2.2 函数的单调性、奇偶性（精练）（试卷版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

2.2 函数的单调性、奇偶性（精练试卷版） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2024·北京）下列函数中，在为增函数的是（       ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（2025江西抚州）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024内蒙古赤峰）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 6.（2025江苏）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间上单调递增且图象关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（    ） A． B．或 C．是上的增函数 D．是上的增函数 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025甘肃）已知函数，则不等式的解集为 ． 13．（2025湖北）已知函数的最大值为，最小值为，则 14（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15（2025高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4). 16（24-25 上海·阶段练习）已知函数； (1)判断函数的奇偶性，并按定义证明： (2)判断函数，的单调性，并按定义证明； 17．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，． (1)求时，函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18（2025山西吕梁·阶段练习）已知，都是定义在R上的函数，对任意实数x，y恒有. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)若，，，且在上单调递减，求不等式的解集. 19．（23-24上海）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 函数的单调性、奇偶性（精练试卷版） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2024·北京）下列函数中，在为增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确故选：D． 2．（2025·宁夏）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数为偶函数，且为奇函数， 可知为奇函数，则， 即，整理得， 因为，可得， 即函数为偶函数，等价于， 显然是的真子集， 所以“”是“函数为偶函数”充分不必要条件. 故选：A. 3（2025江西抚州）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上是减函数， 当时，恒成立， 而函数在区间上不单调，因此，不符合题意， 当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减， 因此，并且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 4．（2024内蒙古赤峰）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故在R上单调递减，所以，解得：故选：D. 5．（2025·北京）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】注意到定义域为全体实数，且， 所以是上的偶函数，从而， 因为在上单调递增，所以关于在上单调递减， 而，所以.选：B. 6.（2025江苏）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得的定义域为， 又，故为偶函数， 而当时，易知单调递增， 而对于，在上恒成立， 所以在上也单调递增， 故在上单调递增， 则由，得，解得或. 故选：D. 7.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，求导得， 函数在R上单调递增，由，得， 即，则，因此，解得， 所以所求的取值范围是. 故选：C 8（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，函数可化为， 函数在上单调递增，不满足条件，排除A， 对于B，设， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数， 即函数为奇函数，不满足条件，排除B； 对于D，设， 则当时，，当时，， 因为，， 所以函数在上不单调递减，不满足条件，排除D， 对于C，设， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 因为，由幂函数性质可得函数在上单调递减， 故函数为偶函数，且在上单调递减，C正确； 故选：C. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，函数的定义域为，显然该函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数的定义域为R，都是奇函数，也都是增函数， 因此在R是奇函数，又是增函数，B是； 对于C，函数的定义域为R，，即函数是偶函数，C不是； 对于D，函数的定义域为R，， 即函数是奇函数，且当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，因此函数在R上单调递增，D是. 故选：BD 10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间上单调递增且图象关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】的定义域为，在区间上单调递增，但， 即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A错误； 的定义域为，在区间上单调递增， 且，∴是偶函数，其图象关于轴对称，即B正确； 的定义域为，在区间上单调递减，C错误； 的定义域为，在区间上单调递增，且， ∴是偶函数，其图象关于轴对称，即D正确. 故选:BD. 11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（    ） A． B．或 C．是上的增函数 D．是上的增函数 【答案】AC 【解析】在中， 令，得，即． 因为函数为非常数函数，所以，A正确． 令，则． 令，则，① 令，则，② 由①②，解得，从而，B错误． 令，则，即， 因为，所以，所以C正确，D错误． 故选：AC 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025甘肃）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 与均为上的增函数，为上的减函数， 为定义在上的增函数； 由得：， ，解得：，的解集为. 故答案为：. 13．（2025湖北）已知函数的最大值为，最小值为，则 【答案】2 【解析】， 令，则， 即为奇函数，图象关于原点对称， ， ，，且， ，则． 故答案为：2． 14（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 【答案】(或) 【解析】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15（2025高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 (4)奇函数. 【解析】（1）由得，解得，即函数的定义域为，从而. 因此且，函数既是奇函数又是偶函数. （2）由得定义域为，关于原点对称. ，，. 又， 函数为奇函数. （3）显然函数的定义域为，关于原点对称. 当时，，则； 当时，，则； 综上可知：对于定义域内的任意，总有，函数为奇函数. （4）显然函数的定义域为，，故为奇函数. 16（24-25 上海·阶段练习）已知函数； (1)判断函数的奇偶性，并按定义证明： (2)判断函数，的单调性，并按定义证明； 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析 (2)函数在为减函数，证明见解析 【解析】（1）函数为奇函数， 由，所以函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数； （2）函数在为减函数， 对任意的，且， ， 因为，在上为增函数， 所以，， 所以， 所以函数在为减函数. 17．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，． (1)求时，函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，则， 时，． ， 是定义在R上的奇函数， ， 故，； （2）等价于， 时，单调递减， 又为定义在R上的奇函数，故在R上为减函数， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需， ，， ， ，即实数的取值范围是． 18（2025山西吕梁·阶段练习）已知，都是定义在R上的函数，对任意实数x，y恒有. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)若，，，且在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) 【解析】（1）是偶函数， 证明如下： 因为的定义域为R，所以对，都有. 令，则， 所以. 令，则， 所以，即，故是偶函数. （2）令，则， 由不等式得， 所以， 即， 所以， 化为，且在上单调递减， 由偶函数的性质与单调性可知，， 解得， 故不等式的解集为. 19．（23-24上海）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. （2）由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. （3）由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$