精品解析：江苏省连云港市连云港高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024－2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人：徐静 审核人：庄侠 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘方以及虚部的概念，可得答案. 【详解】由，则其虚部为. 故选：A. 2. 已知向量，，若向量，则（　　） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的充要条件及平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，代入即可求解. 【详解】因为， 由. 故选：D. 4. 已知，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量的坐标，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】由题意， ， 所以， 所以， 而，所以. 故选：B 5. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 6. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设（），由条件等式，应用复数相等求，得到复数. 【详解】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由切化弦可得，结合两角和差公式分析求解. 【详解】因为，所以， 所以，① 因为，所以，② 由①②得，， 所以. 故选：D 8. 在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“费马点”的定义以及正余弦定理可求得结果. 【详解】设的内角所对的边分别为， 因为， 所以由正弦定所得， 又，所以， 由余弦定理得， 所以，所以顶点为费马点， 故点到各顶点的距离之和为， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案. 【详解】由，且， 则，故A对； 由，故B正确； 由，故C错； 由，故D对； 故选: ABD 10. 已知向量，，，其中均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为锐角 B. 向量在上的投影向量为 C. D. 的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据数量积的符号分析向量夹角；对于B，根据投影向量的定义运算求解；对于C，根据向量垂直运算求解即可；对于D，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又因为，所以不共线， 所以与的夹角为锐角，故A正确； 对于B，向量在上的投影向量为，故B错误； 对于C，因为，， 若，则，即，故C正确； 对于D，由C可知，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为.故D错误. 故选：AC 11. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由可判断；对于B，由已知结合余弦定理可得，由正弦定理可得，结合三角形内角和可判断；对于C，由三角形内角和可判断；对于D，由BC结论可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为 由余弦定理， 所以， 整理得， 由正弦定理可得，即， 所以，因为为的内角， 所以或， 当时，； 当时，，所以，故B错误； 对于C，由B可知，当时，，所以； 当时，所以，所以， 故此时为等腰直角三角形，，所以，故C正确； 对于D，由B知，，所以， 由C知，，所以，所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为锐角三角形，且，，的面积为9，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积计算求得，根据同角三角函数关系式求得，结合余弦定理，可得答案. 【详解】设，，， 由的面积，则， 在锐角中，， 由余弦定理可得，则，解得. 故答案为：. 13. 设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第______象限 【答案】一 【解析】 【分析】由虚数单位的乘方周期性，根据复数除法与共轭复数，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则，即， 所以，其在复平面上的点为，则该点在第一象限. 故答案为：一. 14. 已知，且满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围得出，最后应用二倍角余弦公式计算. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为，求： （1）； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或且 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算律以及定义式，可得答案； （2）由向量数量积的坐标表示，建立不等式，结合锐角的定义，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以， 即，解得：或， 又当时向量与共线且同向， 所以实数的取值范围为或且. 16. 已知函数 （1）化简 （2）在锐角中，内角满足，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简， （2）将代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果. 【小问1详解】 ，所以， 【小问2详解】 ， 因为， 所以， 因为，所以，所以 故 17. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）证明：； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） 根据正弦定理设，则， 代入，得，即， 整理得， 由，得， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式化简即可； （2）利用三角形的面积公式，结合正弦定理得到，利用和角的余弦公式和同角三角函数的平方关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由面积公式得， 由正弦定理得， 整理得， 由，得， 由（1）得， 由平方关系得 解得或 因为，所以，所以． 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的最大值． （3）如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化成角，再利用和角的正弦公式求解即可； （2）利用余弦定理结合基本不等式求解即可； （3）利用正弦定理求出，利用余弦定理得到，方法一根据得到，方法二利用向量加法得到，最后求出即可求出周长. 【小问1详解】 由正弦定理得：，又， ， 即，又，，， 又，； 【小问2详解】 由余弦定理得，， ， ，当且仅当时等号成立， ， 所以面积最大值为； 【小问3详解】 由正弦定理得，解得，即， 为边上的中点，， 由余弦定理得，即①， 方法一：在中，， 在中，， ，， 即，整理得：②， 由①②得：， ，解得：， 的周长为. 方法二：由向量加法得， ，即②， 由①②得， ，解得， 的周长为. 19. 已知函数是定在上的函数，且满足关系． （1）若，若，求的值域； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域； （2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值； （3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与． 【小问1详解】 由题意， 在中，， 在中， ， 当时，， ∴的值域为：. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中， ①当即， ， 函数在定义域上单调递减 ，， ②当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ③当即时，， 函数在上单调递增， ，， ④当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ∴函数是周期为的周期函数，图像如下： 在中， 存在，对任意，有恒成立， ∴ ∴当最小时，由图像可知，， 【小问3详解】 由题意，， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， 设，， ∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点， ∵在周期内，与有1~2个交点， ∴在上有1~4个交点， ∴若在内恰有2022个零点，则， 在中， 当即或，此时有1个交点， ①当函数有两个零点时， 若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点， ，解得：， ∴当有2022个交点时，， 若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， ②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， 综上： 当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人：徐静 审核人：庄侠 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量，，若向量，则（　　） A. B. C. 8 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 6. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，，其中均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为锐角 B. 向量在上的投影向量为 C. D. 的最大值为1 11. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为锐角三角形，且，，的面积为9，则______． 13. 设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第______象限 14. 已知，且满足，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为，求： （1）； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 已知函数 （1）化简 （2）在锐角中，内角满足，求的值 17. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）证明：； （2）若的面积为，求． 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的最大值． （3）如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 19. 已知函数是定在上的函数，且满足关系． （1）若，若，求的值域； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $