精品解析：辽宁省锦州市实验学校2023九年级中考三模数学试题

2022-2023学年度第二学期九年级质量检测（三） 数学试卷 考试时间120分钟；试卷总分120分； ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 实数﹣2023的绝对值是（　　） A. 2023 B. ﹣2023 C. D. 2. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 九（1）班选派4名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下： 选手 A B C D 平均成绩 中位数 成绩/分 86 █ 82 88 85 █ 则表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（ ） A. 84，83 B. 82，87 C. 82，86 D. 84，85 5. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点在三角板的一边上，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 7. 如图，在矩形纸片中，，，M是上点，且．将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，则线段的长是（ ） A 4 B. C. 5 D. 6 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 我国最新研制出的“曙光超级服务器”的峰值速度达到次/秒，数据用科学记数法表示为___________. 10. 因式分解：________． 11. 某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是________（填“甲”或“乙”）． 12. 一个等腰三角形的腰和底分别是方程两根，则此三角形的周长为________． 13. 《九章算术》中的数学问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形的边和菱形的边均在x轴上，点C在上，，反比例函数的图像经过点A，则k的值为______． 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是________． 16. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，将等边绕着点依次逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为______． 三、解答题（17题6分，18，19题各8分，共22分） 17. 先化简，再求值：．其中． 18. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： （1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“听音乐”所对应扇形的圆心角的度数； （4）根据调查结果，估计该校九年级600名学生中采用“享受美食”来减压方式的人数． 19. 西安地铁的不断完善给广大人民的出行带来了很大的变化，不仅给人们带来了快捷、便利、有序的交通和良好的乘车环境，还让人们更多地感受到生活质量的提高和享受．西安地铁2号线某地铁站入口检票处有、、、四个闸机，假设每名乘客可随机选择一个闸口通过． （1）一名乘客通过该入口检票处时，选择A闸口通过的概率为 ； （2）当两名乘客先后通过该入口检票处时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻闸口通过的概率． 四、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分） 20. 某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 21. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为，沿水平方向由点O飞行到达点F，测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求楼与之间的距离的长． 五、解答题（本题共8分） 22. 如图，为的直径，为上一点，为的切线，平分． （1）判断形状，并说明理由： （2）若的半径为，，求的长． 六、解答题（本题共10分） 23. 某超市经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品售价不低于20元且不高于29元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为21元时，销售量为38件；当销售单价为25元时，销售量为30件． （1）请求出y与x的函数关系式： （2）将该商品销售单价定为多少元时，才能使超市每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 七、解答题（本题共12分） 24. 如图1，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转． （1）如图1，当时，______，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为______； （2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在绕点C逆时针旋转过程中，①请直接写出的最大值； ②当，，B三点共线时，请直接写出线段的长． 八、解答题（本题共12分） 25. 图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标； （3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度第二学期九年级质量检测（三） 数学试卷 考试时间120分钟；试卷总分120分； ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 实数﹣2023的绝对值是（　　） A. 2023 B. ﹣2023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案． 【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数， 所以，﹣2023的绝对值等于2023． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键． 2. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，二次根式的性质，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方进行判断即可． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的加减、二次根式的性质、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 九（1）班选派4名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下： 选手 A B C D 平均成绩 中位数 成绩/分 86 █ 82 88 85 █ 则表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（ ） A. 84，83 B. 82，87 C. 82，86 D. 84，85 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和中位的定义，解题的关键是熟练掌握平均数和中位数的概念． 利用平均数的公式可把同学成绩求出，再利用中位数的概念把中位数求出． 【详解】解：根据平均成绩可得同学成绩为：， 所以这组数据从小到大排列为：， 所以中位数取第二位和第三位数据的平均数为：， 故选：D． 5. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点在三角板的一边上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 根据平行线的性质得出的度数，再利用角的和差以及三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：根据题意可得， ∵ 故选：B． 6. 如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． 利用直径所对的圆周角是直角和圆周角定理得出是等腰直角三角形，利用三角函数比解直角三角形即可求出的长度． 【详解】解：是的直径， , 又 是等腰直角三角形， 解得，, 故选：A． 7. 如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且．将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，则线段的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得，，，从而可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形纸片中，，，， ∴，，， 由折叠的性质得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象． 【详解】如图： ①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2． 该函数图象是开口向上的抛物线的一部分． 故B、C错误； ②当4＜t≤8时，S=16-×（8-t）×（8-t）=-t2+8t-16． 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分． 故A错误． 故选D． 【点睛】考点：动点问题的函数图象． 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 我国最新研制出的“曙光超级服务器”的峰值速度达到次/秒，数据用科学记数法表示为___________. 【答案】4.032×1011 【解析】 【详解】4032 0000 0000=4.032×1011. 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握基本的几种因式分解方法是关键；先取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量．方差越大波动越大，则稳定性越差；方差越小波动越小，则越稳定，解题的关键是熟练掌握方差是意义． 分别求出甲、乙两位同学的方差，根据方差的性质判断即可． 【详解】解：甲的平均数为（分） 乙的平均数为（分） 甲的方差为， 乙的方差为， ∴乙的数据波动较小，发挥比较稳定，应考虑乙同学取参赛， 故答案为：乙． 12. 一个等腰三角形的腰和底分别是方程两根，则此三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤． 利用十字相乘法先求出一元二次方程的解，判断解是否满足三角形的三边数量关系，然后求三角形的周长即可． 【详解】解：， ， ∴， 当为等腰三角形的腰时，，不符合三角形的三边数量关系，构不成三角形，故不符合题意； 当为等腰三角形的腰时，， ∴则此三角形的周长为15， 故答案为：15． 13. 《九章算术》中的数学问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键． 设买了好田为亩，坏田为亩，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案． 【详解】解：设买了好田亩，坏田为亩， 根据题意得，， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形的边和菱形的边均在x轴上，点C在上，，反比例函数的图像经过点A，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由是等边三角形，得到，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，得到，求得，推出，过A作于H，由等边三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过A作于H， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴k的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，同底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．延长至点，使得，连接，，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，， ∵矩形中，， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为20， 故答案为：20． 16. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，将等边绕着点依次逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，点的坐标规律，熟练掌握等边三角形性质，探究循环规律，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 画出示意图，每旋转次是一个循环组，点A的对应点落在原来的方向，且，即可得到答案． 【详解】由已知可得： 第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，， 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在轴正半轴，， ． 如此循环，每旋转次，A的对应点又回到轴正半轴，而， ∴在第一象限，且， ∴横坐标为，，纵坐标为，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（17题6分，18，19题各8分，共22分） 17. 先化简，再求值：．其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题关键． 利用异分母分式的加减法法则先算括号里的，再将除法转化为乘法约分化简，将代入化简后的结果求值即可． 【详解】解： 当时，代入上式得， 原式． 18. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： （1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“听音乐”所对应扇形的圆心角的度数； （4）根据调查结果，估计该校九年级600名学生中采用“享受美食”来减压方式的人数． 【答案】（1）50 （2）见详解 （3） （4）120 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图和条形统计图相结合的题目，利用样本预估总体，求圆心角度数，补全条形统计图等知识点，解题的关键是读懂两个图中的数据． （1）由统计图中的信息可知，调查中属于类的学生有8人，占被调查总数的，利用部分数据除以部分的占比等于总数，由此即可计算出被调查学生的总数； （2）求出体育活动人数补全条形统计图即可； （3）利用乘“听音乐”人数的占比即可； （4）利用600乘“享受美食”人数的占比即可． 【小问1详解】 解：（名） 所以，一共抽查了50名学生； 【小问2详解】 解：补全条形统计图，如图所示， 体育活动人数为（名）； 【小问3详解】 解： 所以，“听音乐”所对应扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（名） 所以，估计该校九年级600名学生中采用“享受美食”来减压方式的人数为50人． 19. 西安地铁的不断完善给广大人民的出行带来了很大的变化，不仅给人们带来了快捷、便利、有序的交通和良好的乘车环境，还让人们更多地感受到生活质量的提高和享受．西安地铁2号线某地铁站入口检票处有、、、四个闸机，假设每名乘客可随机选择一个闸口通过． （1）一名乘客通过该入口检票处时，选择A闸口通过的概率为 ； （2）当两名乘客先后通过该入口检票处时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻闸口通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：西安地铁2号线某地铁站入口检票处有、、、四个闸机， ∴一名乘客通过该入口检票处时，选择A闸口通过的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下 共有16种等可能结果，其中符合题意的有6种， 两名乘客选择相邻闸口通过的概率是为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 四、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分） 20. 某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】（1），3 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）假设出未知数，根据农机具数量关系列出方程求解即可，注意最后要进行检验； （2）假设出未知数，找出不等关系，列出一元一次不等式，确定取值即可． 【小问1详解】 解：设购买1件乙种农机具需要万元，则购买1件甲种农机具需要万元，根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴ 所以，购买1件甲种农机具需要万元，购买1件乙种农机具需要3万元； 【小问2详解】 解：设购买甲种农机具购买件，则乙种农机具为件，根据题意得， 解不等式得，， ∵取正整数， ∴ 所以，甲种农机具最多能购买6件． 21. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为，沿水平方向由点O飞行到达点F，测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求楼与之间的距离的长． 【答案】（1）EF=24 （2）楼AB与CD之间的距离AC的长约为. 【解析】 【分析】（1）由三角形的外角性质求得，利用等腰三角形的性质即可求解； （2）在和中，利用三角函数的定义求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长分别与直线交于点G和点H， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 五、解答题（本题共8分） 22. 如图，为的直径，为上一点，为的切线，平分． （1）判断的形状，并说明理由： （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）直角三角形，理由见详解 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直径定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． （1）利用切线的性质得出直角，利用角平分线的性质和等边对等角得出内错角相等，得到，根据平行线的性质得到，最后得出三角形是直角三角形； （2）利用直角所对的圆周角是直角，再利用勾股定理求出线段的长，再利用三角形相似求出长即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵为的切线， ， ∵平分 又 ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是直径， ， ∵的半径为， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得． 六、解答题（本题共10分） 23. 某超市经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于20元且不高于29元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为21元时，销售量为38件；当销售单价为25元时，销售量为30件． （1）请求出y与x的函数关系式： （2）将该商品销售单价定为多少元时，才能使超市每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为 （2）将该商品销售单价定为29元时，超市每周销售该商品所获利润最大，最大利润198元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用；正确理解题意，列出函数关系式是解题的关键； （1）设一次函数解析式为，用待定系数法即可求解； （2）设超市每周销售该商品所获利润为w元，根据总利润、单件商品的利润与销售数量的关系，得到w关于x的二次函数，求出二次函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 由题意得：， 解得：， 则一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设超市每周销售该商品所获利润为w元， 由题意，， 整理得：， 因每件商品的售价不低于20元且不高于29元，且， 当时，函数值随自变量的增大而增大， 所以当时，w取得最大值，且最大值198； 答：将该商品销售单价定为29元时，超市每周销售该商品所获利润最大，最大利润是198元． 七、解答题（本题共12分） 24. 如图1，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转． （1）如图1，当时，______，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为______； （2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在绕点C逆时针旋转过程中，①请直接写出的最大值； ②当，，B三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）2， （2）（1）中结论仍然成立，证明见解析 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先解直角三角形可得，再根据线段中点的定义可得，由此即可得，然后根据，所在直线相交所成的较小夹角为即可得； （2）结论仍然成立，证明：延长，，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据三角形的内角和定理可得，由此即可得证； （3）①先确定点在以点为圆心、长为半径的圆上，从而可得当点在的延长线上时，的边上的高最大，则的面积最大，利用三角形的面积公式计算即可得； ②分两种情况：当点在的延长线上时和当点在线段上时，先利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差求解即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵点，为边，的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴，所在直线相交所成的较小夹角的度数为， 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图，延长，，交于点， 由旋转的性质得：， 由（1）已得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 即，所在直线相交所成的较小夹角的度数为． 【小问3详解】 解：①∵在中，，，， ∴， 由（1）可得：， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点在的延长线上时，的边上的高最大，最大值为， ∴的最大值为． ②由①知：，，， 在题干的图1中，∵点，为边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴． 如图，当点在的延长线上时， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时， ∴， ∴； 综上，当，，三点共线时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆的性质等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 八、解答题（本题共12分） 25. 图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标； （3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点或、点或点；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可， （2）以点P、Q、B、C为顶点，BC为边四边形为平行四边形，分为两种情况：或，根据平行四边形对边相等且平行求解即可， （3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B，C，D坐标点得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据相似的性质分情况求解即可． 【详解】：（1）将点B（3，0），C（0，－3）分别代入中， 得：， 解得， ∴抛物线得函数关系为 （2）点或、点或点． 如图： ∵以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形， ∴或， ∵点B（3，0），C（0，－3）， 当时，则， 设对称轴与x轴交于点M， ∴，， ∴； 同理时，； 故答案为：；． （3）当时，， 解得：， ∴A（－1，0） 又， ∴抛物线得顶点D得坐标为（1，－4） ∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4） ∴， ∴ ∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝ 设点M得坐标（），则点G得坐标为， 根据题意知： ∠AMG＝∠BCD＝ ∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件： ①当时，此时有：或 解得：或＝0，，都不符合，所以时无解． ②当时，此时有：或 解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0） ③当m＞3时，此时有：或 解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去） 所以点M（6，0）或M（，0） 答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M得坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）． 【点睛】此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定理，有一定难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$