精品解析：黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期 高一学年第一次月考 数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自已的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 分析】利用复数相等列方程组，由此求得. 【详解】由于， 所以. 故选：C 2. 下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误. 故选：A 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以，因此， 故选：B 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算可得的表示形式. 【详解】， 故选：A． 【点睛】本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题. 5. 已知，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，则在方向上的投影向量为，即可求解． 【详解】由，，，，得，， 所以在方向上的投影向量为 . 故选：A. 6. 在中，，，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边的大小关系，可以判定角为最大角，结合余弦定理，求得，即得所求. 【详解】在中，因为，，，则，所以， 由余弦定理可知：， 所以角为钝角，则是钝角三角形. 故选：C. 7. 在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知及余弦定理可得，可得，利用三角函数恒等变换的应用可求，由，可得，进而可求，即可得解． 【详解】解：， 由余弦定理可得：，可得， ， ，可得：，可得：， ，由，可得：，， ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 8. 在直角梯形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得，，进而得，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得，， 所以， 又， 则 . 故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面的命题正确的有（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B. 单位向量都相等 C. 若，满足且与同向，则 D. “若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确； 对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误； 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且， 可得，且，故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可知，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确. 故选：AD. 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案. 【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，. 所以AC选项错误，BD选项正确. 故选：BD 11. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，由于给出的条件是可以判断三角形全等的条件，所以符合条件的三角形只有一个； 对于B选项，由条件可得三角形两个角相等，所以可以判断三角形为等腰三角形； 对于C选项，由正弦定理先将角化为边，再换成角度的正弦值可判断； 对于D选项，边角转换后可由余弦定理判断. 【详解】A选项，给出的条件为SAS（两边一夹角），符合这个条件的三角形有且只有一个，所以A选项错误；B选项，由，可得，则为等腰三角形，所以B选项正确；C选项，∵，∴，∴，∴，所以C选项正确；D选项，边角转换得，∴，∴C为钝角，则是钝角三角形，所以D选项正确. 故选：BCD. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. i是虚数单位，则，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则化简得到，求出. 【详解】由题意得，即， ， 故， 故答案为： 13. 已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由，所以，即， 因为，，所以， 设向量的夹角为，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知的外接圆半径为，，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可求得，结合正弦定理可求得，即，进而可求得，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由，，解得， 由正弦定理可得，，所以， 则， 所以的面积. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得； （2）由数量积的坐标表示可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 设复数，其中. （1）若是纯虚数，求的值； （2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数定义可得到解方程即可； （2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可. 【小问1详解】 是纯虚数，只需，解得. 【小问2详解】 由题意知， 解得， 故当时，所对应的点在复平面的第四象限内. 17. 已知，，设， （1）若，求实数k的值； （2）当时，求与的夹角的余弦值； （3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，可求向量的模和数量积，若，则，利用向量的模和数量积求实数k的值； （2）由向量的夹角公式，利用向量的模和数量积求与的夹角的余弦值； （3）由向量的平行条件，求实数k的值. 【小问1详解】 由题意，向量 ， ，可得 ， 由， 得， 解得； 【小问2详解】 时，， ， ． ∴， ∴与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由，则成立，得， 因为不共线，故，解得． ∴存在实数，使得． 18. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问： （1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ （2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【答案】（1）缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向 （2）缉私船沿北偏西方向能最快追上走私船 【解析】 【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案； （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案. 【小问1详解】 由题意，可得， 则 ， 在中，由正弦定理，即， 解得，因为，所以，所以为水平线， 所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向． 【小问2详解】 设经过时间小时后，缉私船追上走私船， 在中，可得， 由正弦定理得， 因为为锐角，所以， 所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船． 19. 在锐角中，分别是角的对边，若. （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系结合两角和的正弦公式化简，即可得出答案； （2）确定锐角中角的范围，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的性质，即可得出答案； （3）由题意得，可得为等边三角形，令，，，由正弦定理推出，结合余弦定理推出，利用三角形面积公式结合正弦函数最值，即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 即， 所以， 由，得，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 在锐角中，由（1）得，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，得，所以 所以的取值范围为. 小问3详解】 由（2）知，当取得最大值时，，解得， 又，所以为等边三角形， 在中，令，，， 则，所以； 又， 所以， 所以， 所以 ，而， 故当时等号成立，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期 高一学年第一次月考 数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自已的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边中点，且，则 A. B. C. D. 5. 已知，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 7. 在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则　　 A. B. C. D. 8. 在直角梯形中，，，，，，则（ ） A B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面的命题正确的有（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B. 单位向量都相等 C 若，满足且与同向，则 D. “若A、B、C、D是不共线四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 11. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. i是虚数单位，则，则的值为________． 13. 已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______. 14. 已知的外接圆半径为，，，则的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）求值． 16. 设复数，其中. （1）若是纯虚数，求的值； （2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 17. 已知，，设， （1）若，求实数k的值； （2）当时，求与的夹角的余弦值； （3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由． 18. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问： （1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ （2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 19. 在锐角中，分别是角的对边，若. （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$