精品解析：广东省江门市鹤山市昆仑学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

鹤山市昆仑学校2024-2025学年度八年级数学第二学期综合训练一 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 7. 如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（ ） A. B. C. D. 8. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点D为AB的中点，点E为AC上一点，把沿DE折叠得到，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是________． 12. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 13. 已知，则________． 14. 如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则_______． 15. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为____________． 三、解答题（一） 16. 计算：． 17. 已知，，求的值． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出，使它与关于直线l对称；（要求：A与，B与，C与相对应．） （2）的面积为________； （3）在直线l上确定一点P，使的值最小（保留画图痕迹），则的最小值是______． 四、解答题（二） 19. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G． （1）求证：． （2）若，请求出的周长． 20. 教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 （1）为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ （2）学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 21. 如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 五、解答题（三） 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 23. 【问题背景】 在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】 （1）借用网格计算出如图1所示的的面积为_______________． 【思维拓展】 （2）请运用构图法比较与的大小，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的图形． 【探索创新】 （3）已知是正数，谈运用构图法求出的最小值．（请画出相应的图形） （4）若三边的长分别为，请运用构图法求出这个三角形的面积为________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山市昆仑学校2024-2025学年度八年级数学第二学期综合训练一 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 4. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 5. 实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 6. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 8. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 9. 如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，，，，点D为AB的中点，点E为AC上一点，把沿DE折叠得到，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AF⊥DE于点F，由直角三角形的性质可得AF=1，AE=，即可求A'E，EC的长，由勾股定理可求A'C的长． 【详解】解：如图，过点A作AF⊥DE于点F， ∵AB=4，点D为AB的中点， ∴AD=2， ∵∠ADE=30°，AF⊥DE， ∴AF=1，∠FAD=60°， ∵∠BAC=105°， ∴∠FAE=45°，AF⊥DE， ∴∠AEF=45°=∠EAF， ∴AF=EF=1， ∴AE=， ∴EC=AC-AE=2， ∵把△ADE沿DE折叠得到△A'DE， ∴∠AEA'=2∠AEF=90°，A'E=AE=， ∴A'C=， 故选D. 【点睛】本题是对折叠几何问题的考查，熟练掌握勾股定理及三角函数知识是解决本题的关键. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握有意义的条件是解题的关键．根据被开方数是非负数，分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 12. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，平方根的含义，分式的求值， 根据条件可得，再进一步可得结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ． 故答案为： 14. 如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 15. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 三、解答题（一） 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的减法运算，零指数幂和负整数指数幂，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先化简绝对值，求负整数指数幂和零指数幂以及化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 17. 已知，，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：，， ，． ∴． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出，使它与关于直线l对称；（要求：A与，B与，C与相对应．） （2）的面积为________； （3）在直线l上确定一点P，使的值最小（保留画图痕迹），则的最小值是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）5 （3）点P如图所示，5 【解析】 【分析】此题主要作图—轴对称变换，运用网格求面积，两点之间线段最短，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质． （1）分别作出点，，关于轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线的交点即为所求点P，连接此时最小，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，与直线的交点即为所求； ∴的面积为； 故答案为：5 【小问3详解】 解：连接此时最小， ∴， 故答案为：5 四、解答题（二） 19. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G． （1）求证：． （2）若，请求出的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 20. 教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 （1）为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ （2）学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】（1）米 （2）株 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； 【小问2详解】 解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 21. 如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 【答案】 证明：如图，连结BD ， ∵， ∴． ∴在△EAC和△DBC中，， ∴． ∴ ． 又∵， ∴ ． ∴ 在中，， ∴． ∵ 在中，， ∴ ． 【解析】 【分析】连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键． 五、解答题（三） 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 故答案为：； 【小问3详解】 ． 23. 【问题背景】 在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】 （1）借用网格计算出如图1所示的的面积为_______________． 【思维拓展】 （2）请运用构图法比较与的大小，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的图形． 【探索创新】 （3）已知是正数，谈运用构图法求出的最小值．（请画出相应的图形） （4）若三边的长分别为，请运用构图法求出这个三角形的面积为________________． 【答案】（1） （2）， 如图； （3）如图， （4） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，以及利用坐标与图形，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）分割法求出三角形的面积即可； （2）构造三边分别为的三角形，利用三边关系即可得出结果； （3）将转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，进行求解即可； （4）建立由小长方形构成的网格，结合勾股定理画出，分割法求面积即可． 【详解】解：（1）由图可知：的面积为； 故答案为：； （2）如图，由图可得：， 由三角形的三边关系可知：， ∴； （3）如图，的最小值可转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值， 如图，作关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当，三点共线时，的值最小为的长度， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （4）建立如图所示的网格， 由图可知：， ∴的面积为：； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $