专题04 矩形、菱形与正方形易错必刷题型专训（93题31个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题04 矩形、菱形与正方形易错必刷题型专训（93题31个考点） 【易错必刷一 矩形性质理解】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 2．（2024八年级上·全国·专题练习）命题“有三个角是直角的四边形是矩形”的逆命题是： ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ） 【易错必刷二 矩形的判定定理理解】 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 5．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB＝CD，EF＝GH． （2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是 ． （3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是 ． 6．（23-24八年级下·吉林·期末）如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【易错必刷三 正方形性质理解】 7．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A． 点C B．点D C．点F D．点G 8．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    9．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 【易错必刷四 中点四边形】 10．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在矩形中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形若，，则四边形的周长等于（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【易错必刷五 添一条件使四边形是矩形】 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖南湘潭·一模）如图，平行四边形添加一个条件 使得它成为矩形．（任意添加一个符合题意的条件即可） 15．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，平行四边形中，点O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)连接，，则与满足什么条件时四边形是矩形？请说明理由． 【易错必刷六 添一个条件使四边形是菱形】 16．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 17．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ． 18．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论． 【易错必刷七 添一个条件成为平行四边形】 19．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC且AD＝9cm，BC＝7cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，Q运动到B处停止运动， 秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 21．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出平行四边形ABCD； (2)线段AC的长为　 　，CD的长为　 　，AD的长为　 　，△ACD为　 　三角形，平行四边形ABCD的面积为　 　． 【易错必刷八 添一个条件使四边形是正方形】 22．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，四边形中，，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（  ）    A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 24．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【易错必刷九 证明四边形是菱形】 25．（2025·福建泉州·模拟预测）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形 26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．    27．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形．     【易错必刷十 求矩形在坐标系中的坐标】 28．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 29．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ． 30．（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知矩形0ABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点0为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点B的坐标为(10，8)，点Q为线段AC上一点，其坐标为(5，n).    (1)求直线AC的表达式 (2)如图，若点P为坐标轴上-动点，动点P沿折线AO→0C的路径以每秒1个单位长度的速度运动，到达C处停止求Δ0PQ的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式. (3)若点P为坐标平面内任意-.点，是否存在这样的点P，使以0，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 【易错必刷十一 证明四边形是平行四边形】 31．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，一条处处等宽的丝带部分重叠，则丝带重叠的部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能 32．（23-24八年级下·广东清远·期末）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是 ． 33．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 【易错必刷十二 矩形与折叠问题】 34．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 35．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若平分，则的长为 ． 36．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，折叠长方形一边，点D落在边的点F处，，求：      (1)的长； (2)的长． 【易错必刷十三 正方形折叠问题】 37．（23-24八年级下·宁夏银川·期中）如图，正方形纸片的边长为5，点和点分别在边与上，将、分别沿，折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D．5 38．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为 ． 39．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，求线段EC，CH的长． 【易错必刷十四 求正方形重叠部分面积】 40．（2024八年级·全国·专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 41．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为 .    42．（23-24八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【易错必刷十五 证明四边形是正方形】 43．（23-24八年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 44．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，过点分别作，垂足分别为，设与面积之和为，则与之间的函数表达式为 ． 45．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在四边形中，，，是上一点，过点作，，垂足分别为、．    (1)求证：； (2)当的度数为何值时，四边形是正方形，并说明理由． 【易错必刷十六 利用平行四边形的判定与性质求解】 46．（2024·河南洛阳·三模）如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 47．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为 cm． 48．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．    【易错必刷十七 根据矩形的性质与判定求角度】 49．（23-24八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形E FGH为矩形，∠ADC＋∠BCD应为 度． 51．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【易错必刷十八 根据菱形的性质与判定求角度】 52．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    54．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，四边形是矩形，过其两对角线的交点且与、的延长线分别交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，那么四边形能是菱形吗？若能，请求出此时的大小；若不能，请说明理由． 【易错必刷十九 根据正方形的性质与判定求角度】 55．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 56．（2024·江苏镇江·模拟预测）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 57．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 【易错必刷二十 根据矩形的性质与判定求线段长】 58．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ． 60．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，，小明在距离树的B处，看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在一条水平线上，树和二人都垂直于这条水平线，求树的高度． 【易错必刷二十一 根据菱形的性质与判定求线段长】 61．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 62．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若，则四边形的周长为 ． 63．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【易错必刷二十二 根据正方形的性质与判定求线段长】 64．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，一个油桶靠在直立的墙边为桶与墙壁触点，量得并且，则这个油桶的底面半径是(　　) A． B． C． D． 65．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）正方形内接于，且边落在上，若，，那么的长为 ． 66．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【易错必刷二十三 根据正方形的性质与判定求面积】 67．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.    A．48 B．12 C．24 D．36 68．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC=5，四边形ABCD的面积是 ． 69．（23-24八年级下·云南迪庆·期末）如图，点E在正方形ABCD内，AE=3，BE=4，AEBE，请求出阴影部分的面积S. 【易错必刷二十四 根据菱形的性质与判定求面积】 70．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD，若四边形BECF面积为1，则矩形ABCD的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 71．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为 ． 72．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，、分别是，的中点，连接，．    (1)根据题意，补全图形； (2)求证：； (3)若，，．求平行四边形的面积． 【易错必刷二十五 根据矩形的性质与判定求面积】 73．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为2，现将它沿方向平移1个单位，得到正六边形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 74．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 75．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源：《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》），请根据该图完成这个推论的证明过程，求证：． 【易错必刷二十六 根据正方形的性质与判定证明】 76．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　   ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 77．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是 ．    78．（23-24八年级下·河北唐山·期末）（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD； 请你完成问题情境中（2）的证明 （2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想． 【易错必刷二十七 利用平行四边形性质和判定证明】 79．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列四个结论： ①四边形的周长不变；②四边形的面积有变化；③；④；其中一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．①② D．②③ 80．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形．    81．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【易错必刷二十八 平行四边形性质和判定的应用】 82．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，EF过▱ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是▱ABCD面积的(  ) A． B． C． D． 83．（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    84．（2024·浙江丽水·一模）如图，在的正方形网格中，线段的端点落在格点上，请按要求作图（所作图形顶点为格点，每小题作出一个即可）． 图1：以为腰的等腰三角形    图2：以为边的平行四边形   图3：以为对角线的平行四边形 【易错必刷二十九 （特殊）平行四边形的动点问题】 85．（23-24八年级下·四川·阶段练习）如图，长方形中，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值（    ） A．2或 B．2 C． D．1 86．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有 个． 87．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x²cm． (1)当x为何值时，点的运动停止？ (2)点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由． (3)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？ 【易错必刷三十 四边形中的线段最值问题】 88．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（　　） A．6 B．2 C．8 D．2 89．（23-24八年级下·山东威海·阶段练习）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 90．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，. （1）若、、三点共线，求的长； （2）求的面积的最小值. 【易错必刷三十一 四边形其他综合问题】 91．（2024·上海奉贤·二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（    ） A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA 92．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，以菱形各边的中点为顶点作四边形，再以各边的中点为顶点作四边形，…，如此下去，得到四边形，若对角线长分别为和，请用含、的代数式表示四边形的周长 ． 93．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，． (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 矩形、菱形与正方形易错必刷题型专训（93题31个考点） 【易错必刷一 矩形性质理解】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）正方形的边上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（    ） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接由面积关系进行转化是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接， ∵，， ∴矩形与正方形的面积相等． 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）命题“有三个角是直角的四边形是矩形”的逆命题是： ． 【答案】矩形有三个角都是直角 【分析】本题考查求一个命题的逆命题，解题的关键是分清命题的题设与结论．交换原命题的题设与结论即可． 【详解】解：命题“有三个角是直角的四边形是矩形”的逆命题是“矩形有三个角都是直角”； 故答案为：矩形有三个角都是直角． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ） 【答案】一个停车位矩形的周长约为． 【分析】本题考查了矩形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，先根据矩形性质得，结合，得出，，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵停车位是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则， 即一个停车位矩形的周长约为． 【易错必刷二 矩形的判定定理理解】 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意． 故选：A． 5．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB＝CD，EF＝GH． （2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是 ． （3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是 ． 【答案】 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据平行四边形，矩形的判定问题，掌握其判定定理，即可作答． 【详解】解：（2）它的依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）它的依据是：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定是解题关键． 6．（23-24八年级下·吉林·期末）如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据正方形的性质找到另一条对角线，从而确定各边； （2）根据矩形的定义结合题目要求画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，正方形ACBD即为所求； （2）如图，四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【易错必刷三 正方形性质理解】 7．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A．点C B．点D C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的对称性，利用数形结合思想解答是解题的关键．画出正方形的对称轴，根据图象即可判断求解． 【详解】如图，正方形有4条对称轴， 由图可知，E关于直线l的对称点可能是点， 故选：C． 8．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质可知点关于轴对称，所在直线为的垂直平分线，根据正方形对角线计算求出点的坐标． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴点关于轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，， 又∵点关于轴对称， ∴点纵坐标为1，点纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点的纵坐标是解题的关键． 9．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 【易错必刷四 中点四边形】 10．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在矩形中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形若，，则四边形的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形，根据菱形的性质计算周长． 【详解】解：连接、， 在中，， 四边形是矩形， ， 、分别是、的中点， ，， 同理，，，，， 四边形为菱形， 四边形的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 11．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【答案】平行四边形；（1）AC＝BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见解析； 【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案. 【详解】解：四边形EFGH为平行四边形； 连接AC，BD ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，，，， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形； （1）AC＝BD， 理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD， ∵四边形EFGH为平行四边形，且，， ∴EH＝GH， ∴平行四边形EFGH为菱形． （2）AC⊥BD， 理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥HE， ∵四边形EFGH为平行四边形． ∴四边形EFGH为矩形． （3）AC＝BD且AC⊥BD， 理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【易错必刷五 添一条件使四边形是矩形】 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 14．（2024·湖南湘潭·一模）如图，平行四边形添加一个条件 使得它成为矩形．（任意添加一个符合题意的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定定理得出即可． 【详解】解：， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的判定的应用，能熟记矩形的判定定理是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一． 15．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，平行四边形中，点O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)连接，，则与满足什么条件时四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可； （2）请连接、，则与满足时，四边形是矩形，首先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ． （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： 连接，，如图， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题． 【易错必刷六 添一个条件使四边形是菱形】 16．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 17．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此即可求解． 【详解】解：由题意知，可添加：． 则三角形是等腰三角形， 由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合， 即点D是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，点E，F分别是的中点， ∴， ∴平行四边形为菱形． 故答案为：、或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了菱形的判定．利用了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质．也可添加或． 18．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)；证明见解析． 【分析】（1）证明，得到即可得证； （2）当时，根据角平分线的定义，得到，进而得到，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（ASA） ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是菱形． 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形和菱形的判定．同时考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，以及通过平行线的性质证明三角形全等是解题的关键． 【易错必刷七 添一个条件成为平行四边形】 19．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，由此判断B；由得到，由此依据B判断C选项；添加，由此证明，得到，推出，由此判断D；由此得到A选项符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意； 添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能； 故选：A． 【点睛】此题考查了添加条件证明平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 20．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC且AD＝9cm，BC＝7cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，Q运动到B处停止运动， 秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】分别利用①当BQ=AP时以及②当CQ=PD时，列方程得出答案． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为ts.依题意得：CQ=2t,BQ=7-2t,AP=t,PD=9-t. ∵ADBC， ①当BQ=AP时，四边形APQB是平行四边形． 即7-2t=t, 解得t=． ②当CQ=PD时， 四边形CQPD是平行四边形，即2t=9-t, 解得：t=3． 所以经过秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 故答案是：或3． 【点睛】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 21．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出平行四边形ABCD； (2)线段AC的长为　 　，CD的长为　 　，AD的长为　 　，△ACD为　 　三角形，平行四边形ABCD的面积为　 　． 【答案】(1)见解析 (2) ， ，5，直角，10 【分析】（1）根据平行四边形的定义，即可求解； （2）利用勾股定理分别求出AC、CD、AD的长，再利用勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：平行四边形ABCD即为所求； （2）解： ， ， ， ∴ ， ∴△ACD是直角三角形， ∴平行四边形ABCD的面积为 ． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【易错必刷八 添一个条件使四边形是正方形】 22．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，四边形中，，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B． ， ， ， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．根据，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误，符合题意； D． ，， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 23．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，添加：，根据平行四边形的性质得，，继而得到，即可得证．掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：添加的一个条件为．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 24．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析 【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可； （2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可． 【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果， 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【易错必刷九 证明四边形是菱形】 25．（2025·福建泉州·模拟预测）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【详解】解：添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 27．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形．     【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定， 首先证明出四边形是平行四边形，然后结合进而证明出四边形是菱形． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【易错必刷十 求矩形在坐标系中的坐标】 28．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【答案】A 【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可． 【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P， ∴∠A'OB=∠AOB， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB， ∴∠OBC=∠A'OB， ∴OP=BP， ∵点B的坐标为（6，3）， ∴AB=OC=3，OA=BC=6， 设OP=BP=x，则PC=6﹣x， 在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2， ∴32+（6﹣x）2=x2， 解得：x=， ∴PC=6﹣=， ∴P（，3）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 29．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ． 【答案】（，0） 【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解． 【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1， ∵OB＝＝＝， ∴OP＝， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 30．（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知矩形0ABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点0为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点B的坐标为(10，8)，点Q为线段AC上一点，其坐标为(5，n).    (1)求直线AC的表达式 (2)如图，若点P为坐标轴上-动点，动点P沿折线AO→0C的路径以每秒1个单位长度的速度运动，到达C处停止求Δ0PQ的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式. (3)若点P为坐标平面内任意-.点，是否存在这样的点P，使以0，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ； (2) 当点P在A0上运动时，S=2t+20 ，当点P在0C上运动时，S (10≤t≤18) ；(3)点P的坐标为(5，12)，(5，-4)，(-5，4) 【分析】（1）由矩形的性质可得出点C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点Q的坐标，分点P在OA和点P在OC上两种情况，利用三角形的面积公式可找出S与t之间的函数关系式； （3）分OC为对角线、OQ为对角线以及CQ为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）即可求出点P的坐标． 【详解】解：(1)没直线AC的解析式为y=kx+b， 由题知C(0，8)，A(10，0) ∴ 解之得 ∴ (2)∵Q(5，n)在直线上 ∴n=4 ∴Q(5，4) 当点P在A0上运动时， =2t+20 当点P在0C上运动时， (10≤t≤18)   (3) 设点P的坐标为（a，c），分三种情况考虑（如图2）：    ①当OC为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4）， ∴ ，解得：  ， ∴点P1的坐标为（-5，4）； ②当OQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4）， ∴ ，解得： ， ∴点P2的坐标为（5，-4）； ③当CQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4）， ∴ ，解得： ， ∴点P3的坐标为（5，12）． 综上所述：存在点P，使以O，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（-5，4），（5，-4），（5，12）． 故答案为(1) ； (2) 当点P在A0上运动时，S=2t+20 ，当点P在0C上运动时，S (10≤t≤18) ；(3)点P的坐标为(5，12)，(5，-4)，(-5，4) ． 【点睛】本题考查矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分点P在OA和点P在OC上两种情况，找出S关于t的函数关系式；（3）分OC为对角线、OQ为对角线以及CQ为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点P的坐标． 【易错必刷十一 证明四边形是平行四边形】 31．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，一条处处等宽的丝带部分重叠，则丝带重叠的部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定，利用平行四边形的面积公式得到一组邻边相等是解题关键．首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 【详解】解：如图，过点A作于E，于F， ∵两条丝带宽度相同， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故选C． 32．（23-24八年级下·广东清远·期末）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是 ． 【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案． 【详解】∵将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 33．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知是边中点，再证明，得即可； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 【易错必刷十二 矩形与折叠问题】 34．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 35．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，含30度直角三角形性质，勾股定理等知识；由折叠性质及角平分线定义得到，由含30度直角三角形性质得，由勾股定理即可求得． 【详解】解：在矩形中，； 由折叠知：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：； 故答案为：． 36．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，折叠长方形一边，点D落在边的点F处，，求：      (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠的性质得，，由勾股定理建立方程即可求出结果； （2）由折叠性质得，，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：由长方形性质知：，，， 由折叠的性质得， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 答：的长为． （2）解：由折叠性质得， ∵， 由勾股定理得：， 解得：． 答：的长为． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，掌握这两个知识点是关键． 【易错必刷十三 正方形折叠问题】 37．（23-24八年级下·宁夏银川·期中）如图，正方形纸片的边长为5，点和点分别在边与上，将、分别沿，折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】由图形折叠可得，因为正方形的边长为5，，求出，在中，运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解：由图形折叠可得， ∵正方形的边长为5，， ∴， 在中， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 38．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为 ． 【答案】/117度 【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， 将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键． 39．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，求线段EC，CH的长． 【答案】3，4. 【分析】根据比例求出EC，设CH=x，表示出DH，根据折叠可得EH=DH，在Rt△ECH中，利用勾股定理列方程求解即可得到CH． 【详解】解：∵BC＝9，BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， 设CH＝x， 则DH＝9﹣x， 由折叠可知EH＝DH＝9﹣x， 在Rt△ECH中，∠C＝90°， ∴EC2+CH2＝EH2． 即32+x2＝（9﹣x）2， 解得x＝4， ∴CH＝4． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【易错必刷十四 求正方形重叠部分面积】 40．（2024八年级·全国·专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答. 【详解】解：如图， 连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点， 则，， ， ， ≌， 四边形AENF的面积等于的面积， 而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， 四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的． 41．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为 .    【答案】6cm2 【分析】将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′， ∴平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为4-2=2cm，长为4-1=3cm， ∴S阴影部分=2×3=6 cm2， 故答案为6cm2. 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 42．（23-24八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【答案】（1），（2），（3），验证见解析． 【分析】（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积； （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为； （3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积． 【详解】解：（1）如图（1）中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴=， ∵， ∴， ∴重叠部分的面积为： （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形， ∴边长为：， ∴面积为： （3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、， ∵是斜边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于正方形的面积， ∵正方形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【易错必刷十五 证明四边形是正方形】 43．（23-24八年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 44．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，过点分别作，垂足分别为，设与面积之和为，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】证明四边形是矩形，由角平分线的性质得出，则可得出结论；将绕点顺时针旋转，得到，由得出，由二次函数的性质可得出答案． 【详解】解：， 四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形； ， 将绕点顺时针旋转，得到，如图所示： 则、、三点共线，， ，即， ， 与之间的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质和旋转的性质是解题的关键． 45．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在四边形中，，，是上一点，过点作，，垂足分别为、．    (1)求证：； (2)当的度数为何值时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）首先根据题意证明出四边形是矩形，然后证明出，进而得到矩形是正方形． 【详解】（1）在和中， ， ； （2）当时，四边形是正方形， 理由如下： ∵，， ， ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，正方形和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【易错必刷十六 利用平行四边形的判定与性质求解】 46．（2024·河南洛阳·三模）如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐个进行判断即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故②错误； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，是矩形． 故③错误； ∴正确的只有①； 故选B． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 47．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为 cm． 【答案】6 【分析】根据翻折变换的性质可以证明四边形ABE为正方形，得到BE=AB，根据BC=BE+CE即可求答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=90°，∠BA=90°， 根据则折叠的性质可知：AB=A，∠B=∠AE=90°， ∵∠B=90°，∠BA=90°，∠AE=90°， ∴四边形ABE为矩形， ∵AB=A， ∴四边形ABE为正方形， ∴BE=AB=4cm， ∴BC=BE+CE=6cm， 故答案为：6． 【点睛】题目考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质和矩形和正方形的判定定理和性质定理是解题的关键． 48．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．    【答案】证明见解析 【分析】由菱形性质可得，，先证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直且即可证出结论． 【详解】证明：在菱形中， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查的是正方形的判定及菱形的性质，熟练掌握特殊的平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【易错必刷十七 根据矩形的性质与判定求角度】 49．（23-24八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形E FGH为矩形，∠ADC＋∠BCD应为 度． 【答案】90 【详解】试题分析：根据矩形的判定定理以及三角形中位线的性质可得：∠ADC＋∠BCD=90°. 考点：(1)、矩形的性质；(2)、中位线的性质 51．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【答案】能，见解析． 【分析】先根据平行四边形的判定方法，用测量边长的方法判定书架是否为平行四边形，再根据矩形的判定定理，测量书架的对角线判定平行四边形是否为矩形，最后根据矩形的性质即可得． 【详解】解：能．理由如下： 先用绳子量出书架的两组对边是否相等，若两组对边相等，则说明此书架为平行四边形；再用绳子量出书架的对角线是否相等，若对角线相等，则说明书架是矩形； 由于矩形的四个角都是直角，说明书架的内角为直角，因此可以说明书架的侧边与上、下底都垂直，反之书架的侧边与上、下底就不垂直． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识点． 【易错必刷十八 根据菱形的性质与判定求角度】 52．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 53．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    【答案】75 【分析】根据菱形的性质先求出∠BAC，再由折叠知AD'=AB，从而求出∠AD'B的度数. 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=CD=AD，CD∥AB， ∵∠D=120°， ∴∠DAB=60°， ∵AC为菱形ABCD的对角线， ∴∠BAC=30°， ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD'=AD， ∴AD'=AB， ∴∠AD'B=， 故答案为：75. 【点睛】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键. 54．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，四边形是矩形，过其两对角线的交点且与、的延长线分别交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，那么四边形能是菱形吗？若能，请求出此时的大小；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）能， 【分析】（1）根据四边形是矩形，可得，即可得，，根据题意，点是矩形对角线的交点，则，进而证明，可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求得，进而求得，根据菱形的性质即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而求得的长． 【详解】（1）连接，如图， 四边形是矩形， ， ， 点是矩形对角线的交点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形能是菱形， 连接，如图， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 若四边形是菱形， 则， ， ， ， 当时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质的与判定，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，运用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【易错必刷十九 根据正方形的性质与判定求角度】 55．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 56．（2024·江苏镇江·模拟预测）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 57．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 【答案】始终为定角，这定角为的倍 【分析】因为BD为正方形ABCD的对角线, 则∠1=∠3, ∠2=∠4, 用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC可得结论. 【详解】∵为正方形的对角线， ∴，， ∴． 同理． ∴． ∵， ∴总与相等． 因此始终为定角，这定角为的倍． 【点睛】本题主要考查正方形的性质. 【易错必刷二十 根据矩形的性质与判定求线段长】 58．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：如图，过B点作， 是线段在投影面上的正投影， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 故选B． 59．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识．准确识图，构造辅助线，利用矩形的性质是解决问题的关键．过点D作于点M，证明四边形是矩形得，，进而得，在中，由勾股定理得，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长． 【详解】解：过点D作于点M，如图所示： ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为a， 则， 根据拼图可知：， ， ， ， ， ∴所拼成的正方形的边长为． 故答案为：． 60．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，，小明在距离树的B处，看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在一条水平线上，树和二人都垂直于这条水平线，求树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用以及余角的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 过E作于G，延长交于H，则，四边形、四边形是矩形，得，，，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解∶如图，过E作于G，延长交于H， 为两人身高， 是树的高度 ，，，，． 四边形是矩形． ，． ，， 四边形是矩形， ，， ，． ， ． ， ． ． ， ． ． 即 解得 ． 答∶树的高度为． 【易错必刷二十一 根据菱形的性质与判定求线段长】 61．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 【答案】C 【分析】本题综合考查了菱形的判定和性质．根据菱形的性质可得，然后根据给出的方案结合菱形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案甲正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案乙正确． 故选：C． 62．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 63．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积为6． 【分析】（1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，再结合已知即可证明结论； （2）设，根据题意，求出，，再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设， ∵，，， ∴，， ， ， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 【易错必刷二十二 根据正方形的性质与判定求线段长】 64．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，一个油桶靠在直立的墙边为桶与墙壁触点，量得并且，则这个油桶的底面半径是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，过点作，与相交于点，如图，根据切线的性质可判断点为油桶的底面圆的圆心，再证明四边形为正方形，所以，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，与相交于点，如图， 油桶与墙相切， 点为油桶的底面圆的圆心， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ， 即这个油桶的底面半径是 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 65．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）正方形内接于，且边落在上，若，，那么的长为 ． 【答案】1.2． 【分析】易证△AEH∽△ABC，列比例式可求解EH与DM的关系，结合正方形的性质得到可求解EH的长． 【详解】如图所示： 四边形是正方形，边落在上， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：． 故答案为：1.2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质，证明△AEH∽△ABC是解题的关键． 66．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形； （2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6． 【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF为矩形， ∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3， 设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x， 则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3， 在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52， 解得：x＝6或−1（舍去）． ∴AD＝6． 【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形． 【易错必刷二十三 根据正方形的性质与判定求面积】 67．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.    A．48 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和等腰三角形的性质，设,结合勾股定理，求得正方形的边长，即可求得答案. 【详解】   ∵与都是正方形， ∴， ∴， 设, ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴正方形的面积是：36， 故选： 【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，勾股定理的应用是解题的关键. 68．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC=5，四边形ABCD的面积是 ． 【答案】/12.5 【分析】作AE⊥CD于E，AF⊥CB于F．只要证明△AED≌△AFB，可得AE=AF，△AED与△AFB的面积相等，推出四边形AECF是正方形，即可解决问题． 【详解】解：作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ，与的面积相等， 四边形是正方形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 69．（23-24八年级下·云南迪庆·期末）如图，点E在正方形ABCD内，AE=3，BE=4，AEBE，请求出阴影部分的面积S. 【答案】19 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， 在RtΔABE中，由勾股定理得AE²+BE²=AB² ， ∴3²+4²=AB² ， ∴ AB=5 ， ∴ =5²-  =25-6=19． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力． 【易错必刷二十四 根据菱形的性质与判定求面积】 70．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD，若四边形BECF面积为1，则矩形ABCD的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先证得四边形BECF是菱形，得到△BEC的面积为，再利用矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵BF∥AC，CF∥BD， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AE=CE，BE=DE，AC=BD， ∴AE=BE=EC， ∴四边形BECF是菱形； ∴S△BEC=S△BFC=S四边形BECF=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴矩形ABCD的面积为4×=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 71．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】首先过点作于点于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】过点作于点于点， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理： ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故答案为： ． 【点睛】此题考查菱形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线． 72．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，、分别是，的中点，连接，．    (1)根据题意，补全图形； (2)求证：； (3)若，，．求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定． （1）根据题意即可补全图形； （2）根据平行四边形的性质证明即可得结论； （3）证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形，    （2）证明：是平行四边形， ，（平行四边形的对角线互相平分）， ，分别是，的中点， ， 又， ， ； （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴四边形的面积为． 【易错必刷二十五 根据矩形的性质与判定求面积】 73．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为2，现将它沿方向平移1个单位，得到正六边形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过作于H，得到四边形是矩形，解直角三角形得到，，，求得，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，，过作于H，则四边形是矩形， ∵正六边形的边长为2，， ， ，， ， ∵将它沿方向平移1个单位， ， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 74．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 75．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源：《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》），请根据该图完成这个推论的证明过程，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质一条对角线分成的两个三角形面积相等，再根据EG∥AD∥BC，MN∥AB∥CD，可得四边形AEFN和四边形CGFM是矩形，从而S△AEF =S△ANF，S△FMC =S△FGC，即可求证． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，AC为对角线， ∴S△ABC = S△ADC，∠BAD=∠BCD=90°， ∵EG∥AD∥BC，MN∥AB∥CD， ∴四边形AEFN和四边形CGFM是平行四边形， ∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴四边形AEFN和四边形CGFM是矩形， ∵AF和FC分别是矩形AEFN和矩形CGFM的对角线， ∴S△AEF =S△ANF，S△FMC =S△FGC， ∴S△ABC-S△AEF-S△FMC = S△ADC-S△ANF-S△FGC， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形，利用三角形面积间的和差关系进行证明是解题的关键． 【易错必刷二十六 根据正方形的性质与判定证明】 76．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG．下列判断正确的是（　   ） A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 【答案】C 【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD＝∠EAG＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠1＝∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＜∠4． 【详解】解：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∵∠BAD＝∠2＋∠DAE＝90°， ∠EAG＝∠1＋∠DAE＝90°， ∴∠1＝∠2， 在Rt△ABE中，AE＞AB， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG， ∴AG＞AB， ∴∠3＜∠4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用． 77．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是 ．    【答案】20 【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论． 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC， ∵AE＝CF＝2， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF， ∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形， ∴DE＝DF＝BE＝BF， ∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝， 由勾股定理得：DE＝， ∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×5＝20， 故答案为：20．    【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键． 78．（23-24八年级下·河北唐山·期末）（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD； 请你完成问题情境中（2）的证明 （2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）PD＝EF．证明见解析 【分析】（1）根据正方形的性质证明△APB≌△APD，故可求解； （2）连接PB，证明四边形PEBF是矩形，根据矩形对角线相等即可求解． 【详解】解：（1）证明：在△APB和△APD中， ∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP＝45°， ∴△APB≌△APD， ∴PB＝PD． （2）猜想：PD＝EF． 证明：连接PB． 由（1）可知：PB＝PD． ∵PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F， ∴四边形PEBF是矩形， ∴PB＝EF， ∴PD＝EF． 【点睛】此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、矩形的性质． 【易错必刷二十七 利用平行四边形性质和判定证明】 79．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列四个结论： ①四边形的周长不变；②四边形的面积有变化；③；④；其中一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故③符合题意； 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故①、④不符合题意，②符合题意； 故选：D． 80．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 81．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【详解】（1）∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 【易错必刷二十八 平行四边形性质和判定的应用】 82．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，EF过▱ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是▱ABCD面积的(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对角线互相平分,中线将三角形面积平分这一性质解题. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,EF经过对角线交点O, ∴易得S△BEO=S△DFO, ∴S阴影部分=S△AOB=S▱ABCD 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的面积,属于简单题,熟悉平行四边形性质和中线性质是解题关键. 83．（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    【答案】 【分析】取格点E，连接，构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接，    ∵，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握构造平行四边形是解题的关键． 84．（2024·浙江丽水·一模）如图，在的正方形网格中，线段的端点落在格点上，请按要求作图（所作图形顶点为格点，每小题作出一个即可）． 图1：以为腰的等腰三角形    图2：以为边的平行四边形   图3：以为对角线的平行四边形 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形和平行四边形的判定结合网格特点作图即可． 【详解】解：如图1，是以为腰的等腰三角形；如图2，四边形ABCD是以为边的平行四边形；如图3，四边形ACBD是以为对角线的平行四边形． 【点睛】本题考查了作等腰三角形，作平行四边形，熟练掌握网格特点是解题的关键． 【易错必刷二十九 （特殊）平行四边形的动点问题】 85．（23-24八年级下·四川·阶段练习）如图，长方形中，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值（    ） A．2或 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】分两种情况讨论，①当在上或②当在上，分别计算AQ、AQ边上的高的长，再结合三角形面积公式解题即可． 【详解】①当在上，点的速度为，如图①所示： 解得 ②当在上，点的速度为 当的速度为，如图②所示： ，的高为， 解得； 综上可得，当或时，的面积为． 故选A． 【点睛】本题考查四边形综合题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 86．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有 个． 【答案】3 【分析】设AP=x，则BP=8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设AP=x，则BP=8﹣x， 当△PAE∽△PBC时，，即， 解得，x=， 当△PAE∽△CBP时，，即， 解得，x=2或6， 可得：满足条件的点P的个数有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用． 87．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x²cm． (1)当x为何值时，点的运动停止？ (2)点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由． (3)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)cm (2)点P与点N可能相遇，点Q与点M不可能相遇，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意知，当点N运动到终点时，运动停止； （2）当点P与点N相遇时，2x+x2=20，解得x=或（舍去），当点Q与点M相遇时，x+3x=20，解得x=5＞2，故舍去； （3）首先计算可得点Q只能在点M的左侧，然后分当点P在点N的左侧或点P在点N的右侧两种情形，分别根据PN=QM，列方程可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得x2=20， ∴x=2 ， ∴当x为2时，点的运动停止； （2）解：当点P与点N相遇时，2x+x2=20， 解得x=或（舍去）， 当点Q与点M相遇时，x+3x=20， 解得x=5， 当x=5时，x2=25＞20， ∴点Q与点M不能相遇； （3）解：∵当点N到达A点时，x2=20， ∴x=2， ∴BQ=2cm，CM=6cm， ∵BQ+CM=8＜20， ∴此时M点与Q点还未相遇， ∴点Q只能在点M的左侧， ①如图，当点P在点N的左侧时， 20-（x+3x）=20-（2x+x2）， 解得x=0（舍去）或x=2， ∴当x=2时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形； ②如图，当点P在点N的右侧时， 20-（x+3x）=（2x+x2）-20， 解得x=4或-10（舍去）， ∴当x=4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 综上，当x=2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键． 【易错必刷三十 四边形中的线段最值问题】 88．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（　　） A．6 B．2 C．8 D．2 【答案】D 【分析】由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB＝PD， ∴PB+PE＝PD+PE＝DE． ∵BE＝2，AE＝4， ∴AD＝AB＝6， ∴DE＝＝2， 故PB+PE的最小值是2． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，其中涉及正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 89．（23-24八年级下·山东威海·阶段练习）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，交于，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作交于，交于，过点作于， ，，， ， 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 90．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，. （1）若、、三点共线，求的长； （2）求的面积的最小值. 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）利用勾股定理求出AO长，易得AE长，由正方形的性质利用SAS可证，根据全等三角形对应边相等可得结论； （2）过点作于点，当三点共线，最小，求出EH长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由旋转得：，， ∵是边的中点，∴. 在中，. ∴. ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴. 在和中 ∴. ∴. （2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动. 过点作于点. ∵， ∴ 当三点共线，最小，. ∴. 【点睛】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键. 【易错必刷三十一 四边形其他综合问题】 91．（2024·上海奉贤·二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（    ） A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA 【答案】C 【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、∵AD＝BC， ∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； B、∵∠ABC＝∠BAD， ∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； C、∵AB＝2DC， ∴不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确； D、根据∠OAB＝∠OBA，能推出梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的判定，属于基础题型． 92．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，以菱形各边的中点为顶点作四边形，再以各边的中点为顶点作四边形，…，如此下去，得到四边形，若对角线长分别为和，请用含、的代数式表示四边形的周长 ． 【答案】 【分析】根据图形，四边形A1B1C1D1的长为，宽为，四边形A2B2C2D2是菱形，边长为四边形A3B3C3D3的长为，宽为，四边形A4B4C4D4是菱形，边长为 依此类推，A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1长为，宽为，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为 四边形是矩形，计算周长即可． 【详解】结合图形,脚码为奇数时,四边形A2n−1B2n−1C2n−1D2n−1是矩形,长为宽为 脚码为偶数时,四边形A2nB2nC2nD2n是菱形,边长为 ∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形,边长为 周长为,即 ∴四边形是矩形, 长为宽为 ∴四边形的周长为： 故答案为： 【点睛】考查菱形的性质, 矩形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形和矩形的性质是解题的关键. 93．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，． (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的性质得，即可得； （2）根据菱形的性质得BC=AB=6，，则，根据直角三角的性质和勾股定理得，即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， ∴四边形OBEC是矩形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6， ∴BC=AB=6，， ∴， 在，，， ∴矩形OBEC的周长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $$