四川省泸州市2025届高三第三次教学质量诊断性考试数学试题

高2022级泸州三诊答案及评分标椎细则 选择题： 题号 1 2 3 7 8 9 10 11 答案 B D B AC ACD ABD a 二、填空题： 12.22: 13.144: 14. 三、解答题： 15.解：(I)依题意，2×2列联表如下： 数学成绩 A班 B班 总计 优秀 22 32 54 不优秀 28 18 46 总计 50 50 100 小小小4分 X=100x(2x18-28x32y 4.026>3.841,…5分 54×46×50×50 所以有95%的把据认为成绩是否优秀与课改研究有关： 6分 Ⅱ)由(I)可知：A,B两班成绩在110分以下的学生中，A班有16人，B班有8人， 所以应从A班抽取16× 6 =4人，B班抽取8×6 =2人，X的所有可能取值为0,1， 24 4 2 ……7分 则PX=0=S 1 …8分 P(X=1)=- CC 8 …9分 10分 则随机变量X的分布为 X 0 1 2 1 2-5 X的数学期望E(X)=0× 8 24 +2× …13分 15 53 16.解：(1)当a=2时，f(x)=(x-1)e-x2， ………1分 f"(x)=xe-2x=x(e-2) …2分 由(x)>0得：x<0或x>n2,…4分 所以f(x)在(-，0)，(n2,+)上单调递增，在0，ln2)上单调递减，5分 所以当x=0时， fx)有极大值f(O)=-1: *+6分 (l)f(x)=xe-四=x(e2-a),…7分 则随机变量X的分布为 X 0 1 2 P 2-5 X的数学期望E(X=0× 2x24 *1x8 15 15 53 16.解：(1)当a=2时，fx)=(x-1e-x2, f(x)=xe'-2x=x(e*-2) 42分 由f(x)>0得：x<0或x>n2,…+…4分 所以fx)在(-0,0)，（血2，+0）上单调递增，在(0，n2)上单调递减，…5分 所以当x=0时， f(x)有极大值f(0)=-1:……6分 ()f(x)=e3-a四=x(e-a,44…7分 (Ⅱ)f'(x)=e-=3x(e5-a）,…7分 因为函数f(x)在(0，+0)有最小值，所以na>0,…8分 且f(x)在(0，na）上单调递减，(na,+o)上单调递增，…9分 所以当x=na时，f(x)在(0，+∞)上有最小值，44…10分 由已知得：f仙a=仙a-加-aa或>-g,1分 解得：0<lna<2,所以1<a<e2, 实数a的取值范围是1，e2), 17.证明：(I)由己知，四边形ABCD是直角梯形，…1分 设AD=1,则AB=1,BC=2AD=2, …2分 又BLBC,可得BD=5,∠ABD=牙所以∠DBC= 4 …3分 在△BDC中， DC2=(N2}2+22-2x2×2c0s=2,即D0=2,…4分 所以△BCD是等腰直角三角形，BD⊥DC,……………5分 又因为PB⊥CD,PB∩BD=B,BDC平面PBD,PBC平面PBD, CD⊥平面PBD,CDC平面ABCD,…6分 所以平面PBD⊥平面ABCD:…7分 (Ⅱ)取BD中点O,连接PO,OC,由(I)知平面PBD⊥平面ABCD, 又平面PBD∩平面ABCD=BD, 因为PB=PD,所以PO⊥BD,所以PO上平面ABCD,…8分 三诊数学参考答案第2页共6页 取BC的中点F,则0F1/DC,即OF上BD,…9分 由题意得OP=√5，BC=2AD=2√2，因此，以OB,OF,OP所在的直线分别为x,y, :轴建立空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(1,0,0),P(0.0,V3),设点E(-1,元，0)0≤A≤2)， 则PA=(0,1,3),PB=(L,0,-3),BE=(2-2.0),…11分 设平面PAB的一个法向量为m=(x,上)， 则+：=0，取m=5.-5..…12分 x-3:=0 设平面PBE的一个法向量为n=(化，只，)： [2r-y=0 则 取n=(W25 +…44……13分 x-√3=0 13-6+1 由已知得： +*+*14分 12 ,3+ 14 解得：=1，或，因为点E在棱CD上，所以DE=.…15分 18(1)解：因为a,+S=n+2.令n=1.得a=分 3 44444444…1分 因为an+Sn■n+2, 18(1)解：因为a,+S=n+2,令n=1,得4= 因为a,+S=n+2, 当n≥2时，a4+S4=(n-)+2,…2分 两式相减得；20，=04+1，…3分 所以a-1=支a-lm≥2刃， …4分 所以数列{a。-1是以首项为a-1=。,公比为二的等比数列，…5分 所以6=1=分： 44…6分 (Ⅱ)(1)因为Cn=og1,所以e,=log(y=n,…7分 d=n+2 ,n为奇数， …8分 m子内偶数 所以4=方d=血 …9分 设=-sm0<r<孕， 则fx)=1-c0sx,当0<x<时，f)>0,…10分 所以)在0孕上单调递增，>0=0， 即当0<x<时，X>sin,…11分 2 所以d=sin是<1<1 "66元，即4<：…12分 1 (ii)当n为奇数时，因为0< ≤<行，由1)知sim元2 222 所以Tn=(d+d+…+dn)+(d+d4+…+dn) n×(n+2) …13分 人 4 和- n-1 51_(2<2； …15分 62n+434 当n为偶数时， Tn=(d+d3+…+dn-)+(d2+d+…+dn) (n-1)×(n+1) 10- 22n+2 62n+234 17分 19. 解：(1)双曲线C的右顶点为(a,0),其渐近线方程为y=±x,由题意得： ab。 6 V后+b3 4…2分 41 解得：石2=2，b=1,… …4分 所以C的方程为号-广=1： 6 (Ⅱ)(1)设直线1的的方程为：y=x-2,代入二-y广=1消去y整理得： 0-2k2)x+8k2x-8k2-2=0,4…6分 设M(,),N(s) -8k2 -8k2-2 则写+名“2浓码 1-2k2 因为MW=+e1x-名=+F.i6+8 1-2…8分 =k-2,代入号-少=0消去整理得：1-2水x+8x-82=0, -8k2 -8k2 设40..)，则无+美二2F12F9分 |AB=+1s-x=+k 32k* 11-2k21" [y=k(x-2) [y=k(x-2) 《或由2。得张 y= -r 2 、5· 2 *5, 2 14BE+x+ .32k2 11-2k, 因为业=4，所以B-4,所以 32k 4 SAONN 3 MN 3 6k2+83 10分 所以k=2, 即直线1的方程为2x-y-4=0,2x+y-4=0: ……11分 (i)方法一：设R,)，因为M0=QN 所以(2-x,-)=g-2,为)，即片+为=0，x+x=2+2入，…12分 M派=-N,所以（比-，-）=-(63-，为2-%)，…13分 即y-y=片-%，书-x=-x。, -=1 1) 又 2 ,小小小小小4小小小…14分 2-为2=1 (2) > )-12×(2)得： 医+--0+X0-)=+0-),…15分 2 即0+(。-1x)=1+2)0-), 由题可知2≠-1，所以。一x=1-2,即(x。-11-)=0,…16分 由题可知无≠1，所以x=1,点R的轨迹方程是直线 =lyt士y2.7f 2 方法二：因为M0=N,所以2-x=5-2),即1-2=5 ,…13分 5-2 设R(x%),因为M派=-N，所以。一名=-(g3-x),…14分 所以5=5-x5-2 26-26+ …15分 1-1-2- (+)-4 53-2 2-842-2 =123-2 -8k -8k2 -2=1, 小…16分 -2k)4 所以，点R的轨迹方程是直线x=0华土 )。小…17分 2泸州市高2022级第三次教学质量诊断性考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至4 页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅 笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均 无效。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知集合A=y川y=-x+},B=y川y=2},则A∩B= A.{0,D)} B.(0,+o C.[0,+o D. 2.已知复数z满足(z+i)1+)=2,则z= A.1-i B.1+i C.1+2i D.1-2i 3.(:2-的展开式中，常数项等于 A.-15 B.15 C.-20 D.20 4.已知sina+2cosa=0,则c0s2a= B月 5.已知函数f(x)=og2(4+1)+a]cosx,对eR满足f(-x)=f(x)恒成立，则a的值为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 三诊数学第1页共4页 6.已知函数f=si加(@x-(@>0)的图象关于点(，0)对称，且在0，牙上为增函数， 则@的 值为 A封 B.1 C. 3-2 D.2 7.已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为7π，则该圆台的外接球的表面积为 A.5π B.13元 C.20π D.25π 8.已知椭圆C: 三+长=1a>b>0)的焦点分别为R,乃，过R的直线与C交于P,两点 若PR上212rl,且∠QPR=7,则C的离心率为 A.5 c.5 9 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知10个互不相同的样本数据为，，…，0的平均值为x,则关于新样本数据名，为，…，名o,x, 下列说法正确的是 A.极差不变 B.平均数变大 C.方差变小 D.中位数变小 10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点D(4,0)的直线1与抛物 线C交于A,B两点，则下列说法正确的是 A对任意直线，均有∠40B-牙 B.若|AD=2|BD,则|AF|+|BF卡11 C.△OAB面积的最小值为16 D.以AB为直径的圆与C的准线不可能相切 11.若函数y=f(x)的图象上存在k个不同点R,B,,B(化≥2，k∈)，且在这k个点处的切 线的斜率相等，称该函数y=()存在k点切线，则下列说法正确的是 A,函数f(x)=si血xcosx存在k点切线 B.函数因存在k点切线 C.若函数y=f(x)为单调函数，则该函数不存在k点切线 D。若函数四=血：+兰子存在3点切镜，则a的取值范图是6，网 三诊数学第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 注意事项： (1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确 认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效， (2)本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知向量a,b满足引a=1,1b=2,且la-b上√2，则|a+b上 13,某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打 击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同 的排法种数为 二·（用具体数字作答） l4.在△ABC中，若sinB=sin AsinC,则tanB的最大值为 四、解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某校课题组在高一年级选取A,B两个班级，开展“数学问题深度学习”的研究，其中A班为 常规教学班，B班为课改研究班，两个班级的人数分别为50人，在某次数学测试后，对A,B两班 学生的数学成绩（单位：分）进行整理，分数分布在[90,150]内，按照[90,100)，100,110)，110,120)， [120,130),[130,140),[140,150]分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于120分为不优 秀，大于或等于120分为优秀： 器 0.028 0.024 0.024 0.020 0.020 0.016 0.016 0.012 0.012 0.008 0.008 0.004 0.004 0100110120130140150分数 90100110120130140150分数 A班 B班 (I)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并根据相关数据判断，能否有95%的把握认为 成绩是否优秀与课改研究有关？ 数学成绩 A班 B班 总计 (Ⅱ)对A,B两班成绩在110分以下的学生，按 优秀 照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再 不优秀 从抽取的这6人中随机抽取2人，记X为抽取的2人中 总计 来自A班的人数，求X的分布列和数学期望， a 0.1 0.05 0.025 0.01 n(ad-be)2 附：父=a+b)jc+a(a+e)b+可' n=a+b+c+d. 2.706 3.841 5.024 6.635 三诊数学第3页共4页 16.(本小题满分15分) 已知函数a=c-e-r2. (I)当a=2时，求fx)的极大值： ()若f(x)在(0，+∞)有最小值，且最小值大于-a,求a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD/IBC,BC=2AB=2AD,AB⊥BC,PB⊥CD. (I)证明：平面PBD⊥平面ABCD: (I)若△PBD是正三角形，AB=√2，点E是棱CD上的动点，当平 面PBA与平PBE的夹角的余弦值为Y时，求DE的长度。 14 18.(本小题满分17分) 已知数列{a}的前n项和为Sn(n∈N),且满足an+Sn=m+2,若b,=a-1. (I)求数列{b}的通项公式： [1,n为奇数， (Ⅱ)设cn=log1b,dn=cc+2 sinb,n为偶数. (i)试比较d,与d4的大小，并说明理由： (若数列日的前项和为，求运，工<名 19.（本小题满分17分) 已如双曲线子-茶-6>0的右现有到其新近线的E离为 ,点2，)在c上. 3 (I)求C的方程： (Ⅱ)过点O2,O)的直线1交双曲线C于M,N两点. (i)若1与C的渐近线交于点，B,且Sa业=4 (0是坐标原点)，求1的方程： (i)记M0=丽，若点R满足M派=-1丽，求点R的轨迹方程. 三诊数学第4页共4页