD与AC交于点O， O是BD的中点，E是的中点， ， 平面，平面， 平面． 8．（2025高一下·云南昭通·阶段练习）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线定理得到，，进而证明平行四边形，再结合给定条件得到，证明菱形即可. （2）利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理求解即可. 【详解】（1）由题意得分别是空间四边形的边的中点， 则是的中位线，是的中位线， 由中位线定理得，且， 同理可得，，因为，所以， 因为，，所以，故四边形为平行四边形， 因为，所以四边形是菱形． （2）由上问得，而平面，且平面， 得到平面，故平面． 9．（2025高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 【考点2：面面平行的判定与性质】 【知识点：面面平行的判定与性质】 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行) a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b [方法技巧] 判定面面平行的四种方法 (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．　　 1．（2025高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明平面平面．即可证，同理可证，即可证明结论. 【详解】四边形是平行四边形，． 平面，平面， 平面，同理，可证得平面． 平面，平面，且， 平面平面． 又平面平面，平面平面， ．同理可证．四边形是平行四边形． 2．（2025高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）根据面面平行的判定，先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线特征可得线面平行，进而得到面面平行． 【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点， 则有∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面， 同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 3．（2025高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】结合正四棱台的几何特征，根据面面平行的判定定理，即可证明结论. 【详解】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，． 由题意知，．平面，平面， 平面．又，，． 又E，F分别是AD，AB的中点，，则， ．． 又，．四边形为平行四边形．． 平面，平面，平面． ，，平面，平面平面． 4．（2025·重庆·模拟预测）正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点为，连接，确定平面平面 ，得到的轨迹是线段,即可求解. 【详解】取的中点为， 连接， 由中位线易知， 又在平面 内，不在平面 内， 所以平面 ，平面 ， 又是平面内两条相交直线， 所以平面平面 ， 又 平面 ， 所以在平面内，又 是侧面 内一点， 所以的轨迹是线段, 易知, ， 所以 长度的取值范围是. 故选：C 5．（多选）（2025·浙江温州·二模）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】BD 【分析】根据线面、面面平行的判定定理与性质，结合反证法，由选项依次证明即可. 【详解】如图，过点作交于点，连接，即有平面， 由于，所以， 若，则，又平面，平面， 所以平面，由平面， 得平面平面，又平面，所以平面，故B正确； 若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确； 假设平面，设平面，则， 若平面，平面平面，所以， 反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误； 若，可能，也可能与相交． 若与相交，由知延长必与、交于同一点， 由几何关系知与不平行，故A、C错误． 故选：BD 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过线线平行得到平面平面，进而证明平面. 【详解】如图，取的中点，连接. ∵分别是棱的中点，∴. ∵，∴. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. 7．（2025高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【考点3：线面垂直的判定与性质】 【知识点：线面垂直的判定与性质】 直线与平面垂直的判定定理与性质定理：　　 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b [方法技巧] 证明直线与平面垂直的方法 (1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)； (2)判定定理(常用方法)； (3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)； (4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)； (5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．　　 1．（2025·福建厦门·三模）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为的中点，则即为所在直线，判断与是异面直线，即可判断A；由，与不垂直，即可判断B；由条件可证得平面，而，可得平面，从而，即可判断C，D. 【详解】设为的中点，连接， ∵为的中点，为的中点，∴， 又∵，∴， ∴四点共面， ∴平面与平面的交线为，则即为所在直线， ∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误； ∵，而在直角中，，则与不垂直， 故与不垂直，即与不垂直，故B错误； ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，又， ∴平面，即平面， ∵平面，∴，故C错误，D正确， 故选：D. 2．（2025高三下·广东广州·阶段练习）已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定与性质证得根据等腰三角形的性质与勾股定理求出矩形的面积，再利用三棱锥的体积公式即可得出的答案. 【详解】在矩形中，有， 因为平面， 所以平面，则平面， 因为平面，所以 在中，，，则， 又因为为边的中点，所以， 易知， 因为 所以，则，因为， 则， 在中，， 则矩形的面积为. 因为平面， 所以平面，所以多面体的体积为： . 故选：A. 3．（多选）（江苏省新高考基地学校2025届高三第二次大联考数学试题）在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】根据题意作图，利用中位线的性质证得四边形是平行四边形即，可直接判断A；利用线面平行的判定定理可证明并判断B；利用等边三角形的性质可证明并判断C；利用线面垂直的性质和判定定理可判断D. 【详解】 如图，取中点，连接， 分别是和的中点，四棱锥是正四棱锥， 且，即四边形是平行四边形， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，是中点，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D，连接交于点，连接， 因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，， 因为平面，平面，所以， 则由，，平面平面，可证得平面， 又因为，所以与为异面直线， 如果平面，则与题意矛盾，故D错误. 故选：BC. 4．（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的判定定理和线面平行的概念及异面直线的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由为矩形及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判断和性质有，最后应用线面垂直的判定证平面. 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 6．（2025高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： (1) (2)平面 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)根据正方体的性质，可得到，，利用线面垂直的判定定理得平面，从而得到； (2)由题知四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）在正方体中，平面，而平面， 所以， 又正方形中，，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）在正方体中,， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 7．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为菱形，. (1)求证：平面BDS； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案； （2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案. 【详解】（1）设AC与BD相交于点， 因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点. 又因为，所以平面BDS， 所以平面BDS. （2）因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则. 在中，，满足， 根据勾股定理逆定理可知，即. 由（1）知平面BDS，所以，. 在中，，则. 8．（2025高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，从而，异面直线所成的角即为，在中，由余弦定理求得余弦值； （2）由三角形相似得，再由底面，得，由线面垂直的判定定理得平面. 【详解】（1） 取中点，连接， 因为是的中点，是的中点，， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成的角，即为， 因为面，面，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2） 设， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为面，面，所以， 又因为平面，，所以平面. 【考点4：面面垂直的判定与性质】 【知识点：面面垂直的判定与性质】 平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α [方法技巧]　 面面垂直判定的两种方法与一个转化 两种方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β) 一个转化 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（    ） A．平面 B．∥平面 C．平面平面 D．平面∥平面 【答案】BC 【分析】利用反证法可判断A、D；由题设得到，再根据，结合线面平行的判定即可判断B；由面面垂直的判断即可判断C. 【详解】对于A，若，因为，所以，因为，所以，矛盾，所以A错误； 对于B，因为平面，所以，因为，且，所以，所以B正确； 对于C，因为平面，且，所以平面，所以C正确； 对于D，若平面，因为，所以平面，又平面，矛盾，所以D错误． 故选：BC. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，底面，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】首先根据线面垂直的定义可得，再结合三棱台的结构特征可得，即.根据线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】底面底面，. 又三棱台中,， ，，. ，平面，平面，平面. 又平面，所以平面平面. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.证明：平面底面.    【答案】证明见解析 【分析】由四棱锥的体积公式到高 ，取的中点为，由几何关系计算出，再由面面垂直的判定定理得到底面即可得证. 【详解】证明：设该四棱锥的高为， 则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，， 所以，     所以该四棱锥的高为即为，                       即底面， 又平面， 所以面底面.                            4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱柱中，，，，，求证：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】作出辅助线，由题知四边形为菱形，从而得到，结合得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直，从而证明出面面垂直. 【详解】在三棱柱中，四边形是平行四边形，而， 则平行四边形是菱形，连接， 如图，则有， 因为，，平面， 所以平面，而平面，则， 由，得，又，平面， 从而得平面，又平面，所以平面平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）在多面体中，已知，，且，．证明：平面平面．    【答案】证明见解析. 【分析】分别取，的中点、，连接、、，证得，结合，再根据线面垂直的判断定理，以及面面垂直的判断定理，即可求证． 【详解】如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，    因为且， 所以且 则四边形为平行四边形， 所以且， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 6．（24-25高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 7．（2025高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）通过平移可找到异面直线和所成角，再利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1） 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 8．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.4 空间直线、平面的平行与垂直 【考点1：线面平行的判定与性质】 1 【考点2：面面平行的判定与性质】 5 【考点3：线面垂直的判定与性质】 8 【考点4：面面垂直的判定与性质】 11 【考点1：线面平行的判定与性质】 【知识点：线面平行的判定与性质】 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行) l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b [方法技巧] 判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．　　 [易错提醒] 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．　　 1．（2025高三下·湖北·期中）已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 2．（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 3．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 4．（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 6．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 7．（2025高三·全国·专题练习）在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点．求证：平面． 8．（2025高一下·云南昭通·阶段练习）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 9．（2025高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【考点2：面面平行的判定与性质】 【知识点：面面平行的判定与性质】 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行) a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b [方法技巧] 判定面面平行的四种方法 (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．　　 1．（2025高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 2．（2025高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 3．（2025高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 4．（2025·重庆·模拟预测）正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·浙江温州·二模）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面； 7．（2025高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【考点3：线面垂直的判定与性质】 【知识点：线面垂直的判定与性质】 直线与平面垂直的判定定理与性质定理：　　 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b [方法技巧] 证明直线与平面垂直的方法 (1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)； (2)判定定理(常用方法)； (3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)； (4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)； (5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．　　 1．（2025·福建厦门·三模）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三下·广东广州·阶段练习）已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（江苏省新高考基地学校2025届高三第二次大联考数学试题）在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 4．（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 6．（2025高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： (1) (2)平面 7．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为菱形，. (1)求证：平面BDS； (2)若，求四棱锥的体积. 8．（2025高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 【考点4：面面垂直的判定与性质】 【知识点：面面垂直的判定与性质】 平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α [方法技巧]　 面面垂直判定的两种方法与一个转化 两种方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β) 一个转化 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（    ） A．平面 B．∥平面 C．平面平面 D．平面∥平面 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，底面，且.证明：平面平面. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.证明：平面底面.    4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱柱中，，，，，求证：平面平面 5．（2025高三·全国·专题练习）在多面体中，已知，，且，．证明：平面平面．    6．（24-25高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 7．（2025高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 8．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$