2.1 函数及其表示（精讲）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

2.1 函数及其表示（精讲） 考向一 具体函数的定义域 【例1】（1）（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为 （2）（2025·陕西）函数的定义域为 【一隅三反】 1.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 2.（2025四川乐山·期中）函数的定义域为 ． 3.（2025北京）函数的定义域是 . 4.（2025·上海）函数的定义域为 . 考向二 抽象函数定义域 【例2】（1）（2025广东）设函数，则函数的定义域为 （2）（24-25四川）已知函数的定义域是，则的定义域是 【一隅三反】 1．（23-24辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·江苏）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 3（23-24湖北）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考向三 已知定义域求参数 【例3-1】（24-25福建）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3-2】（24-25贵州）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（24-25山东济宁）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（24-25上海）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 4．（2025·上海）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 考向四 函数的解析式 【例4】（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)是一次函数，且满足，求的解析式； (4)已知满足，求的函数解析式. （5）设函数对任意都满足，试求出． 【一隅三反】 1.（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 2.（24-25云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3.（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式． (2)已知是一次函数，且，求； (3)定义在区间上的函数满足，求的解析式． （4）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式 （5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式 （6）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式 考向五 相等函数的判断 【例5】（24-25天津）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 【一隅三反】 1.（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 2（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列函数属于同一函数的是：（     ）. A． B． C． D．以上均不正确 考向六 分段函数 【例6-1】（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【例6-2】（2025·广西柳州·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例6-3】（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 【一隅三反】 1.（24-25湖南娄底·阶段练习）已知，则等于（    ） A． B．4 C． D．3 2．（广东省冮门市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 3.（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 . 考向七 函数的值域 【例7】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)．（5） (6)；(7) 【一隅三反】 1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025黑龙江）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） 考向八 已知值域求参数 【例8-1】（23-24广东梅州）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【例8-2】（23-24云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知且，函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 函数及其表示（精讲） 考向一 具体函数的定义域 【例1】（1）（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为 （2）（2025·陕西）函数的定义域为 【答案】（1）（2）且 【解析】（1）由，即，即，解.所以函数的定义域为. （2）由题意得 ，则函数定义域为 且.故答案为且. 【一隅三反】 1.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】对于函数，有，解得，故函数的定义域为.故答案为：. 2.（2025四川乐山·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】的定义域满足，解得，故定义域为，故答案为： 3.（2025北京）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】要使函数有意义，则满足：，解得：所以函数的定义域为. 故答案为： 4.（2025·上海）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由，得，解得.所以函数的定义域为. 故答案为：. 考向二 抽象函数定义域 【例2】（1）（2025广东）设函数，则函数的定义域为 （2）（24-25四川）已知函数的定义域是，则的定义域是 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由题意得，，解得函数满足，解得，即函数的定义域为. （2）因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以，所以函数的定义域为. 【一隅三反】 1．（23-24辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为，所以满足，即， 又，即，所以，解得.所以函数的定义域为.故选：D. 2.（2025·江苏）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得，因此，函数的定义域为.故选：C. 3（23-24湖北）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.故选：A. 考向三 已知定义域求参数 【例3-1】（24-25福建）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题得，解得，函数的定义域为，故，.故选：B 【例3-2】（24-25贵州）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是.故选：C 【一隅三反】 1.（24-25山东济宁）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得，综上，， 由于为的真子集，故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.故选：A 2.（24-25上海）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为， 所以对任意的恒成立， 当时，不等式变形为，解得，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 所以，解得， 综上所述：函数的定义域为，则的取值范围； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误； 所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确； 所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误. 故选：C. 3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 【解析】函数，故，即函数的定义域为，故. 故答案为：2； 4．（2025·上海）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立， 设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x； 令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线； 由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示； ∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0， 解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]． 考向四 函数的解析式 【例4】（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)是一次函数，且满足，求的解析式； (4)已知满足，求的函数解析式. （5）设函数对任意都满足，试求出． 【答案】(1)，(2)， (3) 或(4)（5） 【解析】（1）设，，则，， ，.即，. （2），，. （3）因为是一次函数，所以设，所以， 又因为，所以，故解得或 所以或. （4）将代入，得，因此解得. （5）令代入条件得出，∴． 令代入条件得出，∴． 再令，则有，而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得． ∵，． ∴，于是． 令，有，∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴，∴，即为所求． 【一隅三反】 1.（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以．故选：D. 2.（24-25云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，且，代入原式得， 故的解析式为.故选：C. 3.（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式． (2)已知是一次函数，且，求； (3)定义在区间上的函数满足，求的解析式． （4）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式 （5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式 （6）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式 【答案】(1)(2)或(3)（4）f（x）= （5）f(x)＝ln x＋1（6）x2－2(|x|≥2) 【解析】（1）由，则； （2）设，则， 所以，解得或，所以或． （3）对任意的有，由，①得，② 联立①②解得，． (4因为函数的定义域为，为偶函数， 所以，即， 又为奇函数，所以，即， 所以，解得.故答案为： (5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值． 设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋1， （6）f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2). 考向五 相等函数的判断 【例5】（24-25天津）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 【答案】B 【解析】对于A，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为定义域为， 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为定义域为, 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 【一隅三反】 1.（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，易知的定义域为，而的定义域为， 两函数定义域不同，可知A错误； 对于B，显然的定义域为， 而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误； 对于C，两函数定义域均为，但的值域为， 而的值域为，两函数值域不同，即C错误； 对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确. 故选：D 2（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】A中，的定义域为，的定义域为，故A错误； B中，，B正确； C中，的定义域为，的定义域为，故C错误； D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误． 故选：B. 3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列函数属于同一函数的是：（     ）. A． B． C． D．以上均不正确 【答案】C 【解析】A选项，无意义，，故两函数定义域不同，错误； B选项，的定义域为，的定义域为，错误； C选项，由解析式可知两函数定义域都是相同，约分后与相同，C正确. 故选：C 考向六 分段函数 【例6-1】（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【解析】由题意可得.故答案为：. 【例6-2】（2025·广西柳州·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，则.故选：C. 【例6-3】（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 【答案】A 【解析】若，即，可得，解得：，符合； 若，即，可得，解得：，符合；综上可知：的值为0或， 故选：A 【一隅三反】 1.（24-25湖南娄底·阶段练习）已知，则等于（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【解析】，故选项C正确. 故选：C. 2．（广东省冮门市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【解析】由题意， .故选：B. 3.（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 . 【答案】2 【解析】由题意知，当时，，解得； 当时，，解得，与矛盾，此时无解.所以.故答案为：2 考向七 函数的值域 【例7】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)．（5） (6)；(7) 【答案】(1)(2)(3)(4) （5）(6)；(7) 【解析】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由，∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为，， 即，∴，即函数的值域为； （4）由，得，∴所求函数的值域为． （5）设，则     当时，的值域为 （6）因为，所以， 令，根据对勾函数的单调性可知在上是严格递增函数， 所以，所以，所以，所以的值域为. （7）函数， 当时，； 当时，， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 【一隅三反】 1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，显然取尽正实数，因此的值域是，A不是； 对于B，，则，即，函数的值域为，B不是； 对于C，的值域为R，因此的值域为，C是； 对于D，由于，则且，即函数的值域为，D不是. 故选：C 2.（2025黑龙江）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）. 【解析】（1）， ∴的值域为. （2）设（），则原函数可化为. 又∵，∴，故， ∴的值域为. （3）， ∵，∴， ∴函数的值域为. （4）设，则， ∴原函数可化为，∴， ∴原函数值域为. （5）， 当时，，当时，，∴，∴函数值域为. （6）∵恒成立，∴函数的定义域为. 由得：    ① ①当，即时，①即，∴， ②当，即时，∵时，方程恒有实根， ∴，∴且， ∴原函数的值域为. 考向八 已知值域求参数 【例8-1】（23-24广东梅州）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 【例8-2】（23-24云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 【例8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知且，函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时， 当时，，当时， 在上单调递增，在上单调递减， ，易知当时，， 在上的值域为． 在上的值域为当时，的值域必须包含， ，. 故选：C． 【一隅三反】 1．（23-24福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 2．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 3．（23-24四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 4．（23-24福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 1 学科网（北京）股份有限公司 $$