第二章 直线与圆的位置关系---切线的判定专项训练2024-2025学年 浙教数学九年级下册

切线的判定专项训练（1） 夯实基础，稳扎稳打 1.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°． 求证：CD是⊙O的切线； 2.如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． 证：是的切线； 3．如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，求证：直线AD是⊙O的切线． 4.如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为 弧BC的中点，DE⊥AC于E． 5. 求证：DE是⊙O的切线．[c*om~] (1) ( C ) ( E ) ( A ) ( O ) ( B ) ( D ) 连续递推，豁然开朗 5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.【来求证：AC是⊙O的切线； 6..如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．求证：DE与⊙O相切； 7.已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E． （1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r． 思维拓展，更上一层 9 .如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．求证：是的切线；若与相切于点，的半径为，，求长． 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的一点，以AD为直径的 交AB于E，连接CE交 于G，连接DG，∠ACB=∠EGD. （1）证明：BC与 相切； （2）若BD=2，CD=6，求 的直径AD；（3）在（2）的条件下，求EC. 11．如图，与等边的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作于点F．（1）求证：DF是的切线；（2）连接EF，当EF是的切线时，求半径r与等边边长a的比值． 12 . 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD。(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：(2) 若AB=9，BC=6，求PC长。 ( A B C D O M P ) 切线的判定专项训练（2） 1. 如图，以CD为直径的⊙O上两点A、B,点P是CD延长线上的一点，且AP=AC，∠B=60°． 求证：PA是⊙O的切线； 2.已知：如在△ABC中，AB=AC，以为直径的⊙交于点，过点作DF⊥AC于点，交的延长线于点．求证：是⊙的切线． 3．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC． 求证：PA为⊙O的切线； 4．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP，AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB．求证：PB是⊙O的切线． ( A C PP B O ) 连续递推，豁然开朗 5..如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线,点A是切点．B是⊙O上一点． 且PA = PB，连接AO、BO、PO、AB，并延长BO与切线PA相交于点C． 求证：PB是⊙O的切线 ；[来源%:中国教育 6.在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC. (1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形． 7．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长． 8．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 思维拓展，更上一层 9.如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，判断CD与⊙O的位置关系，说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长 10．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 11.如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=2，DE=4，求AD长． 12.如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N． （1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN； （3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=0.25，求BN的长． 切线的判定专项训练（1）参考答案 1.证明：连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O的切线． 2.证明：如图，连接． ∵是的直径，是上一点，∴，即． ∵，，∴， ∴，即，∴是的切线． 3.证明 ： ∵半径OC垂直于弦AB，∵AC弧=BC弧，∴∠AOC=2∠BA C， ∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD， ∵∠AOC+∠OAE=90°，∴∠BAD+∠OAE=90°，∴OA⊥AD，∴AD为⊙O的切线． 4. (1)证明：连接OD，BC。 ∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC。[ ∵DE⊥AC，∴BC//DE。%p.#co*&m ∵D为弧BC的中点，∴OD⊥BC ∴OD⊥DE[~p.c∴DE是⊙O的切线。#p.com*] %源#:@step.c*om&] 5.证明：如图，连接OD ∵，∴，∴∠， ∵，∴，∠ABC=90°，∴，∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线； 6. 解：（1）证明：连接OE，BE，∵AB是直径．∴BE⊥AC． ∵D是BC的中点，∴DC=DB．∴∠DBE=∠DEB． 又OE=OB，∴∠OBE=∠OEB．∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB． 即∠ABD=∠OED． 但∠ABC=90°，∴∠OED=90°．∴DE是⊙O的切线． [c*om~] 7.【解析】1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD 又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB． 在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS） ∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB．∵DE=2BC，∴ED=2CD． ∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．∴． 8（1）证明：连接OD。 ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC∴∠ODB=∠DBC。∴OD∥BC。 又∵∠C=90°，∴∠ADO=90°。∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线。 （2）解：由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC。 ∴，即。解得，即⊙O的半径r为。 9.证明：连接，∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴，则为圆的切线； 解：连接，∵与圆相切，∴， ∴，且， ∴四边形为边长为的正方形， 设，则有，， 在中，利用勾股定理得：，即， 解得：，则． 10.（1）证明：∵ ， ， ∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，又∵ 为半径，∴ 与 相切. （2）解：由（1）知 ，又 ， ∴ ，∴ ，又 ， ，∴ . （3）解：由（2）知，在 中， ， 连接 ，如图， ∵ 是直径，∴ ，∴ ，又 ， ∴ ，∴ ，即 ，∴ ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， . 11（1）证明：连接OD，如图所示： ∵∠DAO=60°，OD=OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA=∠C=60°，∴OD∥BC， 又∵∠DFC=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，即DF是⊙O的切线； （2）解：设半径为r，等边△ABC的边长为a， 由（1）可知：AD=r，则CD=a-r，BE=a-2r 在Rt△CFD中，∠C=60°，CD=a-r，∴CF=（a−r），∴BF=a- （a−r）， 又∵EF是⊙O的切线， ∴△FEB是直角三角形，且∠B=60°，∠EFB=30°，∴BF=2BE，∴a-（a-r）=2（a-2r）， 解得：a=3r，即r=a，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r=a． 12， 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。 ( A B C D O M P N ) 如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。 ∵AB//CD，∴BAC=ACD。 ∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。 ∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。 ∵CN是圆O的直径，∴CBN=90。 ∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。 ∴PCO=90，即PCOC。 又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (2) ∵AD是圆O的切线，∴ADOA，即OAD=90。 ∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，即OMBC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。 在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM===6。 设圆O的半径为r。 在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。 在△OMC和△OCP中， ∵OMC=OCP，MOC=COP， ∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。 ∴PC= 。 ( A B C D O M P ) 解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图，连接OC。 ∵AD是圆O的切线，∴ADOA， 即OAD=90。 ∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90， 即OMBC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。∴MAB=MAC。 ∴BAC=2MAC。又∵MOC=2MAC，∴MOC=BAC。 ∵AB//CD，∴BAC=ACD。∴MOC=ACD。又∵BCP=ACD， ∴MOC=BCP。∵MOCOCM=90，∴BCPOCM=90。 ∴PCO=90，即PCOC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (2) 在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM===6。 设圆O的半径为r。 在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。 在△OMC和△OCP中，∵OMC=OCP，MOC=COP， ∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 = 。 ∴PC= 。 切线的判定专项训练（2）参考答案 （1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线． 2.解： 连结, ∥ 是⊙的切线 #源:中*@教&网%] 3. .【解】（1）设AC与OP相交于点H ∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90° ∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOP=∠B ∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAP=90°∴PA为⊙O的切线 4.证明：连结OB． ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°． 又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形∴∠OBC＝∠OCB＝60° ∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB．∴∠CBP＝30°． ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°．∴OB⊥BP． ∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线． 5..证明： ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO∴△APO≌△BPO ∵ PA是⊙O的切线 ∴∠PAO=90°=∠PBO ∴PB是⊙O的切线[ 6.解：(1)由翻折可知，∠FAC＝∠OAC, ∠E＝∠ADC＝90°， ∵OA＝OC，[∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AE，[来%@源:中教网#~&] ∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE. ∴CE是⊙O的切线． (2)∵FC∥AB，OC∥AF，[∴四边形AOCF是平行四边形．[来源:中~*国教@ %∵OA＝OC，∴▱AOCF是菱形． 7解答：（1）证明：连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD， ∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT， ∴CT为⊙O的切线；（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点， 又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT=，∴OE=， 又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，， ∴AD=2AE=2． 8.解答：（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE， ∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°． 即OD⊥DE．∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3， ∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴． 9.解：（1）CD是⊙O的切线, 理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2 ∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°, ∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线 (2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. 在Rt△ABC中, BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×=. 在Rt△BPQ中BQ===10 ∴QC=BQ-BC=10== 10.解答：证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝2， 设OC＝x，∵BE＝2，∴OE＝x－2， 在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，∴x2＝（x－2）2＋（2）2，解得：x＝4， ∴OA＝OC＝4，OE＝2，∴AE＝6， 在Rt△AED中，AD＝＝4，∴AD＝CD， ∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD， ∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴▱FADC是菱形； （2）连接OF，∵四边形FADC是菱形，∴FA＝FC， 在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO＝∠FAO＝90°，即OC⊥FC， ∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线． 11（1）证明：如下图，连接OD， ∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD， ∴∠ODE＋∠AED＝180°，∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线； （2）解：如下图，连接DB，CD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°， ∵∠E＝90°，∴∠EAD＋∠EDA＝90°， ∵∠EAD＝∠DAB，∴∠B＝∠EDA， ∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠ACD＋∠B＝180°， ∵∠ACD＋∠ECD＝180°，∴∠B＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDA， ∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EDA，∴ ，∴，∴， ∴ 12解答： （1）证明：∵△BCO中，BO=CO， ∴∠B=∠BCO， 在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BCO=90°， 即∠FCO=90°， ∴CF是⊙O的切线； （2）证明：∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO， 即∠3=∠1， ∴∠3=∠2， ∵∠4=∠D， ∴△ACM∽△DCN； （3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4， 在Rt△COE中，cos∠BOC=0.25， ∴OE=CO•cos∠BOC=4×0.25=1， 由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得： CE===， AC===2， BC===2， ∵AB是⊙O直径，AB⊥CD， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2， ∵△ACM∽△DCN， ∴=， ∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2， ∴CN===， ∴BN=BC﹣CN=2﹣=． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$