重庆市第二外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

重庆市第二外国语学校2024-2025学年春季学期半期考试 高2027级高一数学试题 （全卷共四大题，满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1.复数（为虚数单位）的虚部为（ B ） A. B. C. D. 2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ A ） A.若则 B.若则 C.若则 D.若则 3.的内角所对边分别为,若,则角的大小（ A ） A. B. C. D. 4.按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（ C ） A.腰和底边不相等的等腰三角形 B. 直角三角形 C.等边三角形 D. 三边互不相等的三角形 5.向量，，，在正方形网格中的位置如右图所示,若,则（ C ） A． B． C． D．3 6.是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（ B ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 7.如图为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线的是（ C ） A． B． C． D． 8.解放碑是重庆标志建筑物之一,存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度,设解放碑杯杯高为,在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点的仰角为,且,则解放碑的高约为（ D ）（参考数据：） A. B. C. D. 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案 【详解】由题知，设， 则， 又，所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9.已知向量，，则（ BCD ） A. 若与垂直，则 B.若，则 C.若，则的值为 D.若，则在方向上的投影向量坐标为 10.已知是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ AD ） A. B. 复数复平面内对应的点在第三象限 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 11.如图,在棱长为2的正方体中,为正方体的中心,为的中点,为侧面正方形内一动点,且满足∥平面，则（ ABD ） A.动点的轨迹是一条线段 B.直线与的夹角为 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过,,三点作正方体的截面,为截面上一点,则线段长度最大值为 【解析】 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹为线段GH.选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，从而可得到三棱锥的体积为定值.选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面， 从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】 对于A：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 所以点F的轨迹为线段GH，故A正确； 对于B:直线与的夹角为 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，平面平面，所以． 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12.已知向量，则向量的坐标___． 13.已知复数（为虚数单位）是关于的方程（为实数）的一个根，则___0___． 14.如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.已知单位向量的夹角为. （1）求； （2）求与的夹角. 【分析】（1）由数量积的运算可得；（2）由数量积的运算和夹角的运算可得； 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 因为，所以， 由（1）知， 设与的夹角为，则，因为，所以. 16.如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积. 【分析】（1）由圆柱的体积减去半球的体积即可求解．（2）分别求解圆柱下底面、侧面和半球面的面积，即可求解； 【小问1详解】 ．，所求几何体的体积为． 【小问2详解】 由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆柱下底面、侧面和半球面， 因为，，， ，故所求几何体的表面积为； 17.中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 18.如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明面面，即可证明平面； （2）假设在棱上存在点，使得面，由线面平行的性质定理即可得点为棱的中点. 【小问1详解】 在上取点，使得，连接， 在中，点、分别为、上的三等分点，则有 又面、面 由线面平行的判定定理：面 又且，∴四边形为平行四边形 则有，又面、面，∴面 由于面、面，，∴面面 又面，∴面 【小问2详解】 假设在棱上存在点，使得面,连接，交于 ∵面，面，面面 由线面平行的性质定理： 则在中，，易知， ∴，∴点为棱的中点，即 19.在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上,并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.） 在锐角中,的面积为,角所对的边分别为且选条件：___________________. (1)求角的大小； (2)如图所示，作(位于直线异侧),使得四边形满足,,求的最大值. 【详解】（1）选①根据正弦定理可知： ，展开化简得， 故，即； 选②根据正弦定理可得：， 根据余弦定理可得：，即； 选③根据向量点乘运算可得：，即. （2）如图，设，则， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得：可得， ， 因为是锐角三角形，所以 所以，当时，可得的最大值是. 重庆二外2024-2025学年春学期半期 高一数学试题第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第二外国语学校2024-2025学年春季学期半期考试 高2027级高一数学试题 （全卷共四大题，满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1.复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A.若则 B.若则 C.若则 D.若则 3.的内角所对边分别为,若,则角的大小（ ） A. B. C. D. 4.按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（   ） A.腰和底边不相等的等腰三角形 B. 直角三角形 C.等边三角形 D. 三边互不相等的三角形 5.向量，，，在正方形网格中的位置如右图所示,若,则（ ） A． B． C． D．3 6.是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 7.如图为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线的是（ ） A． B． C． D． 8.解放碑是重庆标志建筑物之一,存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度,设解放碑杯杯高为,在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点的仰角为,且,则解放碑的高约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9.已知向量，，则（ ） A. 若与垂直，则 B.若，则 C.若，则的值为 D.若，则在方向上的投影向量坐标为 10.已知是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数复平面内对应的点在第三象限 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 11.如图,在棱长为2的正方体中,为正方体的中心,为的中点,为侧面正方形内一动点,且满足∥平面，则（ ） A.动点的轨迹是一条线段 B.直线与的夹角为 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过,,三点作正方体的截面,为截面上一点,则线段长度最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12.已知向量，则向量的坐标______． 13.已知复数（为虚数单位）是关于的方程（为实数）的一个根，则_______． 14.如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.已知单位向量的夹角为. （1）求； （2）求与的夹角. 16.如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积. 17.中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 18.如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 19.在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上,并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.） 在锐角中,的面积为,角所对的边分别为且选条件：___________________. (1)求角的大小； (2)如图所示，作(位于直线异侧),使得四边形满足,,求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$