精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

七宝中学高二第二学期期中考试数学试卷 一、填空题（1－6题每小题4分，7－12题每小题5分，共54分） 1. 二项式展开式中的常数项是______. 2. 如果，，，的方差是，则，，，的方差为______. 3. 小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件：______. 4. 已知函数在点处切线的斜率为，倾斜角为，则______. 5. 已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 6. 若曲线在点处的切线方程为，则的值为________． 7. 将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是______. 8. 已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为__． 9. 在展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 10. 已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 11. 由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 12. 已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______. 二、选择题（13－14题每小题4分，15－16题每小题5分，共18分） 13. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 现有两组数据，第1组数据为，，，，，，第2组数据为，其中，是正整数.给出如下结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差大于第1组数据的方差.其中说法正确的是（ ） A. ①②； B. ①③； C. ①④； D. ③④. 15. 我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（ ） A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000 16. 已知函数的定义域为，则下゙列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上严格增函数，在区间上为严格减函数 D. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 三、解答题（共78分） 17. 如图，某密码锁共有12位拨盘，包含0到9共10个数字和“*、#”两个特殊符号，某人知道开锁密码按顺序为“6位数字+1位特殊符号（6位数字可重复）”.已知，当拨盘依次是907856#时，锁才能打开. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 0 # （1）如果该人记不得密码所包含6位数字和1位特殊符号，则一次打开锁的概率是多少？ （2）如果该人只记得密码的最后两位数字是56，则他一次打开锁的概率是多少？ 18. 25年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委主任雷海潮表示，将持续推进“体重管理年”行动.国家卫健委发布《成人肥胖食养指南（2024版）》显示，我国18岁及以上居民超重率、肥胖率分别达到和，居民肥胖率呈上升趋势.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是 . 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，根据年龄采用分层随机抽样方法抽取了50名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值如下： 老年组：21.8 18.2 25.2 28.1 21.5 19.1 25.7 24.4 17.6 20.8 中年组：20.5 20.2 17.4 21.6 18.4 20.3 30.8 23.6 23.3 22.8 20.8 16.8 19.0 16.4 18.7 26.1 20.2 17.6 15.4 21.5 19.5 31.6 19.1 20.4 13.9 青年组：18.6 16.6 15.9 18.3 18.1 29.7 18.9 16.9 25.8 19.8 18.5 16.0 17.6 19.1 26.5 根据上面的数据，请回答以下问题： （1）请完成下表，并绘制25名中年组员工的体重指数（BMI）的频率分布直方图； （2）分别求出以上老年组和青年组员工体重指数（BMI）的第30百分位数（精确到小数点后一位数字），并比较老年组和青年组员工在肥胖状况上的差异； （3）分析公司员工胖瘦程度的整体情况，并提出控制体重的至少两条建议. 25名员工的BMI值的频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率／组距 19. 已知函数，. （1）求单调区间； （2）若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 20. 已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合. （1）若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合； （2）若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数； （3）求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数. 21. 我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间，函数称为自映射函数.已知函数，. （1）判断时，函数是否为自映射函数.若是，请给出它的一个自映射区间；若不是，请说明理由； （2）若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； （3）若存在自映射区间，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七宝中学高二第二学期期中考试数学试卷 一、填空题（1－6题每小题4分，7－12题每小题5分，共54分） 1. 二项式展开式中的常数项是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到，求出常数项即可. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，则， 故常数项. 故答案为：. 2. 如果，，，的方差是，则，，，的方差为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两变量的线性关系，可知方差是关系. 【详解】因为的方差是， 所以的方差是， 故答案为： 3. 小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件：______. 【答案】选到一本2024年前出版的中文版的数学书 【解析】 【分析】根据并事件、交事件、对立事件的定义判断即可； 【详解】因为{选到一本数学书}，{选到一本中文版的书}，{选到一本2024年或2024年以后出版的书}， 所以{选到一本2024年前出版的中文版的数学书}． 故答案为：选到一本2024年前出版的中文版的数学书 4. 已知函数在点处切线的斜率为，倾斜角为，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】分子分母同时除以化弦为切，然后代入可得. 【详解】由题知，，，所以. 故答案为： 5. 已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】利用推出思想来判断充要性，非必要性时可以举反例. 【详解】在函数在区间上可导的条件下， 由“函数在区间上是严格增函数”一定可以推出“对任意的成立”，故满足充分性， 反之：例举，此时，满足“对任意的成立”， 但是此时不是严格增函数，故非必要性， 所以“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 6. 若曲线在点处的切线方程为，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：，又在点处的切线方程是， ． 考点：三角函数化简求值 ． 7. 将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正面次数多和反面次数多各占一半即可得解，或者利用二项分布概率公式求解即可. 【详解】因为正面出现次数和反面出现次数不可能相等， 将每一种正面出现次数多的结果的所有硬币翻转，即可得到反面次数多于正面次数的结果， 所以正面次数多和反面次数多各占一半，故所求概率为. 另解：记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为事件，则， 则抛掷5次硬币，正面出现的次数服从二项分布， 则正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为： . 故答案为： 8. 已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为__． 【答案】 【解析】 【分析】列举出的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案. 【详解】解：因为的定义域为，关于原点对称，值域为， 所以有，或，或 或，或，或， 共6种情况； 而当和时，满足是偶函数，有2种情况， 所以是偶函数的概率． 故答案为： 9. 在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 【答案】 【解析】 【分析】先将问题转化为各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案. 【详解】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 10. 已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 【答案】## 【解析】 【分析】利用超几何分布求概率，利用对钩函数单调性来求最大值即可. 【详解】根据题意可得：， 由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 而，所以比较 可知，所以， 故答案为：. 11. 由所有连续且在定义域内导函数存在全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】两边求导可判断①；设可判断②；举反例可判断③；设可判断④. 【详解】对①，若为奇函数，则， 两边求导得，即，所以为偶函数，①正确； 对②，不妨设，因为，所以为非奇非偶函数， 但为偶函数，②正确； 对③，不妨设，易知为减函数，但不是增函数，③错误； 对④，设，则单调递增，但在定义域上不单调，④正确. 故答案为：①②④ 12. 已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定数列中最大值为，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知条件得, 设，则， 因为函数，则， 所以 ， 若，则 由，得或或， 对应点, 由，得，对应点, 因此产生集合的集合中，点一定存在，至少有一个， 所以集合的个数为. 若，则, 由，得或， 对应点, 由，得或， 对应点, 因此产生集合的集合中， 点一定存在，至少有一个，至少有一个，至少有一个， 所以集合的个数为. 综上，集合的个数为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 二、选择题（13－14题每小题4分，15－16题每小题5分，共18分） 13. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件每次发生的概率是相等的，即可得出第99次抛掷出现反面的概率. 【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷一次，出现正面，还是反面，是随机事件，且是等可能的， ∴无论抛多少次，每一次抛掷出现反面的概率都为. ∴第99次抛掷出现反面的概率是. 故选：D. 14. 现有两组数据，第1组数据为，，，，，，第2组数据为，其中，是正整数.给出如下结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差大于第1组数据的方差.其中说法正确的是（ ） A. ①②； B. ①③； C. ①④； D. ③④. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据平均数，中位数，方差的公式计算即可判断. 【详解】第一组数据， 平均数为， 中位数为， 方差为， 第二组数据 平均数为 当时，，故①正确； 方差为， 所以，故④错误； 当时，，故②错误； 当时，第二组中位数为1,大于第一组的中位数，故③正确. 故选：B. 15. 我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（ ） A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，根据题意列出递推公式，求出通项，观察变化趋势可得. 【详解】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，则在二楼餐厅用午餐的学生人数为， 由题意可得，整理得， 当时，可得； 当时，数列是以为公比的等比数列， 所以， 一学期后足够大，此时趋近于0，此时趋近于900. 故选：C 16. 已知函数的定义域为，则下゙列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 D. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 【答案】B 【解析】 【分析】结合极大值的定义，举例说明判断ABCD. 【详解】对于A，函数的如图①所示， 显然函数满足条件，而是极大值点，故A错误； 对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值大于，如图②所示， 因此函数在处取不到极大值，B正确； 对于C，函数，函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，是的极大值点，C错误； 对于D，函数如图③所示， 函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，是的极大值点，D错误. 故选：B. 三、解答题（共78分） 17. 如图，某密码锁共有12位拨盘，包含0到9共10个数字和“*、#”两个特殊符号，某人知道开锁密码按顺序为“6位数字+1位特殊符号（6位数字可重复）”.已知，当拨盘依次是907856#时，锁才能打开. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 0 # （1）如果该人记不得密码所包含的6位数字和1位特殊符号，则一次打开锁的概率是多少？ （2）如果该人只记得密码的最后两位数字是56，则他一次打开锁的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算“6位数字+1位特殊符号”的样本空间中的基本事件总个数，再计算“试开一次就把锁打开”所包含的基本事件即可； （2）计算“4位数字+1位特殊符号”的样本空间中的基本事件总个数，再计算“试开一次就把锁打开”所包含的基本事件即可. 【小问1详解】 密码锁的每个拨盘上有从0到9共10个数字，即有10种可能取法， 开锁密码顺序为“6位数字+1位特殊符号”， 则样本空间中的基本事件的总个数是， 显然基本事件出现的可能性是相等的， 设事件表示为“试开一次就把锁打开”， 事件中的基本事件的只有一个， 故， 即试开一次就能把锁打开的概率是. 【小问2详解】 因为该人只记得密码的最后两位数字是56， 则样本空间中的基本事件的总个数是， 显然基本事件出现的可能性是相等的， 设事件表示为“试开一次就把锁打开”， 事件中的基本事件的只有一个， 故， 即试开一次就能把锁打开的概率是. 18. 25年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委主任雷海潮表示，将持续推进“体重管理年”行动.国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》显示，我国18岁及以上居民超重率、肥胖率分别达到和，居民肥胖率呈上升趋势.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是 . 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，根据年龄采用分层随机抽样方法抽取了50名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值如下： 老年组：21.8 18.2 25.2 28.1 21.5 19.1 25.7 24.4 17.6 20.8 中年组：20.5 20.2 17.4 21.6 18.4 20.3 30.8 23.6 23.3 22.8 20.8 16.8 19.0 16.4 18.7 26.1 20.2 17.6 15.4 21.5 19.5 31.6 19.1 20.4 13.9 青年组：18.6 16.6 15.9 18.3 18.1 29.7 18.9 16.9 25.8 19.8 18.5 16.0 17.6 19.1 26.5 根据上面的数据，请回答以下问题： （1）请完成下表，并绘制25名中年组员工的体重指数（BMI）的频率分布直方图； （2）分别求出以上老年组和青年组员工体重指数（BMI）的第30百分位数（精确到小数点后一位数字），并比较老年组和青年组员工在肥胖状况上的差异； （3）分析公司员工胖瘦程度的整体情况，并提出控制体重的至少两条建议. 25名员工的BMI值的频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率／组距 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先统计数据，再计算频率，最后画频率分布直方图即可； （2）按照百分位数概念来求解即可； （3）通过偏胖率和偏瘦率来分析各层次员工，然后给出健身锻炼和健康饮食的建议 【小问1详解】 分组 频数 频率 频率／组距 6 0.24 0.06 13 0.52 0.13 3 0.12 0.03 1 0.04 0.01 2 008 0.02 频率直方图如下： 【小问2详解】 老年组工体重指数（BMI）21.8 18.2 25.2 28.1 21.5 19.1 25.7 24.4 17.6 20.8, 从小到大排序为：17.8 18.2 19.1 20.8 21.5 21.8 24.4 25.2 25.7 28.1， 根据，所以老年组员工体重指数（BMI）的第30百分位数是， 青年组员工体重指数（BMI）18.6 16.6 15.9 18.3 18.1 29.7 18.9 16.9 25.8 19.8 18.5 16.0 17.6 19.1 26.5， 从小到大排序为：15.9 16 16.6 16.9 17.6 18.1 18.3 18.5 18.6 18.9 19.1 19.8 25.8 26.5 29.7， 根据，所以青年组员工体重指数（BMI）的第30百分位数是， 根据第30百分位数比较可知：老年组员工属于正常，青年组员工偏瘦. 【小问3详解】 统计汇总表如下： 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 老年组 2 4 3 1 中年组 7 15 1 2 青年组 7 5 2 1 合计 16 24 6 4 由上表格可知公司总体偏胖（包含肥胖）率为， 其中老年组占了，说明老年组偏胖率最高，中年组和青年组偏胖率相当， 由上表格可知公司总体偏瘦率为， 其中青年组和中年组偏瘦率相当，各占了，老年组偏瘦率很低， 由上分析：老年组要注意超重和肥胖问题，要加强体育锻炼，每天至少60分钟中等强度有氧运动（如快走、游泳、跑步、打球等）。 青年和中年组要注意营养健康问题，公司可开展健康饮食讲座，提升员工健康意识，同时提倡结合力量训练（如举重）增肌，避免单纯增脂。 19. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 【答案】（1）当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，分和讨论函数的单调性即可； （2）设，求过两点的切线方程，根据两条切线相互垂直得，进而得到，再求出，根据的范围得出的范围，最后根据恒成立求出的最小值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， ， 则导数， 当时，恒成立， 则函数在单调递增； 当时，令，则，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减. 综上所述，当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由函数， 设， 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 又因为两条切线垂直， 所以，即， 所以， 联立， 因为，即， 所以，解得， 因为， 又，根据基本不等式， 所以, 由恒成立，则， 所以的最小值为. 20. 已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合. （1）若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合； （2）若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数； （3）求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“2－间断整数集”的定义列方程求解即可； （2）先求所有四元子集的个数，然后减去四个元素都不连续和四个元素连续的个数可得； （3）用总的子集个数减去空集和单元集合，以及所有元素都连续的子集可得. 【小问1详解】 因为集合是“2－间断整数集”，且， 所以或，解得， 所以符合条件的元素所构成的集合为. 【小问2详解】 因为集合是1－间断整数集”，所以集合至少有两个连续整数，且不能四个元素连续. 集合的四元子集有个， 其中无连续整数的四元子集个数等价于“从6个元素产生的7个空位中插入4个元素”， 所以无连续整数的四元子集个数为个， 又四个元素都连续的集合有个， 所以，满足条件的集合的个数为个. 【小问3详解】 集合的子集个数为个， 根据间断整数集的定义可知，和单元集合不满足题意，共11个； 连续的二元集合有9个，连续的三元集合有8个，连续的四元集合有7个， 连续的五元集合有6个，连续的六元集合有5个，连续的七元集合有4个， 连续的八元集合有3个，连续的九元集合有2个，连续的十元集合有1个， 综上，非间断整数集共有个， 所以合的所有子集中，“间断整数集”的个数为个. 21. 我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间，函数称为自映射函数.已知函数，. （1）判断时，函数是否为自映射函数.若是，请给出它的一个自映射区间；若不是，请说明理由； （2）若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； （3）若存在自映射区间，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由自映射区间定义将问题转化为函数至少存在两个零点问题，结合导数，代入计算； （2）根据题意，由自映射区间定义结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （3）由自映射区间定义，结合函数的单调性，将问题转化为函数至少存在两个零点问题，然后结合导数，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 函数不是自映射函数， 若，存在自映射区间，则， 即至少有两个零点， 因为时，单调递增； 时，单调递减； 若要存在两个零点，则，不成立； 所以函数不是自映射函数. 【小问2详解】 因为恒成立，则在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即方程，即至少有两个不同实数解． 则的解集为，所以区间的选择共有种． 若，共有6种选择， 所以区间的长度的概率为． 【小问3详解】 因为在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即至少有两个零点， 因为时，单调递增； 时，单调递减； 若要存在两个零点，则，即． 此时，使得． 因为当时，，即函数单调递减， 所以，又， 所以，则，使得． 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$